带电粒子在三角形边界磁场中的运动 专项训练-2026届高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在三角形边界磁场中的运动，通过10道综合题系统训练轨迹几何分析、临界条件判断及运动分解，强化科学思维中的模型建构与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形边界磁场综合问题|10道解答题|轨迹圆几何构造、临界相切分析、运动分解（磁场圆周+电场平抛）|洛伦兹力提供向心力→三角形边角关系确定半径/圆心角→结合周期公式及运动学规律求解|

03带电粒子在三角形边界磁场中的运动�-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，在轴上，在轴上，是边长为的正方形；在轴上，平行轴，是等腰直角三角形，；区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，区域内有沿轴正方向的匀强电场（图中未画出）。一质量为、电荷量为的粒子，以大小为、方向沿轴正方向的初速度从点射入磁场，从点离开磁场进入电场，从点离开电场。不计空气阻力及粒子重力。 (1)求匀强磁场的磁感应强度大小； (2)求匀强电场的电场强度的大小； (3)若区域内匀强电场方向沿轴负方向，相同的带电粒子从点以大小不同的初速度（，可以取不同值）沿轴正方向射入磁场，求带电粒子经过轴的位置距坐标原点的最小距离。 2．如图所示，纸面内的矩形区域内有平行于向上的匀强电场，电场强度为，边长为，e为边中点。正三角形区域内有垂直纸面的匀强磁场，其右侧有一个平行于的粒子接收屏，到接收屏的垂直距离为L。质量为m、带电量为的粒子从a点以初速度垂直电场线射入电场中，经电场偏转后从e点进入匀强磁场，随后从点射出磁场并打在接收屏上。粒子重力不计，忽略边缘效应。求： (1)粒子经过e点时速度v的大小及其方向与边的夹角； (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小及方向； (3)粒子从a点运动到接收屏的时间t。 3．如图所示，等腰直角三角形CAD的腰长为L，其外部存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），CD边有一点P，。一质量为m、电荷量为的粒子从D点以大小为v的速度沿AC方向射入磁场中，经磁场偏转后第一次沿DA方向通过P点进入三角形内部，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从D点运动到C点的时间t； (3)粒子第4次经过CD边的点与D点的距离d（不包括D点）。 4．如图所示，在三维坐标系Oxyz存在一球形区域，其半径大小为R，其球心的坐标为，其球面方程为，并且在球形区域内部充满沿z轴负方向的匀强磁场。在的空间内充满了匀强电场E（大小未知），其方向与z轴垂直，与x轴负方向和y轴正方向的夹角均为45°。现从点以初速度沿y轴正方向发射一带负电的粒子P，其荷质比为，刚好从球形区域与y轴的切点沿x轴正方向射入磁场，并从球形区域与x轴的切点射出。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。 (1)求出匀强电场E的大小； (2)若仅改变从S点发射粒子P的初速度大小，为了使粒子P能射入球形磁场区域，求其发射初速度的最大值；（提示：） (3)若在，且的平面上沿y轴正方向发射大量P粒子，要求都能沿x轴正方向垂直通过yOz平面，并从球面与平面的交线圆A上射出磁场，求发射点中与的函数关系，并写出的取值范围。 5．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁场边界是边长为L的等边三角形MON，N点坐标为；在第二象限有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为+q的粒子从P点由静止释放，粒子从y轴上Q点飞出电场时速度为v，粒子经过磁场偏转后恰好又从Q点进入电场，且在磁场中的运动轨迹与磁场一边界相切，不计粒子重力。求： (1)P点到y轴的距离， (2)磁感应强度B的大小； (3)粒子从Q点出电场到再次回到Q点经过的时间。 6．为了研究微观粒子的运动，设计如图所示的实验装置。离子源A产生初速度为零、带电量均为、质量为的正离子，经电压为的加速电场加速后匀速通过准直管，从点垂直电场方向射入匀强偏转电场（O为偏转电场两极板的中点），偏转后通过极板上的小孔离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN进入方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁场区域为等腰直角三角形．已知，，。忽略粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： (1)离子从O点进入偏转电场时速度的大小； (2)偏转电场两极板间的电压的大小以及离子离开偏转电场时速度的大小； (3)改变磁感应强度大小，可使离子打在不同位置上。当匀强磁场的磁感应强度大小为时，离子垂直打在的中点处，要使所有离子均打在上，求磁感应强度的调节范围。 7．如图所示，在平面第一象限内有以虚线为理想边界的匀强电场和匀强磁场区域，与轴夹角为，与轴之间的电场平行于轴向上，与轴之间的磁场垂直纸面向里。在轴上有一点到点的距离为。现有一个质量为、电荷量为的带负电粒子，从点以速度垂直于轴向右进入电场区域，粒子离开电场后从上的点进入磁场区域，已知点到轴的距离为。粒子经过磁场后从轴上点离开，且速度方向与轴垂直，不计带电粒子的重力，求： (1)电场强度和磁感应强度； (2)粒子从点运动到点所用的总时间。 8．如图所示，在直角三角形abc（含边界）区域内，存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一束质量为m，电荷量为q的带正电粒子从ab边中点O以不同初速度沿平行于ac方向射入该磁场区域。已知ac边长为L，，不计粒子间的相互作用力及粒子所受的重力。求： (1)粒子想从ab边射出的最大速度； (2)粒子想从bc边射出的最小速度。 9．如图所示，水平直线上方有竖直向下的匀强电场，下方有一边长为的正三角形匀强磁场区域边界上也有磁场，点在边界上，边与平行，匀强磁场方向垂直纸面向外。质量为、带电量为的粒子从点以初速度垂直电场方向射出，在电场中偏转后从点进入磁场，之间的水平距离为，竖直距离为，粒子重力不计。 (1)求电场强度的大小； (2)若粒子从边离开磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间。 10．如图所示，在xOy坐标系第一象限的三角形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，Q、N两点的坐标分别为，，在x轴下方有沿方向的匀强电场，电场强度为。将一个质量为、带电荷量为的正电荷粒子（重力不计）从点由静止释放。由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子无论向上或向下通过x轴后速度大小变为穿过前的倍。欲使粒子能够再次垂直经过x轴，则磁场的磁感应强度存在一个最小值，则 (1)求粒子第一次进入磁场时的速度； (2)求磁场的磁感应强度最小值； (3)若磁场的磁感应强度为最小值，求粒子在电场和磁场中运动的总时间t。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《03带电粒子在三角形边界磁场中的运动�-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在匀强磁场做匀速圆周运动的轨迹如图1所示 圆心在点，设半径为，则 解得 （2）粒子在点速度垂直轴，进入电场后做曲线运动，方向做速度为大小的匀速直线运动，轴方向做初速度为零的匀加速运动，设加速度大小为，从到的运动时间为，则         解得 （3）若入射速度大小变为，设带电粒子在磁场中运动轨道半径为，则 解得 粒子将沿轴正方向从边上点离开磁场，根据对称性，在边上点进入电场，因为电场方向沿轴负方向，粒子应从边上某点点离开电场，设经过轴上的点。粒子运动轨迹如图2所示。 粒子在点速度垂直电场进入电场后做曲线运动，方向做速度为大小的匀速直线运动，轴方向做初速度为零的匀加速运动，由（2）问解答可知，粒子在电场中从到的运动过程中，沿方向位移与沿方向上的位移相等，设为，运动时间为，则      解得 设粒子射出电场时速度方向与轴正方向的夹角为，则 过作轴垂线交轴于点，在中有 设带电粒子经过轴的位置点距坐标原点的距离为，由几何关系 解得 当时有最小值，最小值为 2．(1)2v0，方向与边的夹角 (2)，方向垂直纸面向外； (3) 【详解】（1）粒子在电场中做平抛运动，竖直方向的加速度 到达e点时的竖直速度 则e点的速度大小 方向与边的夹角为，可得 （2）粒子从e点到f点做匀速圆周运动，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外；由几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的半径 则由 可得 （3）粒子在电场中运动的时间 在磁场中运动的时间 粒子从磁场射出时的速度方向垂直于接收屏，则从f到接收屏的时间为 则总时间为 3．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动有 根据几何关系可知 解得。 （2）设粒子在磁场中运动的时间为，粒子在三角形内部运动的时间为，由几何关系可知， 粒子从D点运动到C点的时间 解得 （3）如图 根据几何关系可知 由正弦定理得 解得 4．(1) (2) (3)或 【详解】（1）在y方向上有 其中 同时 解得 （2）若粒子P以的速度发射，在C点经过y轴，并将与球面切于D点，其速度偏转角为，如图一所示则 其中，， 得 由几何关系可知 ，， 其中， 可得 根据 解得， （3）设在处以v的速度沿y轴正方向发射粒子P，若要使其能够垂直通过yOz平面，则需满足① 并且会在点的位置以v的大小通过yOz平面，然后水平射入磁场，其正视图如图二所示 其中②，③，④ 其俯视图如图三所示 则根据几何关系可得⑤ 综上⑥，其中⑦ 以下为计算过程，过程不赋分： ⑥式求解过程：根据④式可求得⑧ 将①⑧式代入⑤即可求得⑥ ⑦式求解过程：将②⑤代入③，可得 ⑨ 将⑥代入⑨，可得 解得 5．(1) (2) (3) 【详解】（1）设P点到y轴的距离为l，根据动能定理有 解得 （2）粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系有 联立解得， （3）粒子从Q点出电场到再次回到Q点运动轨迹的长度为 又 求得粒子从Q点出电场到再次回到Q点经过的时间 6．(1) (2)； (3) 【详解】（1）正离子在加速电场中，根据动能定理可得 解得 （2）正离子在偏转电场中做匀变速曲线运动，水平方向上做匀加速运动，有 其中 在竖直方向上做匀速直线运动，有 联立解得 正离子沿电场方向的速度为 则 解得： （3）当离子打在NQ中点时，由洛伦兹力提供圆周运动所需要的向心力，有 解得 若增大磁感应强度，离子运动半径减小，当离子恰好打到点时，运动半径 可得 若减小磁感应强度，离子运动半径增大，由几何关系可得，当离子轨迹与相切时， 所以 求得 故磁感应强度B取值范围是： 7．(1)， (2) 【详解】（1）粒子由M点运动到N点的过程，平行于x轴方向做匀速直线运动，平行于y轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有，， 联立解得， 设粒子经过N点时速度方向与水平方向的夹角为，根据速度的反向延长线过平行于x轴方向位移的中点，有 则 即速度方向与ON垂直，粒子经过N点时速度大小为 结合题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在O点，则 粒子在磁场中运动的过程，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子在磁场中运动的时间为 粒子从点运动到点所用的总时间 8．(1) (2) 【详解】（1）由图可知，当粒子的轨迹与边相切时，有 此时对应的为最大速度，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 （2）由图可知，当粒子的轨迹与边相切时，有 此时对应的为最小速度，由洛伦兹力提供向心力得 联立解得 9．(1) (2) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则， 根据牛顿第二定律有 解得电场强度的大小 （2）粒子离开电场时，沿电场方向的速度 粒子离开电场时的速度 解得，方向沿方向 根据几何关系可知，粒子从点离开磁场，粒子在磁场中运动的时间最长，作出粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力有 根据几何关系可得 粒子在磁场中轨迹所对应的圆心角 粒子在磁场中运动的时间 解得 10．(1) (2) (3) 【详解】（1）从到的过程由动能定理有 由题意知 解得 （2）设磁感应强度为最小值时，其运动半径为，由几何关系有 根据 解得 （3）设其第二次在电场中运动的速度为，则有 设其第二次在磁场中运动的速度为，运动半径为，则有 由洛伦兹力提供向心力有 由几何关系知，粒子第二次在磁场中运动转过的角度为时，其离开磁场，则有，设其在电场中的时间为，在磁场中的时间为，有， 可得 联立解得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $