2026年上海市高考数学模拟卷5

**基本信息** 该模拟卷全面覆盖高中数学核心知识，解答题融入冰雪旅游调查（19题）、函数新定义“不动点”（21题）等情境，梯度设计合理，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合、向量、直线、复数、函数奇偶性等|基础巩固，1-6题侧重概念辨析（如第5题函数奇偶性），7-12题提升综合应用（如第9题圆与直线面积最值）| |选择题|4题/18分|立体几何、抛物线、正态分布应用、新定义|能力提升，第15题结合上班通勤情境考查概率决策，第16题“单调偶遇关系”体现创新思维| |解答题|5题/78分|立体几何证明、函数恒成立、统计案例、椭圆综合、新定义函数|创新应用，第19题通过冰雪旅游调查考查统计与期望计算，第21题以“不动点”“稳定点”深化逻辑推理，符合数学思维与创新意识培养要求|

2026年上海市高考数学模拟卷五 一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知集合，，则　 　. 2.已知向量，，若向量，则实数　 　. 3.已知直线和，若，则　 　. 4.若复数满足，为虚数单位，则　 　.　　 5.已知函数为奇函数，则实数　 　.． 6.随机变量服从正态分布，若，则为　 　. 7.若函数的定义域为，且，则实数的值为　 　. 8.已知数列的前项和，当取最小值时，　 　. 9.已知圆，直线过点且与圆相交于点、，则当的面积最大时，直线的方程为　 　. 10.设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是　 　. 11.已知，则的值为　 　. 12.已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是　 　. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题各4分，第15、16题各5分） 13.已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（ ） A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，且，则 14.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为的等边三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 15.王先生每天8点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（ ） ①若出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若出门，则王先生乘地铁上班不迟到的可能性更大 ④若出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，，. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.数列的前项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”．给出下列两个命题： ①与数列具有“单调偶遇关系的函数有有限个； ②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个． 则（ ） A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17.（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的大小． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，其中，、为实常数且． （1）若为偶函数，且其最小值为，求实数与的值； （2）若，，对任意实数均满足，求实数的取值范围． 19.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）近年来，冰雪旅游越来越受到广大游客的欢迎.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市社区年龄在的市民人，所得结果统计如下频数分布表所示： 年龄（单位：周岁） 频数 持喜爱态度 （1）求该样本中市民年龄的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)； （2）从这名市民中随机抽取人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于周岁的概率： （3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种： 方案一：按年龄进行分类奖励，当时，奖励10元；当时，奖励元：当时，奖励元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽次奖，年龄不低于样本中位数的可抽次奖.每次抽中奖励元，未抽中奖励元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为， 将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案. 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于、两点(点在点的上方)，与轴交于点． （1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长； （2）当且直线过点时，设，求证：为定值，并求出该值； （3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点．一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.或； 10.； 11.； 12. 二、选择题 13.B； 14.A； 15.A； 16.C 三、解答题 17（1）因为平面，且平面，所以 在正方形中，， 而，故平面； （2）以为坐标原点，分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 从而， 设平面的法向量为， ， 令，则，设直线与平面所成的角为， 则， 故与平面的所成角大小为． 18.【小问1详解】 由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； 【小问2详解】 由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 19.（1）样本中市民年龄的平均数为 ； （2）设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动， 事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下． 由频数分布表得， ， 所以在此人喜爱冰雪运动的前提下， 其年龄小于50周岁的概率为； （3）对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元， 则的所有可能取值为， 其对应的概率分别为，故． 对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元， 则的所有可能取值为． 得； ，， 所以， 因为，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二． 20．（1）当时，椭圆，的周长为； （2）当时，由得， 设，，则，， 由，，且点的横坐标为0， 得，，从而， ，所以为定值3； （3）由题意得椭圆方程， 由得， 当，即时， ，， 则 ， 当为定值时，即与无关，故，得， 此时， 又点到直线的距离， 所以， 当且仅当，即时取等号， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1． 21．（1）设，则恒成立， 故函数在上严格增， 又，故函数在上有唯一零点，即有唯一不动点1； （2）充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即， 假设，而在定义域内严格增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即， 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）当时，函数在上严格增， 由（2）得的稳定点与的不动点等价， 故只需研究的不动点即可； 令， 则，则在上严格减， ①当时，恒成立，即在上严格增， 当无限接近于0时，趋向于负无穷小， 且， 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； ②当时，即时，， 当趋向无穷大时，趋近于0，此时， 存在唯一，使得， 此时在上严格增，在上严格减， 故， 当趋近于0时，趋向于负无穷大， 当趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上严格增， 且，又在时严格增， 故当时，即， 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； 当，即， 此时，方程无解，即无不动点； 当时，即， 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点；当，有两个稳定点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $