构造函数解决导数问题、二次求导解决导数问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦导数应用高频难点，通过构造函数与二次求导两大模块，系统覆盖极值、零点、不等式证明等综合题型，强化逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构造函数解决导数问题|3例+3变式|含双极值点、零点分布、方程根证明，侧重函数构造与转化|从导数单调性分析到双变量问题，构建“求导-构造-转化”推理链条| |二次求导解决导数问题|3例+3变式|涉及切线方程、极值点存在性、恒成立问题，需二阶导数符号判断|从一阶导数到二阶导数，深化导数符号与函数凹凸性的关联应用|

构造函数解决导数问题、二次求导解决导数问题专项训练 构造函数解决导数问题、二次求导解决导数问题专项训练 考点目录 构造函数解决导数问题 二次求导解决导数问题 考点一 构造函数解决导数问题 例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 【答案】(1)当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后，将导数符号的判断转化为二次函数在区间上根的分布问题，通过对判别式进行分类讨论来求解单调区间； （2）利用韦达定理进行整体代换，将含双变量的极值问题转化为关于参数的一元函数求最大值问题； （3）利用两根关系消去参数，通过换元法构造函数证明出，最后借助基本不等式放缩完成证明. 【详解】（1）由，得， 记，对称轴为， 若，即时，在区间内单调递增，所以， 所以，在区间内单调递增．             若，即时，当，即时，恒成立， 所以，在区间内单调递增；             当，即时，有两个不等的正实根，， 令，得或，令，得， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减． 综上，当时，在区间内单调递增； 当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在区间内单调递增． （2）由（1）得，因为有两个极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根，， 则，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在区间内单调递减， 所以．                     因为存在a，使得不等式成立， 所以对有解， 所以，故m的取值范围为． （3）证明：，不妨设， 因为， 所以，， 所以，．                下面先证明， 即证， 即证， 即证． 设，则上式转化为，             设，则， 所以在区间内单调递增， 所以当时，， 所以，所以，                 因为，所以， 得，当且仅当时取得等号， 又，所以， 所以． 例2．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；② 【分析】（1）先求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）①由（1）分和两种情况讨论，当时，的极大值为令，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解； ②由①知，又，得 ，即，令，则，又，令，利用导数研究单调性，进而得当取最小值时，取最小值，即取最小值，令，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减． 在处取极大值，为，无极小值． 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为． 令，则， 故在单调递减，在单调递增． ，即， 又，，故在存在一个零点． 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点． ∴若有两个零点，则． ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， 所以，， 得： ． 令，则， 又， 令，则， 令，则， 在单调递增，又，故，即在单调递增． ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值． 令，则， 令，则， 在单调递增，又，， ，使得，当时，，当时，， 且有，即，此时， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时． 例3．（25-26高三下·河南·月考）设函数，其中． (1)当时，证明：． (2)设为等腰三角形，其中为底边，顶角.若存在满足条件的的三个顶点均在曲线上，且顶点的纵坐标为1． （i）证明：点关于定直线对称； （ii）记的面积为，证明：是关于的单调递减函数． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意，转化为证明，设，利用导数求得函数为单调递增函数，结合，即可得证； （2）（i）设且，根据，得出关系式，构造函数，利用导数求得的单调区间，以及，结合对称性，即可得证； （ii）设点的横坐标为，点的横坐标为，得到，令， 设，利用导数求得的单调性，得到，即，再设，求得单调递增，得到的值域，再由方程有唯一解，由函数，求得其单调性，进而得出结论. 【详解】（1）证明：由函数，可得， 要证，即证， 设，其中，可得． 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即，所以，即成立． （2）解：（i）由点在曲线上，且纵坐标为1，结合，可得， 设且，其中，且， 由是等腰三角形且为底边，可知， 即， 设，则有， 且， 当时，且，可得， 即在上单调递减，同理可证在上单调递增， 又，所以， 即函数图象关于直线对称， 综上所述，若且，则与必然关于对称， 因此，点关于定直线对称． （ii）由（i）可知，可设点的横坐标为，点的横坐标为，其中， 此时的纵坐标均为，，点到的距离，也即三角形的高，为，则由几何关系可得， 令，则． 先证明是关于的函数，设，其中， 可得， 由（1）可知，即在上单调递减，故， 对于任意，取， 当时，设， 因为，令，可得， 所以单调递增，，可得单调递增， 所以，即，所以， 综上可得，函数的值域为． 由于存在，所以必有.由于单调递减，且值域覆盖该范围，方程在内有唯一解，则是关于的函数． 再证明该函数单调递减，， 令，则，其中， 易知，即单调递增，则当增大时，增大，增大． 由于，且是关于的单调递减函数，所以增大时，减小． 又由是关于的单调递增函数，当减小时，随之减小.综上，是关于的单调递减函数． 变式1．（2026·四川成都·三模）设函数. (1)当时，证明：； (2)已知函数在区间内存在极值点. ①求的取值范围； ②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①,②存在， 【分析】（1）构造函数，求导进行求解； （2）①因为函数在区间内存在极值点，所以在内有变号零点，，对分类讨论进行求解； ②由①知，当时，得，得在上单调递减，故当时，在上单调递增，在上单调递减，由零点存在性定理进行求解；由，及，得则 ，构造函数，求导判断与0大小关系即可． 【详解】（1）设， 则， 因为，所以， 则函数在上单调递增，所以， 得当时，，即得证． （2） ， ， 因为函数在区间内存在极值点， 所以在内有变号零点． ①当时，因为，所以， 得 恒成立， 得函数在上单调递减，无极值，不合题意， 当时，令， 则 ， 所以函数在上单调递减， 又 ， 若 ，即， 则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意， 若 ，即， 因为函数在上单调递减，且 ， ， 所以存在，使得 ，即， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意， 故的取值范围为：． ②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，得，则， 得在上单调递减， 故当时，在上单调递增，在上单调递减， 而 ， ， 而 ， 由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得， 即存在唯一的零点，使得． 接下来比较与的大小， 因为， 由，得，得， 则 ， 令， 得 ， 令，得， 得在上单调递减，得， 而 ， 令， 得， 得在上单调递减，得， 得， 得 ， 得在上单调递减，得， 得 ，而，得 ， 因为，所以，得，而， 而当时，在上单调递减， 得． 变式2．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知为实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值点，求的取值范围； (3)若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）代入参数后求导，得到切线斜率和切点坐标，写出切线方程； （2）极值点存在等价于导函数在区间内有零点，分离参数转化为函数值域问题，利用函数的单调性确定参数范围； （3）构造函数，利用端点值为零及二阶导数的符号判断单调性，通过分类讨论得出参数需满足的条件. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以切线方程为，即； （2），函数在区间上存在极值点， 则在有解，即方程在有解， 令，， 当时，， 所以函数在单调递增，，， 所以，所以，即的取值范围为； （3）原不等式整理为， 即对恒成立， 令，所以， 令，所以， 因为，所以， 当时，，所以， 所以在单调递增，所以，所以， 即在单调递增，所以，符合题意； 当时，存在，使得， 因为，所以在存在区间，其中，使得， 即在单调递减，所以存在区间使得，即， 所以即在单调递减，所以，不符合题意. 综上所述，即的取值范围为. 变式3．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）设函数在上可导，导函数为，若关于的方程在有且只有两个不同的解，则称是上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为在上的平行切点. (1)是否存在上的“双平行切线函数”，且在上不是单调函数?若存在，请举例；若不存在，请说明理由； (2)令，设直线与的图象交于两个不同的点，，其横坐标分别为，，且是上的“双平行切线函数”，在上的平行切点为，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)存在上的“双平行切线函数”，但在上不为单调函数. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由函数，根据，得到方程，求得方程的两解，得到为上的“双平行切线函数”，再利用导数求得得到单调性，即可得到结论； （2）（i）根据题意，转化为在上有两个不同的解，求得，令，求得，得出的单调性，得到的单调性，求得其最小值，进而求得的取值范围； （ii）设，转化为证明，设，求得，再令，利用导数求得在上单调递减，得到，进而证得. 【详解】（1）解：存在上的“双平行切线函数”，且在上不是单调函数. 先证明：为上的“双平行切线函数”： 由函数，可得， 令，可得， 化简得，解得，， 所以为上的“双平行切线函数”； 令，即，可得或， 当且仅当时，，所以在，上单调递增， 当且仅当时，，所以在上单调递减， 所以在上不是单调函数， 所以存在上的“双平行切线函数”，且在上不为单调函数. （2）解：（i）由题意知：，且， 所以在上有两个不同的解， 所以，即在上有两个不同的解， 因为，可得， 设，则， 当时，，则为减函数，即为减函数， 当时，，则为增函数，即为增函数， 故，且当时，，，， 所以在上有两个不同的解，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （ii）不妨设，则，， 要证，即证， 因为，所以， 因为，在上为增函数，所以只需要证明：. 因为，所以只需要证明：，其中， 设， 则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递减， 因为，所以，即，其中， 所以得证. 考点二 二次求导解决导数问题 例1．（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）单调递增；（ⅱ） 【分析】(1)求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解 (2)(i)二次求导判断导数的最小值，进而判断原函数的单调性 (ii)与分类讨论，通过二次求导来证明极值点存在 【小题1】根据题意，，， ，，， 所以所求切线方程为. 【小题2】（ⅰ）时，， ， 设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，， 所以在上单调递增. （ⅱ）由已知， ， ， ①当时， ， 所以在上单调递增，不合题意. ②当时，设，则 ， 当时， ，，所以； 当时， ，，所以. 所以在单调递减，在单调递增. 因为，当， ；当， ， 所以存在，，使 ． 当x变化时，，情况如下： x ＋ 0 － 0 ＋ ↗ ↘ ↗ 所以在上存在唯一的极大值点，符合题意. 综上所述， 例2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，. (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若在，在处的切线互相平行，求的最大值； (3)若“，”为真命题，试写出一个符合条件的实数，使其与的最小值误差不超过0.07.（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)； (3)0.85（答案不唯一） 【分析】(1)利用导数判断单调性，将单调递增转化为导函数恒非负，分离参数求解即可 (2)切线平行即导数相等，合理构造函数求解最值 (3)恒成立问题分离参数，构造函数求解最值，结合已知数据估算最值点并取值. 【详解】（1），由条件可知，，则只需，， 当时，，不成立；当时，解得，则，解得； 综上可得实数a的取值范围为. （2）；时，.因为在与在处切线相互平行，所以， 即，则， 所以.令，， 则从而，在单调递增，单调递减 故，则的最大值为. （3）原式等价于，，即，，等价于，， 令，，则， 令，， 时，，单调递增，则，即； 时，，单调递减，因此在处取得最大值. 又因为时，，故存在唯一，使得，即, 则在上单调递增，在上单调递减，故的最大值在处取得， 因为，，所以， 此时满足即， 因为，即 因为，则，， 又因为，，则，故可取. 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 【答案】(1)（i）在上单调递增；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由在时恒成立，得的单调性；（ii）问题转化为存在，使得成立，令，利用导数求最值即可. （2）令，通过导数研究函数单调性证明在时恒成立即可. 【详解】（1）（i）当时，， 则，             ，，，所以，             所以在上单调递增.             （ii）存在，使得成立，即存在，使得成立，             令，，         由（i）可得，所以， 令，， 所以在上单调递增，             ，所以，所以在上单调递增， 存在，使得成立，即， 综上：. （2）证明：当时，令， .             令，， 令，. 令，在时恒成立，             在上单调递减，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， ，，， 所以，使得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， ，，             ，即对任意的，. 变式1．（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，证明：函数有唯一极大值点，且； (3)记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由. 【答案】(1)当,时，，单调递增；当,时，，单调递减. (2)证明见解析； (3)数列是等比数列，公比. 【分析】（1）利用导数可直接判断单调性 （2）求出，构造，进而利用导数证明有唯一极大值点；利用，结合三角恒等与对数公式转化为证明，构造，利用导数求出最值 （3）利用导数求出的所有极值点，设，则，进而，，化简即可判断. 【详解】（1）已知，定义域. 求导： ， 因为 恒成立，符号由决定 所以，当,时，，单调递增； 当,时，，单调递减. （2）， 因为，恒成立，所以的符号完全由决定. , 当时，，，所以，因此在上单调递减. 因为， 由零点存在定理：存在唯一，使，即， 当 时，，故，单调递增； 当 时，，故，单调递减 故为唯一极大值点. 由，可得：，利用三角恒等式：​ 因此： 现在只需证明：， 对不等式两边取自然对数（两边均为正），即证： 令，只需证对所有成立. 化简：， ​对求导： ​ 通分整理： 可见，，且仅当时. 因此， 在上单调递减. , 当时， ，故恒成立 因此：恒成立， 即： 综上，函数 在内有唯一极大值点​，且. （3）， ，时，即， 方程在 (0,+∞) 内的所有解为：, 按从小到大排列，第个极值点为：, . ， 设，则，由三角恒等式：， 因此：， 代入：， ，, 故数列是等比数列，公比. 变式2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知函数，其中． (1)证明：当时，； (2)当时，证明：对任意，； (3)若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数证明不等式，设，由导数得在上单调递增，则当时，，得证； （2）利用导数证明不等式，设，由导数结合（1）中结论，并使用由局部到整体的思想，可得，进而可得在上单调递增，即，得证； （3）由题意得，令，求导，当时，则，取，根据导数及函数是偶函数讨论即可求解，当时，，根据导数讨论即可判断. 【详解】（1）设，则， 所以在上单调递增，当时，， 即. （2）设， 因为当时，，由（1）可知， 所以 ， 所以在上单调递增，即， 即，得证. （3）由题意得， 令，， （ⅰ）当，即时，取， 所以，当时，，结合（1）可知， 函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数是偶函数， 故当时，， 因为，所以是的极小值点，符合题意； （ⅱ）当时，因为，且在区间上连续可导， 又因为， 所以函数是定义在上的偶函数， 故存在，使得对任意，都有， 所以函数在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以是的极大值点，不符合题意； 所以实数的取值范围是. 变式3．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知. (1)设函数在原点处的切线方程为，当时，，求实数的取值范围； (2)若函数的图象上存在两点关于原点对称，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）对函数求导，利用切线方程得出表达式，即可求出实数的取值范围； （2）利用图象上存在两点关于原点对称得出，将问题等价于在上有解，构造函数并求导，通过分类讨论不同时函数的零点个数，即可求解实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，在中，， ∴图象过，， ， ∴函数在原点处的切线方程为：，即， ∴， ∵当时，， ∴，即， 设 在中， 当时，均存在，不符题意舍去， 当时，二次函数开口向下，顶点处横坐标为， ， ∴，解得：， 综上，. （2）由题意及（1）得， 在中， 函数的图象上存在两点关于原点对称， ∴， 时，，， 问题等价于在上有解， 设，则， 当时，，单调递减，，不符题意，舍去； 当时，当时，解得：或0 当即时，单调递减， 当即时，单调递增， ∴，，函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增， 又，函数在上有一个零点； 综上，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $构造函数解决导数问题、二次求导解决导数问题专项训练 构造函数解决导数问题、二次求导解决导数问题专项训练 考点目录 构造函数解决导数问题 二次求导解决导数问题 考点一 构造函数解决导数问题 例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，，且存在a，使得不等式成立，求m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个实根r，s，求证：． 例2．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 例3．（25-26高三下·河南·月考）设函数，其中． (1)当时，证明：． (2)设为等腰三角形，其中为底边，顶角.若存在满足条件的的三个顶点均在曲线上，且顶点的纵坐标为1． （i）证明：点关于定直线对称； （ii）记的面积为，证明：是关于的单调递减函数． 变式1．（2026·四川成都·三模）设函数. (1)当时，证明：； (2)已知函数在区间内存在极值点. ①求的取值范围； ②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知为实数，函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值点，求的取值范围； (3)若对恒成立，求的取值范围． 变式3．（25-26高三下·湖南邵阳·月考）设函数在上可导，导函数为，若关于的方程在有且只有两个不同的解，则称是上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为在上的平行切点. (1)是否存在上的“双平行切线函数”，且在上不是单调函数?若存在，请举例；若不存在，请说明理由； (2)令，设直线与的图象交于两个不同的点，，其横坐标分别为，，且是上的“双平行切线函数”，在上的平行切点为，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 考点二 二次求导解决导数问题 例1．（2026·北京石景山·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 例2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，. (1)若在单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若在，在处的切线互相平行，求的最大值； (3)若“，”为真命题，试写出一个符合条件的实数，使其与的最小值误差不超过0.07.（参考数据：，，，） 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数，其中. (1)， （i）当时，讨论的单调性； （ii）若存在，使得成立，求的取值范围； (2)当时，证明：对任意的，. 变式1．（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，证明：函数有唯一极大值点，且； (3)记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由. 变式2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）已知函数，其中． (1)证明：当时，； (2)当时，证明：对任意，； (3)若是的极小值点，求实数的取值范围． 变式3．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知. (1)设函数在原点处的切线方程为，当时，，求实数的取值范围； (2)若函数的图象上存在两点关于原点对称，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $