2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册期末模拟试卷

**基本信息** 沪教版七年级数学期末模拟卷，以几何动态问题与代数推理为核心，融合实际应用与创新定义，全面考查抽象能力、空间观念及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数、不等式、平行线、三角形全等|第8题动点运动与全等判定结合，考查空间观念| |填空题|6/18|角平分线、航海距离、不等式组整数解、利润计算|第14题双动点全等分类讨论，体现推理意识| |解答题|8/72|创新定义“内含解”、几何证明、旋转变换、尺规作图|第17题“内含解”定义应用，第24题旋转与作图综合，突出数学语言表达|

沪教版（五四制）七年级数学下册期末模拟试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中正确的是() b e a A.abc< B.a+c>0 C.la> D.ac bc 2.若关于x的不等式ax-2>3x+1的解集为x<-2,则a的值为() 4多 c. 3.如图所示，下列说法： ①∠1与∠3是同位角；②∠1与∠2是同旁内角： ③∠1与∠2是内错角；④∠4与∠2是同位角，其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在ABC中，BD平分∠ABC,若LA=80°，∠C=30°，则∠ADB的度数是() A.50° B.55 C.60° D.659 5.己知，如图，在ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分 别交AB、AC于点D、E,若AB=5,AC=4,则ADE的周长为() D B A.5 B.7 C.8 D.9 .ADE的周长为AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9. 2x+y=3 6.关于x、y的二元一次方程组 x-y=k，则下列四个结论正确的个数是() 试卷第1页，共3页 x=2 ①若k=3,则上述方程组的解为 y=-1 ②若x+y>0,则k<6; ③若x≥-2，y>2,则k的最小值为-9： ④若x≤m则A=4x-3y的最大值为10m+9. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，绳子的两端分别系在墙上的点A处和房顶的点B处，在绳子上的点C处悬挂重物 D,CD∥AE,AC⊥BC.若∠CAE=70°，则∠BCD的度数为() B A.160° B.150° C.140° D.120 8.如图，在长方形ABCD中，AB=6,BC=12.点P从点A出发，以每秒2个单位长度 的速度沿AB向点B匀速运动，点)从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向点C匀 速运动，点R从点C出发，以每秒Q个单位长度的速度沿CD向点D匀速运动，连接P?、 RQ,三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动.若在某一时刻， △PBQ与QCR全等，则a的值为() A D R A.1 B.3 C.1或3 D.3或6 9.已知AC和BD是四边形ABCD的对角线，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点E.设 ∠BDC=a,∠BAC=B(其中a>B),则() 试卷第1页，共3页 C A.∠E=2a-BB.∠E=2B-aC.2∠E=a+B D.∠E=2a-2B 10.如图，在ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边三角形BCD,连接AD,将 △ABD绕点D顺时针旋转得到△ECD,点A的对应点为E,则下列结论一定正确的是() B A.DE=AB+CE B.AB ED C.ZDCE=ZBCD D.AD⊥BC 二、填空题（每题3分，共18分） 11.如图，CD∥EF,∠1=∠2.求证：∠3=LACB. G3 D E 2 证明：CD‖EF, :∠2=，（两直线平行，同位角相等） 又：∠1=∠2 .∠1= GD∥CB ( L3=∠ACB( 12.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正 试卷第1页，共3页 北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为 海里。 北 →东 09 709 3x+1zx-1 13.已知关于x的不等式组{2 有且仅有3个整数解。 7-2a>6x-3 (1)a的取值范围是 (2)若关于y的一元一次方程y-a=二+1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的 3 和为 14.如图，∠A=∠B=90°，AB=60cm,AG=20cm,点E在线段AB上以2cm/s的速度由 点B向点A匀速运动，同时点F从点B出发以vcms的速度沿射线BD匀速运动，点E到点 A时，E,F两点同时停止运动.若存在某一时刻，△AEG与△BEF全等，则的值为 A 15.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=54°，点D为AB中点，且OD⊥AB,∠BAC 的平分线与DO交于点O,点E在BC上，点F在AC上，将△CEF沿EF折叠，点C与点O 恰好重合，则LBEO的度数为· B 16.某公司生产的A,B两种不同搭配原料的营养品，它们的信息如下： 试卷第1页，共3页 品种 每包食材含量 每包售价 30元 B 4千克 64元 该公司每日用8400元购进各种原料1000千克，并恰好全部用完.表上A的每包食材含量出 现污渍，只知道它是个整数.已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若 A的包数不低于B的包数，则A为包时，每日所获总利润可达4800元. 三、解答题（每题9分，共72分） 17.定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等 式的“内含解”.例如：方程3x-6=0的解是x=2,同时x=2也是不等式2x+5>0的解，则 方程3x-6=0的解x=2是不等式2x+5>0的“内含解”. (①)判断方程5x+4=2x-2的解是不是不等式+3>0的内含解，并说明理由： 5 (2)当n=3时，方程3x-n=3的解是不等式2(2x-m≤x+3的内含解”，求整数m的最小值； 2x+3y=5k+1 (3)若关于x,y的方程组 的解是不等式3x-y>5的“内含解”，求k的取值范 5x+2y=3k-6 围. 18.直线AB、CD相交于点O,∠EOF在∠AOD的内部. 图① 图② (1)如图①，当∠AOD=120°，∠EOF=60°时，求∠A0F与∠E0D的度数和： (2)在(1)的条件下，请直接写出图中与∠B0C互补的角： (3)如图②，若射线OM平分∠AOD(OM在LE0D内部)，且满足∠E0D=2LF0M,请判 断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由. 19.己知a、b、c是非负实数，且3a+2b+c=6,a+b-3c=2,求2a+b+c的最小值. 试卷第1页，共3页 20.探究与证明 G 【推理证明】 (I)如图，GF⊥AB,垂足为F,CD⊥AB,垂足为D,DE∥BC,求证∠I=∠2 请补全下面的证明过程 证明：：GF⊥AB,CD⊥AB（己知)， ∠BFG=∠BDC=90°（垂直的定义）. .GF∥CD( .∠2=∠-（两直线平行，同位角相等）. 又：DE∥BC(已知)， ∠1=∠-(-). .∠1=∠2( 【拓展证明】 (2)若把(1)中的题设“DE∥BC”与结论“∠1=∠2”对调，其他条件不变，所得命题是真命 题还是假命题？若是真命题，则仿照(1)写出证明过程；若是假命题，则请举出反例. 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：①GF⊥AB,②CD⊥AB,③∠1=∠2，④DE∥BC,从中 选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有_个真命题 21,如图，将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE,点B、C的对应点分别为D、E,且点 D在线段BC的延长线上 (1)求证：∠ACD+∠E=180°； (2)若∠BAD=98°，求∠CDE的大小， 22.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G,且AD=AB,E, 试卷第1页，共3页 F分别是边AB,AC上的点，且∠EDF=60°. (1)求证：△ABD是等边三角形： (②)若AB=AC=10,AE=7,求AF的长. 23.在△ACB和△DCE中，CB=CA,CD=CE,点A、D、E在同一直线上，AE和BC交 于点N,连接BE. D B B (I)如图，若∠ACB=∠DCE,求证：AD=BE; (2)如图，若LACB=LDCE=90°，CM为△DCE的高，若点N是ME的中点，且 SBE=24,求DN的长； 3)在(2)的条件下，延长CM交B于点E,连接NP,若F=0,求FM的长 24.在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a,点D在射线BC上，连接AD,将线段AD绕 点A逆时针旋转(180°-2α)得到线段AE,且点E不在直线AB上，过点E作EF∥AB,交直 线BC于点F, (1)如图1，若点D与点C重合，a=45°，求证：BF=AC; E C(D) B 图1 (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，连接BD. 试卷第1页，共3页 A B E 图2 ①尺规作图：线段DF上取点G,使△ADG≌△AEB;(保留作图痕迹，不写作法) ②证明：△ADG≌△AEB; (3)在(2)的情况下，判断DF与BC的数量关系，并证明. 试卷第1页，共3页 沪教版（五四制）七年级数学下册期末模拟试卷 一、单选题(每题3分,共30分) 1．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，． 2．若关于x的不等式的解集为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出不等式的解集，结合给出的解集，进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴，则， ∴. 3．如图所示，下列说法： ①与是同位角；②与是同旁内角； ③与是内错角；④与是同位角，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①与是内错角，原说法错误； ②与是内错角，原说法错误； ③与是内错角，原说法正确； ④与是同位角，原说法正确； ∴其中正确的有2个． 4．如图，在中，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和，角的平分线意义求解即可； 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 故； 5．已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，再根据三角形的周长、线段的和差、等量代换可得的周长为即可解答． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先解出方程组中，关于的表达式，再逐一验证四个结论，统计正确结论的个数即可． 【详解】解:原方程组，两式相加得， ，代入得， ① 当时，，，方程组的解为，故①正确． ② 若，则， ，得，故②正确． ③ 若，，则： ，，得； ，，得； 的取值范围是，可以取到，故的最小值为，③正确． ④ ，由得，代入得： ，若，随增大而增大， 当时，的最大值为，不是，故④错误． 综上，正确的结论共3个，答案选C． 7．如图，绳子的两端分别系在墙上的点A处和房顶的点B处，在绳子上的点C处悬挂重物D，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再结合周角的含义求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴. 8．如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．3或6 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况进行讨论：①当，时，；②当，时，，然后分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， 依题意，得，，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 如果与全等，那么可分两种情况： ①当，时，， ∴，， ∴，， 此时，不符合； ②当，时，， ∴，， 解得，， 综上所述：当a的值为1时，能使与全等． 故选：A． 9．已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，与相交于点，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设与相交于点，与相交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点E， ∴，， ∴由可得：． 10．如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可. 【详解】解：∵以为边向外作等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由旋转可知：， ∴C错误； ，， ∴即：三点共线， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴A错误； ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴B正确； ∵不一定相等， ∴不一定垂直于， ∴D错误. 二、填空题(每题3分,共18分) 11．如图， ，．求证：． 证明：， ______，（两直线平行，同位角相等） 又 ______，（________________） （________________） （________________） 【答案】答案见详解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，理清平行线的判定与性质之间的区别与联系是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，结合已知条件，通过等量代换得到内错角相等，进而判定两直线平行，再利用两直线平行，同位角相等，证明． 【详解】证明：， ，（两直线平行，同位角相等） 又 ，（等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 12．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 【答案】90 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析是解题的关键． 根据已知条件求得，，即可得到，即可得解． 【详解】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 13．已知关于的不等式组有且仅有个整数解． （1）的取值范围是_________； （2）若关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值的和为_____． 【答案】 12 【分析】（1）解不等式组，可得，，根据题意可得，即可得的取值范围； （2）根据题意可知整数可以取，，，分别计算对应的的值，可得的取值，即可求解． 【详解】（1）解：， 由不等式，得， 由不等式，得． ∵关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解， ∴， 解得． （2）解：由（1）知，则整数可以取，，． 由关于的一元一次方程， 解得， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值的和为． 14．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时点从点出发以的速度沿射线匀速运动，点到点时，，两点同时停止运动．若存在某一时刻，与全等，则的值为_______． 【答案】或 【分析】设运动的时间为，则，，则，分两种情况：当时，，，当时，，，列方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，，则， ①当时，，， ，， 解得，， ②当时，，， ，， 解得：，， 答案：或． 15．如图，在中，，，点为中点，且，的平分线与交于点，点在上，点在上，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，根据三线合一，结合中垂线的性质和等边对等角，求出的度数，再根据折叠的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，点为中点，且，的平分线与交于点， ∴垂直平分，垂直平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴. 16．某公司生产的，两种不同搭配原料的营养品，它们的信息如下： 品种 每包食材含量 每包售价 元 千克 元 该公司每日用元购进各种原料千克，并恰好全部用完．表上的每包食材含量出现污渍，只知道它是个整数．已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出．若的包数不低于的包数，则为______包时，每日所获总利润可达元． 【答案】 【分析】设A种营养品生产包，B种营养品生产包，A种营养品每包食材含量千克．根据总利润公式列出关于的方程，结合原料总重量列出关于的方程．利用整除性质和不等式确定的值． 【详解】解：设A种营养品生产包，B种营养品生产包，A种营养品每包食材含量千克， 根据题意，总利润为元，则： ① 由原料总重量为千克， 得：② 由①得：， 因为与互质，所以是的倍数 设(为正整数)，代入①得： 因为，所以， 解得 因为，即，所以 所以 又因为，左边为偶数，右边为奇数，所以必为奇数，即为奇数 将和代入② 得： 因为为正整数，为正整数， 所以是的因数的因数有 在范围内，只有 当时， 此时，解得，符合题意 故A为包． 三、解答题(每题9分,共72分) 17．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【分析】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 18．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 19．已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 20．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)真命题，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 21．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23．在和中，，，点A、D、E在同一直线上，和交于点N，连接． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，为的高，若点N是的中点，且，求的长； (3)在（2）的条件下，延长交于点F，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、三角形面积公式，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，则有，根据三线合一性质，结合为的高，得到，再证明，得到，设，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，由（2）得，，，则，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵为的高，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点N是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（2）得，，，， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 24．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且点不在直线上，过点作，交直线于点． (1)如图1，若点与点重合，，求证：； (2)如图2，点，都在的延长线上，连接． ①尺规作图：线段上取点，使；（保留作图痕迹，不写作法） ②证明：； (3)在（2）的情况下，判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先利用已知角度推出为等腰直角三角形，再结合旋转的性质得到线段与角的等量关系，通过证明四边形为平行四边形，推导出与相等． （2）①根据全等三角形的对应边相等，在上截取线段，使，完成尺规作图． ②结合旋转的性质得到、，再利用等腰三角形的性质推出，最后通过证明． （3）先由等腰三角形的性质推出，再结合平行线的性质与三角形内角和定理证明，最后利用全等三角形的性质得到，进而推导出与的数量关系． 【详解】（1）证明：，， ， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； （2）①解：如图，在上取一点，使得． ②证明：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $