湖南长沙市衡阳市第八中学等校2026届高三下学期5月学情自测数学试卷

2026年5月高三检测卷 数学 （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事顶： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 2 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知变量x和变量y的一组样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（残差=观察值-估计值）求重新得到的回归直线方程斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 圆柱的侧面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 圆柱的外接球的表面积为 10. 已知抛物线，设O为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（异于点），则下列结论正确的（ ） A. 若，可能为锐角三角形 B. 若，点在直线上的投影为定点 C. 若，且直线，分别交轴于点，，则 D. 若，且直线，分别交轴于点，，则 11. 定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______．（请用数字作答） 13. 在等差数列中，若前n项和有最大值，且，则满足时的最大正整数n为________． 14. 设椭圆的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与椭圆C相切于第一象限内点P，直线l与x轴交于点M，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O． （1）求证：平面ABCD； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 16. 在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． （1）求角的大小； （2）若，的周长为，求的面积． 17. 某高中为提升学生的数学应用能力，开展数学建模活动，设置了A，B两类实践项目，每位学生需依次完成这两类任务，只有A任务合格后，才能参与B任务的考核，两项任务均合格则实践活动评定为优秀，仅A任务合格评为良好，A任务不合格直接评定为不合格．已知学生甲完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为；学生乙完成A任务合格的概率为，若A任务合格，完成B任务合格的概率为，且甲、乙两人完成任务的结果相互独立． （1）求学生甲在本次实践活动中评定为优秀的概率； （2）在甲、乙两人中至少有一人实践活动评定为优秀的条件下，求学生甲评定为优秀的概率； （3）从甲、乙两名学生中随机选取一个，记该生实践活动的最终得分为：不合格为0分，良好得4分，优秀得8分，设选取学生的得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）若椭圆C的离心率为，点在椭圆上，求椭圆C的标准方程； （2）在（1）的条件下，若直线l的斜率为，求的大小； （3）若存在这样的直线l使得，求椭圆离心率的取值范围． 19. 已知曲线，函数，其中． （1）试求曲线与函数的交点个数； （2）设曲线与函数的交点为，作在点T处的切线，交y轴于点K． （i）证明：； （ii）若在点处的切线与TK垂直，试探究点与椭圆的位置关系． 2026年5月高三检测卷 数学 （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事顶： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2026 【14题答案】 【答案】或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【16题答案】 【答案】（1）或 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）曲线与函数有一个交点 （2）（i）证明见解析；（ii）答案见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $