6.3.3 空间角的计算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中的空间角计算，涵盖异面直线、线面、面面夹角及二面角的向量求法。通过知识辨析题导入，衔接线面关系等旧知，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以表格系统梳理空间角范围与向量公式，结合典例解析和探索性问题，培养数学眼光（抽象空间形式）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（向量表达）。教师可依托资料高效教学，学生能通过实例掌握方法，提升立体几何问题解决能力。

6.3　空间向量的应用 6.3.3　空间角的计算 必备知识 清单破 知识点 空间角的向量求法 空间角 范围 向量求法 异面直线所成的角   设异面直线l1与l2所成的角为 θ,直线l1,l2的方向向量分别是 u,v,则cos θ=|cos<u,v>|=  第6章　空间向量与立体几何 高中同步 空间角 范围 向量求法 直线与平面所成的角   设直线AB与平面α所成的角 为θ,直线AB的方向向量为u, 平面α的法向量为n,则sin θ=| cos<u,n>|=  第6章　空间向量与立体几何 高中同步 平面与平面的夹角   设平面α与平面β所成的角为 θ,平面α,β的法向量分别是n1, n2,则cos θ=|cos<n1,n2>|=   二面角 [0,π] 设二面角α-AB-β的大小为θ, 平面α,β的法向量分别是n1,n2, 则|cos θ|=|cos<n1,n2>|=  ,再观察图确定θ是钝 角还是锐角,从而确定θ 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 知识辨析 1.若直线l与平面α的夹角为0°,则直线l一定在平面α内吗? 2.已知向量m是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,若cos<m,n>=- ,则直线l与平 面α所成的角是120°吗? 3.两平面的夹角与这两平面形成的二面角有什么关系? 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 一语破的 1.不一定.直线l在平面α内或直线l∥平面α. 2.不是.直线l与平面α所成的角的范围为 ,并且直线l与平面α所成的角的正弦值为 .因 此直线l与平面α所成的角为30°. 3.两平面相交会形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面 的夹角.两平面的夹角的取值范围为 ,而这两平面形成的二面角的取值范围为[0,π]. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   向量法求空间角的步骤 (1)向量表示: ①基底表示:选择不共面的三个向量作为基向量,用基向量表示直线的方向向量、平面的法 向量; ②坐标表示:建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,进而得到直线的方向向量、平面的法 向量的坐标. (2)向量运算:求两向量的夹角(或其余弦值). (3)转化结论:利用空间角与向量夹角的关系及对应公式求出空间角的大小(或其三角函数 值). 关键能力 定点破 定点 1 利用空间向量求夹角 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例1　如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB ⊥平面ABCD,直线PE与平面PAC所成角的正弦值为 . (1)求异面直线PB与CD所成角的大小; (2)求二面角A-PC-D的余弦值.   第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    ∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AB⊥PA,PA⊂平面PAB, ∴PA⊥平面ABCD, 又∵AB⊥AD,∴以{ , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.   连接DE.不妨设BC=4,AP=λ(λ>0),则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,λ),B(2,0,0),∴ = (2,4,0), =(0,0,λ), =(2,-1,0), =(2,1,-λ). ∵ · =0, · =0, ∴DE⊥AC,DE⊥AP, 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 又AC∩AP=A,AC,AP⊂平面PAC, ∴DE⊥平面PAC, ∴平面PAC的一个法向量是 =(2,-1,0). 设直线PE与平面PAC所成的角为θ, 则sin θ=|cos< , >|= = , 解得λ=2或λ=-2(舍去),∴P(0,0,2). (1)易得 =(2,0,-2), =(2,2,0), ∴|cos< , >|= = , 故异面直线PB与CD所成角的大小为 . (2)易知 =(2,2,0), =(0,-2,2). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令x=1,则y=-1,z=-1,∴n=(1,-1,-1). 又平面PAC的一个法向量为 =(2,-1,0), ∴cos<n, >= = . 显然二面角A-PC-D的平面角是锐角, ∴二面角A-PC-D的余弦值为 . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例2 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点O,OA=8,OB=6,OP=8,OP ⊥底面ABCD,设点M满足 =λ (0<λ<1).   (1)若λ= ,求平面MAB与平面ABC的夹角; (2)若直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 ,求λ的值. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    由题意得OA,OB,OP两两互相垂直.以{ , , }为正交基底,建立如图所示的空间 直角坐标系O-xyz,   则A(8,0,0),B(0,6,0),C(-8,0,0),D(0,-6,0),P(0,0,8). (1)易得 =(-8,6,0). 设M(x1,y1,z1),∵ =  , 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∴(x1,y1,z1-8)= (-8-x1,-y1,-z1), ∴ 解得  ∴M(-2,0,6),∴ =(-2,-6,6). 易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记n1=(0,0,1). 设平面MAB的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  令x2=3,则y2=4,z2=5,∴n2=(3,4,5). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 ∵|cos<n1,n2>|= = = , ∴平面MAB与平面ABC的夹角为 . (2)易得 =(8,0,-8), =(0,12,0). 设M(x3,y3,z3),∵ =λ , ∴(x3,y3,z3-8)=λ(-8-x3,-y3,-z3), ∴ 解得  ∴M ,∴ = . 设平面BDM的法向量为m=(x4,y4,z4), 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 则 即 则y4=0, 令z4=λ,则x4=1,∴m=(1,0,λ). ∵直线PA与平面BDM所成角的正弦值为 , ∴ =|cos< ,m>|= = = , ∴2λ2-5λ+2=0,解得λ= 或λ=2, 又0<λ<1,∴λ= . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解后反思 　　解题时要注意两平面的夹角与二面角的区别,两平面的夹角的取值范围为 ,而二面 角的取值范围为[0,π].利用向量法计算二面角时,通常要根据图形特征判断二面角的平面角 是钝角还是锐角,若直观上难以直接看出其是钝角还是锐角,可以这样处理:若两个法向量都 指向二面角的外部或内部,则二面角的大小等于两法向量夹角的补角;若两个法向量中一个 指向二面角的外部,另一个指向二面角的内部,则二面角的大小等于两法向量的夹角. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   定点 2 利用空间向量解决与夹角有关的探索性问题 利用空间向量解决与夹角有关的探索性问题的步骤 (1)假设存在(或结论成立); (2)建立空间直角坐标系,得相关点的坐标; (3)得有关向量的坐标; (4)利用夹角的计算公式列关系式求解; (5)根据解的情况得出结论. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 典例 如图1,在△MBC中,BM=2BC=4,BM⊥BC,A,D分别为BM,MC的中点,将△MAD沿AD折起 到△PAD的位置,使∠PAB=90°,如图2,连接PB,PC,BD. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD; (2)若E为PC的中点,求直线DE与平面PBD所成角的正弦值; (3)在线段PC上是否存在一点G(不包括端点),使平面ADG与平面ADP夹角的余弦值为 ? 若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.  图1     图2 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 解析    (1)证明:因为A,D分别为BM,MC的中点,所以AD∥BC. 因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD. 因为∠PAB=90°,所以PA⊥AB. 又AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A, 所以PA⊥平面ABCD. 又因为PA⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD. (2)由(1)知AB,AD,AP两两互相垂直. 以{ , , }为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0, 2),E(1,1,1),所以 =(1,0,1), =(-2,1,0), =(-2,0,2). 第6章　空间向量与立体几何 高中同步   设平面PBD的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 即  令y1=2,得x1=1,z1=1,所以n=(1,2,1). 设直线DE与平面PBD所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>|= = = . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 故直线DE与平面PBD所成角的正弦值为 . (3)假设在线段PC上存在一点G(不包括端点),使平面ADG与平面ADP夹角的余弦值为 . 由(2)得A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2),C(2,2,0),所以 =(2,2,-2), =(0,1,0). 设 =λ (0<λ<1), 则G(2λ,2λ,2-2λ), 所以 =(2λ,2λ,2-2λ). 易知平面ADP的一个法向量为(1,0,0),记n1=(1,0,0). 设平面ADG的法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  第6章　空间向量与立体几何 高中同步 则y2=0,令z2=λ,则x2=λ-1, 所以n2=(λ-1,0,λ). 由题意得|cos<n1,n2>|= = = ,所以8λ2+2λ-1=0, 解得λ=- (舍去)或λ= . 故在线段PC上存在一点G(不包括端点),使平面ADG与平面ADP夹角的余弦值为 ,且  = . 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 名师点睛 　　对于立体几何中的探索性问题,用几何法求解需进行复杂的作图、论证、推理,但运算 量较小,而利用空间向量法求解,则只需通过坐标运算进行判断即可,思路简洁,但运算量较大. 解题时,可根据题干中的条件和假设,把几何问题转化为代数问题,即方程的解的问题,解法固 定,应熟练掌握.必要时也可先运用几何法简化运算. 第6章　空间向量与立体几何 高中同步 $