2025--2026学年北师大版七年级下册期中数学卷【综合题强化训练·50道必刷题-4】

**基本信息** 聚焦七年级下册期中核心模块，以50道综合题构建几何推理、代数运算、函数应用及概率计算的系统化训练，强化数学眼光、思维与语言的综合运用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|1-2、12-14等|平行线证明与角度计算、三角形性质应用|从相交线基础到平行线判定与性质，结合三角形内角和及角平分线，构建逻辑推理链条| |代数运算|3、7、9、17等|幂的运算、乘法公式及代数式求值|以幂的运算法则为基础，通过乘法公式拓展至代数式变形，形成从基础运算到综合应用的递进| |函数应用|11、19、37等|变量关系分析与实际问题解决|从表格数据抽象函数关系，建立数学模型解决行程、弹簧长度等实际问题，体现模型意识| |概率初步|30、31、34等|事件列举与概率计算|通过列举法分析等可能事件，结合频率与概率关系，培养数据意识与随机观念|

【综合题强化训练·50道必刷题】北师大版七年级下册期中数学卷 1．如图，直线，相交于点，． （1）若，，则　 　； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 2．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D， （1）求证：BDCE； （2）若∠A＝30°，求∠F的度数． 3．尝试解决下列有关幂的问题： （1）若，求的值； （2）已知，，求的值； 4．若关于的多项式与的积为，其中，，，，，是常数，显然也是一个多项式． （1）中，最高次项为　 　，常数项为　 　； （2）中的三次项由，的和构成，二次项时由，，的和构成．若关于的多项式与的积中，三次项为，二次项为，试确定，的值． 5．如图，已知，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 6．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）观察图形，写出一个三者之间的等量关系式是　 　； （2）运用（1）中的结论，当时，求的值； （3）若，求的值． 7．已知a+b=3，ab=-2，求下列各式的值： （1）a2+b2； （2）9a·27b÷3b． 8．已知，和中，，试探究： （1）如图1，与的关系是　 　 ； （2）如图2，写出与的关系，并说明理由. 9．已知，，求： （1）的值； （2）的值； （3）的值. 10．已知， （1）求和的值； （2）求的值. 11．“五一”小长假期间，小天和父母一起开车到距家220千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶了180千米时，发现油箱余油量为27升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）写出油箱余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前沿原路返回到家？请说明理由． 12．已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD. （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA； （3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由. 13．如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°. （1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由； （2）若 ，求 的度数. 14．根据直尺和三角尺的实物摆放图，解决下列问题. ​​​​​​ （1）如图1，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法的示意图，画图的原理是　 　； （2）如图2，图中互余的角有　 　，若要使直尺的边缘DE与三角尺的AB边平行，则应满足　 　（填角相等）； （3）如图3，若BC∥GH，试判断AC和FG的位置关系，并证明. 15．如图，在△ABC中，∠ABC=65°，∠C=35°，AD是△ABC的角平分线. （1）求∠ADC的度数. （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F.求∠AFE的度数. 16．如图，已知F是四边形BCDE的边BE上一点，CB与DF的延长线相交于点A，其中∠A=∠ADE. （1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数； （2）若∠C=∠E，求证：BECD. 17．你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； （1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝　 　. （2）利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是　 　. （3）求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值. 18．两个边长分别为a、b（a>b）的正方形如图（1）放置，现在取BD的中点P，连接PA、PE，如图（2），把图形分割成三部分，分别标记①、②、③，对应的图形面积分别记为、、. （1）用字母a、b分别表示、. （2）若，，求. （3）若，，求. 19．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，如表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值： 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）上述表格反映了两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）不挂物体时，弹簧长　 　 cm； （3）当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度是多少？ （4）若弹簧的长度为34cm时，此时所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内） 20．如图，在 中，AD、AE分别是 的角平分线和高线. （1）若 ， ，求 的度数； （2）若 ，求 的大小. 21．（1）已知 ，求 的值； （2）请用乘法公式计算： 22．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边OA，边OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是的平分线． （1）证明：OP平分； （2）在（1）的条件下，请你在射线OP上任取一点Q，作，试判断线段QC与线段QD的数量关系并证明． 23．已知：和为等边三角形，B、C、D三点在同一条直线上， （1）； （2）； （3）求的度数． 24．已知：如图，DB平分∠ADC，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）若ED⊥DB，∠A=50°，求∠EDC的大小． 25．如图，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1+∠2＝180°，DE//BC． （1）求证：∠3＝∠B； （2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数． 26．如图，已知∠BDE＝∠B． （1）判断∠FAB与∠C的大小关系，请说明理由； （2）已知∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线，∠ADB＝110°，求∠BDE的度数． 27．如图，已知 ， ， . （1） 与 平行吗？请说明理由. （2）若 与 互补，求 的度数. 28．如图，已知 . （1）试着先判断 与 所在的直线是否平行？请说明理由. （2）如果 是 的平分线，且 ，求 的度数. 29．如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 30．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．训练课上，甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，共进行两次垫球 （1）请列举出两次传球的所有等可能情况； （2）求两次传球后，球回到甲手中的概率； （3）两次传球后，球传到乙手中的概率大还是传到丙手中的概率大？请说明理由． 31．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的20个小球，其中红球6个，黑球14个 （1）先从袋子中取出x（x＞3）个红球后，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”，记为事件A．请完成下列表格． 事件A 必然事件 随机事件 x的值 　 　 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入2m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率是，求m的值． 32．如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． （1）若，求和的度数； （2）射线与有什么位置关系?请说明理由． 33．如图，在中，平分为线段上的点，交直线于点 （1）若，求的度数； （2）试说明： 34．小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明说：“根据试验，一次试验中出现3点朝上的概率最大．”小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次．”小明和小亮的说法符合题意吗？为什么？ （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 35．如图，点是内部一点，交于点．请你画出直线，使，交于点． （1）补全图形； （2）请判断与的数量关系，并说明理由． 36．如图，，的平分线交于点．已知，，． （1）判断与有怎样的位置关系，并说明理由． （2）求的度数． 37．小红的物理老师说：“离地面越高，气温越低，高地面的高度每上升1千米，气温会下降6℃”，小红测得此时地面的气温为20℃． （1）物理老师描述了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）根据物理老师的描述，请把温度的变化情况填入下表： 离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 温度（摄氏度） 　 　 　 　 　 （3）在方格纸中，把离地面0千米、1千米、2千米、3千米、4千米高度的温度表示出来． （4）请你预测离地面高度为5千米时，气温为多少摄氏度？ 38． （1）已知a﹣ ＝2，求a2+ 和a4+ 的值. （2）已知a+b＝1，ab＝﹣3，求a2﹣3ab+b2的值. 39． （1）如题，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含x、y的等式表示）　 　. （2）若，，求的值； （3）若，，求的值. 40．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图、解答． （1）过点P作PQCD，交AB于点Q； （2）过点P作PR⊥CD，垂足为R； （3）若∠DCB＝120°，求∠PQC的度数． 41．如图，已知． （1）当与满足什么关系时，？并说明理由； （2）在（1）的条件下，若，，求的度数． 42．如图所示，点 是线段 上—点， 是过点 的一条直线，连接 、 ，过点 作 交 于 ，且 . （1）若 ，求 的长； （2）若 ， ，求证： . 43．（1）若 求 的值； （2）若 ，则将 用含 的代数式表示. 44．如图，已知在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 、 在 轴上， ， ， ，点 的坐标是 ， （1）求 三个顶点 、 、 的坐标； （2）连接 、 ，并用含字母 的式子表示 的面积（ ）； （3）在（2）问的条件下，是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？如果存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 45．探究与应用： （1） 计算：①（a+1）（a2﹣a+1）； ②（2m+n）（4m2﹣2mn+n2）． （2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的结论，用含a，b的字母表示为　 　． （3）直接用你发现的结论计算：（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）＝　 　． 46．如图，已知∠DAE+∠CBF＝180°，CE平分∠BCD，∠BCD＝2∠E． （1）CD与EF是否平行，请说明理由． （2） 若DF平分∠ADC，求∠DOC的度数（注：三角形的三个内角和等于180°）． 47．如图，△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG，EF. （1）说明：BG=CF； （2）BE，CF与EF这三条线段能否组成一个三角形？ 48．如图1，∠EFH＝90°，点A、C分别在射线FE和FH上，AB∥CD． （1）若∠FAB＝150°，则∠HCD＝　 　°； （2）小明同学发现：无论∠FAB如何变化，∠FAB﹣∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过A作AM∥FH，交CD于M，请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），先确定该定值，并说明理由； （3）如图3，把“∠EFH＝90°”改为“∠EFH＝120°”，其它条件保持不变，猜想∠FAB与∠HCD的数量关系，并说明理由． 49．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1，l2分别交于A，B两点，点P在AB上. ． （1）试找出∠1，∠2，∠3之间的关系并说出理由； （2）如果点P在A，B两点之间运动，问∠1，∠2，∠3之间的关系是否发生变化； （3）如果点P在A，B两点外侧运动，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系（点P和A，B不重合） ． 50．从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是____（请选择正确的一个）． A． B． C． （2）若，，求的值； （3）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【综合题强化训练·50道必刷题】北师大版八年级下册期中数学卷 1．甲、乙两厂家生产的课桌和座椅的质量、价格一致，每张课桌200元，每把椅子50元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲：买一张课桌送1把椅子；乙：课桌和椅子全部按原价的9折优惠．现某学校要购买60张课桌和把椅子，则什么情况下该学校到甲工厂购买更合算？ 【答案】当购买的椅子少于360把时，选择甲厂家合算 2．某服装商店计划购买一批上衣和裤子，店主小东用60000元购进上衣和裤子在自家商店销售，销售完后共获利13500元，进价和售价如表： 价格 上衣 裤子 进价(元/件) 100 150 售价(元/件) 125 180 （1）小东的商店购进上衣和裤子各多少件？ （2）该商店第二次以原价购进上衣和裤子，购进上衣件数不变，而购进裤子件数是第一次的2倍，上衣按原售价出售，而裤子进行打折销售，若所有上衣和裤子全部售完，要使第二次销售活动获利不少于12300元，每件裤子至少打几折？ 【答案】（1）小东的商店购进上衣300件，裤子200件 （2）九折 3．在图示的方格纸中 （1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1； （2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？ 【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示 （2）解：向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）． 【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答． 4．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表所示： 租金（单位：元/台•时） 挖掘土石方量（单位：m3/台•时） 甲型挖掘机 100 60 乙型挖掘机 120 80 （1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ （2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的租用方案？ 【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台． 依题意得： ， 解得 ． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台 （2）解：设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机． 依题意得：60m+80n=540，化简得：3m+4n=27． ∴m=9﹣ n， ∴方程的解为 或 ． 当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元＞850元，超出限额； 当m=1，n=6时，支付租金：100×1+120×6=820元＜850元，符合要求． 答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机 【解析】【分析】（1）把文字翻译成数学符号即字母是本题的关键；（2）构建方程组模型是难点；（3）方案型问题要转化为二元一次方程的整数解问题. 5．为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元/个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折． （1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？ （2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？ 【答案】（1）解：设需要购买x个奖品， 依题意得：， 解得 答：需要购买100个奖品． （2）解：设需要购买y个奖品， 根据题意得， 解得 答：购买的奖品数量多于90个时，按方案一购买要划算． 【解析】【分析】（1）设需要购买x个奖品，则方案一的费用为（）元，方案二的费用为[]元， 已知按方案一购买比按方案二购买可以节约元钱，则可列出方程 ，求解即可； （2）设需要购买y个奖品，则方案一的费用为（）元，方案二的费用为[]元， 若按方案一购买比按方案二购买要划算，则方案一的费用小于方案二的费用，可列出不等式，即可求解． 6．已知 与x成正比例，且当 时， . （1）求y关于x的函数表达式. （2）判断点 是否在函数的图象上，并说明理由. （3）当 时，y的最小值为4，求m的值. 【答案】（1）解：设 ， 把 代入上式， 得 ， 关于x的函数表达式为 ； （2）解：不在，理由如下： 当 时， ， 不在函数的图象上； （3）解： 随x的增大而减小 ∴当 时， 解得 . 【解析】【分析】（1）将x=2，y=-1代入函数解析式，建立关于k的方程，解方程求出k的值，即可得到函数解析式. （2）将x=-1代入函数解析式求出对应的y的值；即可作出判断. （3）利用一次函数的性质：k＜0，y随x的增大而减小，可得到当x=m+1时y=4，建立关于m的方程，解方程求出m的值. 7．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） +1≥x； （2） 【答案】（1）解：去分母，得：x﹣1+2≥2x， 移项，得：x﹣2x≥1﹣2， 合并同类项，得：﹣x≥﹣1， 系数化为1得：x≤1； 再数轴上表示为： （2）解：去括号得-6+2x＞3x+6， 移项得2x-3x＞6+6， 合并同类项得-x＞12， 把x的系数化为1得x＜-12， 在数轴上表示为， 【解析】【分析】（1）去分母、去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1即可求解；（2）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可. 8．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？证明你的结论； （2）求∠CAD的度数； （3）当以点C、A、E为顶点的三角形是等腰三角形，求OC的长． 【答案】（1）解：△OBC≌△ABD 理由如下：∵△OAB与△CBD是等边三角形 ∴OB＝AB，BC＝BD，∠OBA＝∠CBD＝60° ∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠OBC＝∠ABD ∴在△OBC与△ABD中， ∴△OBC≌△ABD(SAS)， （2）解：如图所示，设AD交BC于点F， 解：∵△OBC≌△ABD， ∴， 又∵， ∴∠CAD=∠CBD=60°； （3）解：∵ ∴∠EAC=120°，， ∴， ∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，只能是以AE和AC为腰 ∴AC=AE=2， ∴OC=OA+AC=1+2=3， 所以当OC等于3 时，三角形AEC是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△OBC≌△ABD即可； （2）设AD交BC于点F，根据全等三角形的性质可得，再结合，可得∠CAD=∠CBD=60°； （3）先求出，可得，再利用等腰三角形的性质可得AC=AE=2，利用线段的和差求出OC的长即可。 9．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC， （1）说明△BCD与△CAE全等的理由 （2）请判断△ADE的形状，并说明理由． 【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC，∠ACB=60° 又∵D为AC中点 ∴BD⊥AC，AD=CD 又∵AE⊥EC ∴∠BDC=∠AEC=90° 又∵BD=CE ∴Rt△BDC≌Rt△CEA （2）解：∵Rt△BDC≌Rt△CEA ∴∠EAC=∠ACB=60°，AE=CD 又∵D为边AC的中点， ∴AD=CD， ∴AD=AE ∴△ADE是等边三角形． 【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质和“HL"可判定全等；（2）由（1）的结论和已知，利用”有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形“证出结论. 10．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE=CD，连接BE． （1）若CE=4，BC= ，求线段BE的长； （2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP= PD； （3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE 中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）解：如图2中，作EF⊥BC， ∵∠ACB=60°，CE平分∠ACB， ∴∠BCE=30°， ∴EF= CE=2，CF= =2 ， ∴BF=BC﹣CF=4 ， ∴BE= = =2 （2）证明：如图2中，延长DP至G，使PG=PD，连接BG、AG， ∵DE=DC， ∴∠DEC=∠ECD=∠ECA=30°， ∴DE∥AC ∵PG=PD，PB=PE， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴BG∥DE∥AC， ∴∠ABG=∠BAC=∠ACD，BG=ED=CD， 在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD， ∴AG=AD，∠BAG=∠CAD， ∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AP⊥PD，AP= = PD． （3）结论成立． 证明：如图3中，延长DP至G，使PG=PD，连接BG、AG、EG、BD， 由（2）可知∠BGD=∠EDG，∠CDE=120°， ∴∠BGD+∠CDG=∠EDG+∠CDG=360°﹣∠CDE=240°， ∴∠CBG+∠BCD=120°=∠ABC+∠ACB， ∴∠ABC﹣∠CBG=∠BCD﹣∠ACB 即∠ABG=∠ACD， ∵PG=PD，PB=PE， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴BG=DE=CD， 在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD， ∴AG=AD，∠BAG=∠CAD， ∴∠DAG=∠BAG+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AP⊥PD，AP= = PD． 【解析】【分析】（1）如图2中，作EF⊥BC，求出EF、BF即可利用勾股定理求出BE．（2）如图2中，延长DP至G，使PG=PD，由△ABG≌△ACD，推出△AGD是等边三角形，即可解决问题．（3）方法类似（2） 11．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上. （1）求证：∠ABE＝∠ACE； （2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G.求证：EF＝EG. 【答案】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠EAB=∠EAC， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACE （2）证明：∵△ABE≌△ACE， ∴BE=CE，又∠ABE＝∠ACE，∠BEG=∠CEF， ∴△BEG≌△CEF（ASA）， ∴EF＝EG 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质就可以求出∠BAE=∠CAE，再证明△ABE≌△ACE就可以得出结论；（2）根据（1）中条件证明△BEG≌△CEF即可得到结论. 12．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：△ABE≌△CBF； （2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数． 【答案】（1）证明：在Rt△ABE和△CBF中，， ∴△ ABE≌△CBF（HL）. （2）解：∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-25°=20°，∵△ ABE≌△CBF，∴∠BCF=∠BAE=20°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=20°+45°=65°. 【解析】【分析】（1）根据现有条件，利用斜边直角边定理即可证明△ ABE≌△CBF； （2）因为△ABC为等腰直角三角形，得出∠BAC为90°，现知∠CAE的度数，则∠BAE角度可求，于是由全等三角形对应角相等可求∠BCF的度数，则∠ACF的度数可求. 13．如图，在 中， 是 边上的中线， 的垂直平分线分别交 于点 ，连接 . （1）求证：点 在 的垂直平分线上； （2）若 ，请直接写出 的度数. 【答案】（1）证明： ，点 是 的中点， ， ∴ 是 的垂直平分线， ， 是 的垂直平分线， ， ， 点在 的垂直平分线上. （2） 【解析】【解答】（2）解：∵ ，点 是 的中点， ∴ 平分 ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， . 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=25°，∠CAB=50°，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故答案为：即可得到∠BOF的度数. 14．如图，在中，，点D在边上，过点D作，，且． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）解：∵在和中 ， ∴ ≌， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴AB=AC． 【解析】【分析】（1）先利用“HL”证明 ≌，可得，所以； （2）根据等角对等边的性质可得AB=AC。 15．如图，在 中， ， ， ，垂足为G，且 ， ，其两边分别交AB，AC于点E，F. （1）若 ，求AC的长； （2）求证： . 【答案】（1）解：∵AB=AC， ， ∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC， ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠DAC= ×120°=60°， ∵AD=AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD=AB=BD， ∵ ， ∴DG=AG= AD=2， ∴AD=AB=AC=4， 即AC=4； （2）证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD， ∵ ， ， ， ∴∠BAD=∠DAC= ×120°=60°， ∴∠ABD=∠DAC， ∵∠EDF=60°， ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE，即∠BDE=∠ADF， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF， ∵AB=AE+BE， ∴AB=AE+AF. 【解析】【分析】（1）由AB=AC，AD⊥BC，可得AD垂直平分BC，求得∠BAD=∠DAC=∠BAC=60°，又AD=AB，推出△ABD是等边三角形，可得AD=AB=BD，DG=AG=AD=2，即可求得AC的长； （2）由（1）中证明可知，△ABD是等边三角形得∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，∠BAD=∠DAC=∠BAC=60°，进而得∠ABD=∠DAC，又∠EDF=60°，可推得∠BDE=∠ADF，即可证明△BDE≌△ADF，由全等性质得BE=AF，结合AB=AE+BE，等量代换即可求证AB=AE+AF. 16．我县初三实考在即，为了更好地备考，某校准备提前采购A、B两类实验器材．经查询，若购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；若购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元． （1）分别求出A、B两类实验器材每套的价格； （2）经核算，该校决定共购买这两类实验器材30套，其中A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）解：设A类实验器材每套的售价为x元， B类实验器材每套的售价为y元，根据题意得， ， 解得 答：A、B两类实验器材每套的价格分别为300元、400元． （2）解：设购A类实验器材m套，费用为W元，则， ∴． ∵ ∴当时，W有最小值，最小值为10000元． ∴购进A类实验器材20套，B类实验器材10套时，总费用最低，最低费用为10000元． 【解析】【分析】（1）设A类实验器材每套的售价为x元， B类实验器材每套的售价为y元，根据购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元可得2x+y=1000；根据购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元可得2x+3y=1800，联立求解即可； （2）设购A类实验器材m套，费用为W元，根据A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍可求出m的范围，由A的单价×套数+B的单价×套数=总费用可得W与m的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答. 17．新学期开学前夕，为保障教学硬件设施的完善，某校后勤部决定对松动、损坏的课桌椅进行检修和置换．已知在供应商处购买，一张课桌与两把座椅需要180元；2张课桌与3把座椅需要330元． （1）求在该供应商处，课桌和座椅的单价分别是多少元？ （2）若该校准备购买课桌和座椅共216件，设购买座椅a把． ①因学校购买数量多，且可以长期合作，供应商给出了如下优惠：课桌打七五折，座椅打八折，求该校按此优惠购买这些课桌椅的总费用W与a之间的函数关系式； ②若该校购买的课桌不少于70张，且座椅的数量不少于课桌的2倍，则本次购买课桌椅有哪些购买方案？求出花费最少的方案及其对应的总费用． 【答案】（1）解：设一张课桌x元，一把座椅y元， 则由题意有 ， 解得 ， ∴一张课桌价格是120元，一把座椅价格是30元； （2）解：①由题意有 ； ②根据题意，列不等式组 ，解得： ， ∴符合条件的购买方案有：144把座椅和72张课桌、145把座椅71张课桌或146把座椅和70张课桌， ∵ ，W随a的增大而减小， ∴ 时，W最小，即花费最少的方案是买146把座椅和70张课桌， 该方案对应的总费用 （元）． 【解析】【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，用消元法求解 （2）根据题意列出费用和a之间的关系式； 根据题意列出不等式组，对不等式求解，得出3种方案，根据 ① 中列的费用和座椅数之间的关系，可知费用随着a的增大而减小，所以选出最优方案求出总费用 18．如图，在 中， ． （1）作边 的垂直平分线 ，与 ， 分别相交于点 ， （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 ，若 ，求 的度数． 【答案】（1）解：分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，交于两点； 作经过以上两点的直线，分别交线段 于 ，交 于 ，直线 即为所求． （2）解： 是线段 的垂直平分线， ， ． 【解析】【分析】（1）根据题意作图求解即可； （2）根据垂直平分线的性质求出AE=BE，再求出 ，最后计算求解即可。 19．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式． （1）如图1，是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． ①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为 ▲ ，第二次列式为 ▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ▲ ； ②在①中，如果 ， ，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积； （2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系． 【答案】（1）解：①因为小正方形的边长为： 所以第一次计算的面积为： ， 第二次计算的面积为： ， 所以： ； 或 ， ， ②∵ ， ∴ （2）解：第一次利用梯形的面积公式图形面积为： 第二次利用图形的面积和计算为： 整理得： 【解析】【分析】（1）①利用所给图形，再结合完全平方公式求解即可； ②根据 ， ，计算求解即可； （2）先求出 ，再整理计算求解即可。 20．为全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，自年起每年月日定为“全民健身日”．为迎接全省全民健身运动会，某班组织学生参加全民健身跳绳活动，现需购买、两种跳绳若干．若购买根种跳绳和根种跳绳共需元；若购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买，两种跳绳共根，总费用不超过元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 （2）至多可以购买种跳绳根 21．如图，在中，于点D，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求点D到的距离之和． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， 在 中， ，即 ， ∴ ； 在 中， ，即 ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ 是直角三角形 （2）解：过点D作 ， ，垂足分别为点E、F， ， ，即 ， ∴ ， ，即 ， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）先根据题意结合勾股定理即可求出BC和AD的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）过点D作 ， ，垂足分别为点E、F，再根据三角形的面积分别求出DE和DF的长即可求解。 22．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程： 因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是－3＜x＜3；因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜－3或x＞3. 解答下面的问题： （1）不等式|x|＜a(a＞0)的解集为　 　；不等式|x|＞a(a＞0)的解集为　 　； （2）解不等式|x－5|＜3； （3）解不等式|x－3|＞5. 【答案】（1）－a＜x＜a；x＞a或x＜－a （2）解：|x－5|＜3，由(1)可知－3＜x－5＜3，∴2＜x＜8 （3）解：|x－3|＞5，由(1)可知x－3＞5或x－3＜－5，∴x＞8或x＜－2. 【解析】【解答】解： (1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为－a＜x＜a；不等式|x|＞a(a＞0)的解集为x＞a或x＜－a 【分析】（1） |x|＜3的解集是－3＜x＜3类比可求不等式|x|＜a(a＞0)的解集 ； |x|＞3的解集是x＜－3或x＞3. 类比可求不等式|x|＞a(a＞0)的解集；（2） 先把x-5看作一个整体m（x-5=m），由 |x|＜3的解集是－3＜x＜3可得－3＜m＜3；即 －3＜x－5＜3 ，解不等式即可求出答案。（3）先把x-3看作一个整体n（x-3=n），由 |x|＞3的解集是x＜－3或x＞3. 可得n>5或n<-5；即 x－3＞5或 x－3＜－5 ，再解不等式即可。 23．如图是一个 的正方形网格，已知每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求解答下列问题： （1）如图，满足线段 的格点 共有　 　个； （2）试在图中画出一个格点 ，使其为等腰三角形， ，且 的内部只包含4个格点（不包含在 边上的格点）. 【答案】（1）3 （2）解：画图如下（答案不唯一）： 【解析】【解答】解：（1）∵10=12+32 ∴如图： ∴满足线段 的格点 共有3个 故填3； 【分析】(1)直接根据勾股定理在图上找出符合的点即可. (2)再根据勾股定理找到AB=BC=的C点即可. 24．某体育用品店经销A、B两种商品，A种商品每件进价15元，售价20元；B种商品每件进价35元，售价45元． （1）若该体育用品店同时购进A、B两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进A、B两种商品各多少件？ （2）若该体育用品店同时购进A、B两种商品共100件，设A商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元，写出y与x的函数关系式； （3）在“十·一”黄金周期间，该体育用品店对A、B两种商品进行如下优惠促销的活动．按此优惠条件，若王老师第一天只购买A种商品一次性付款200元，第二天只购买B种商品打折后一次性付款324元，那么这两天王老师在该体育用品店购买A、B两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 【答案】（1）A种商品40件，B种商品60件 （2）（，且x为整数） （3）18件或19件 25．仁怀市位于贵州省西北部、赤水河中游，大娄山脉西段北侧，属于云贵高原向四川盆地过渡的典型的山地地带，是酱香酒发源地，茅台酒的故乡，因其特殊的生态、气候、土壤和微生物群，成为酿造茅台酒等优质酱香白酒主要产区，2004年被命名为“中国酒都”，酱香白酒产业逐步扩大，诞生了大、中、小很多酱香白酒生产酒产，现某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售，该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择，据了解，购10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12000元；购3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要6300元．请根据以上信息解答下面的问题： （1）求甲、乙两种品牌中档酱香白酒的进价； （2）若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件，但准备的资金不超过84000元，那么该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件； （3）在（2）的条件下，若该酱香白酒销售商准备的资金不低于83400元，那么该酱香白酒销售商有几种购进方案？若该酱香白酒销售商将甲、乙两种品牌中档酱香白酒分别以每件1200元和每件800元的售价全部卖出，请问该酱香白酒销售商应选择哪一种方案进酒获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种品牌中档酱香白酒的进价为900元，乙种品牌中档酱香白酒的进价为600元 （2）该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件 （3）有三种进酒方案，方案一：进甲种品牌中档酱香白酒78件，乙种品牌中档酱香白酒22件；方案二：进甲种品牌中档酱香白酒79件，乙种品牌中档酱香白酒21件；方案三：进甲种品牌中档酱香白酒80件，乙种品牌中档酱香白酒20件；选择方案三进酒获利最大，最大利润为112000元 26．如图，AC平分∠BAD，CR⊥AB，CD⊥AD，点B、D为垂足，CF=CB。 （1）求证：BE= FD： （2）若CD=6，AD=8，求四边形ABCF的面积。 【答案】（1）证明：∵AC平分 ， ， ∴ 又∵CF=CB ∴ ≌ ∴BE=FD （2）解：∵ ， ， ， ∴ ≌ 又∵ ≌ ，CD=6，AD=8 ∴ 【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据HL可证 ≌ ，可得BE=FD； （2）根据HL可证 ≌ ， 可得 ，利用三角形的面积公式计算即可. 27．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm； 求 （1）△ABC的面积； （2）CD的长. 【答案】（1）解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°， ∴△ABC的面积= BC×AC=30cm2； （2）解：∵△ABC的面积=30 cm2， ∴CD=30×2÷AB= cm. 【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求解；（2）根据计算直角三角形的面积的两种计算方法，即可求出斜边上的高. 28．有一块四边形草地（如图），测得，，，． （1）求的度数； （2）求四边形草地的面积． 【答案】（1） （2） 29．有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别是： A．菱形 B.平行四边形 C.线段 D.角 将这四张卡片背面朝上洗匀后。 （1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是　 　 （2）随机抽取两张卡片，求两张卡片图案都是中心对称图形的概率，并用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2）解：∵菱形和线段、平行四边形和线段是中心中心对称图形，画树状图如下， 共有12种可能的结果数， 其中都为中心对称图形的情况有（菱形，平行四边形）、（菱形，线段）、（平行四边形，菱形）、（平行四边形，线段）、（线段，菱形）、（线段，平行四边形）共6种， ∴ P= = . 【解析】【解答】（1）∵菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴对称图形；角，轴对称图形， ∴是轴对称图形的有3个， ∴随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是 ； 【分析】（1）随机抽取一张卡片共有4个图案，其中是轴对称图形的有3个，则随机抽取两张卡片都为中心对称图形的几种情况，最后求概率即可. 30．某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ （2）该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？ 【答案】（1）解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元， 根据题意得： 解得： 答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元. （2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件， 根据题意得： 解得： ∵为正整数，故 ∴有三种进货方案， 方案一：购进甲商品件，乙商品件； 方案二：购进甲商品件，乙商品件； 方案三：购进甲商品件，乙商品件. 【解析】【分析】（1）设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据“ 购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元 ”列出方程组，再求解即可； （2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据“ 购买这两种商品的资金不超过2520元 ”和“ 超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元 ”列出不等式组，再求解即可. （1）解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得， 解得： 答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元； （2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得， 解得： ∵为正整数，故 ∴有三种进货方案， 方案一：购进甲商品件，乙商品件； 方案二：购进甲商品件，乙商品件； 方案三：购进甲商品件，乙商品件； 31．如图，直线m分别交y轴，x轴于A（0，3），B（4，0）两点，交反比例函数y= （k≠0）于点C（-1，4）. （1）求直线m的解析式和k的值； （2）若在x轴上有一点P，且以点P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标、 【答案】（1）解：设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），将点A（0，3），B（4，0）代入y=kx+b（k≠0），得 ，解得 ∴直线m的解析式为y=- x+3. 把点C（-1，4）代入反比例函数y= （k≠0）中，得4= ， 解得k=-4. （2）解：已知OA=3，OB=4，由勾股定理可得AB=5. 如图，①以点A为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点P1，则可得P1（-4，0）. ②以点B为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点P2，P3，则可得P2（9，0），P3（-1，0） ③作线段AB的垂直平分线l交x轴于点P4. 在Rt△AOP4中，设AP4=x，则P4B=x，∴OP4=4-x.又AO=3，由勾股定理得AP42=OP42+AO2，即x2=（4-x）2+32，解得x= ∴OP4=4- = ，即P4（ ，0）. 综上所求点有四个，分别为；P1（-4，0），P2（9，0），P3（-1，0），P4（ ，0） 【解析】【分析】（1）设出直线的解析式，将点A以及点B的坐标代入即可得到一次函数的解析式，将点C的坐标代入，即可得到k的值。 （2）根据题意，由勾股定理计算得到AB的长度，由等腰三角形的性质，对符合等腰三角形的点的位置进行分类讨论，得到答案即可。 32．某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利=售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 14 35 售价（元/件） 20 43 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】（1）解：设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件． 根据题意得： ． 解得： ． 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进80件． （2）解：设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（180﹣a）件． 根据题意得 ． 解不等式组，得60＜a＜64． ∵a为非负整数，∴a取61，62，63 ∴180﹣a相应取119，118，117 方案一：甲种商品购进61件，乙种商品购进119件． 方案二：甲种商品购进62件，乙种商品购进118件． 方案三：甲种商品购进63件，乙种商品购进117件． 答：有三种购货方案，其中获利最大的是方案一． 【解析】【分析】1）等量关系为：甲件数+乙件数=180；甲总利润+乙总利润=1240．（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜5040；甲总利润+乙总利润＞1312． 33．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点． （1）求证：△ADB≌△CDE； （2）求∠MDN的度数． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE （2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°． 【解析】【分析】（1）根据已知条件用边角边可证△ABD≌△CDE； （2）由（1）知△ABD≌△CDE，所以∠BAD=∠DCE，而M、N分别是AB、CE的中点，所以AM=DM，DN=CN，根据等边对等角可得∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，所以∠ADM=∠CDN，由已知可得∠CDN+∠ADN=90°，所以∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°． 34．某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求四边形空地的面积． 【答案】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴ ∴ （）， 答：四边形空地的面积为． 【解析】【分析】本题考查了利用勾股定理及其逆定理求解四边形面积的方法。由题意可知，四边形ABCD是一个四边形，其中为直角，我们首先可以利用直角三角形的性质，即勾股定理，求解AC的边长，利用勾股定理的逆定理 ，判定出也是直角三角形，再根据进行求解即可． 35．小花家在装修客厅时，购进彩色地砖和原色地砖共120块，一共花费了8700元．已知原色地砖的价钱是60元/块，彩色地砖的价钱是110元/块． （1）两种型号的地砖各采购了多少块？ （2）如果厨房也要铺这两种型号的地砖共70块，且采购费用不超过4400元，那么彩色地砖最多能采购多少块？ 【答案】（1）解：设彩色地砖采购了x块，原色地砖采购了y块， 根据题意得： 解得： 答：彩色地砖采购了30块，原色地砖采购了90块． （2）解：设彩色地砖采购了m块，则原色地砖采购了（70﹣m）块， 根据题意得：110m+60（70﹣m）≤4400， 解得：m≤4． 答：彩色地砖最多能采购4块． 【解析】【分析】（1）根据购进彩色地砖和原色地砖共120块，一共花费了8700元，列方程组计算求解即可； （2）根据房也要铺这两种型号的地砖共70块，且采购费用不超过4400元，列不等式计算求解即可。 36．不等式（组） （1）解不等式： ，并把解集表示在数轴上. （2）解不等式组： ，并写出整数解. 【答案】（1）解：去分母，得： ， 去括号，得： ， 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， 原不等式的解集为： ， 将不等式的解集表示在数轴上如下： （2）解：解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ， 则不等式组的解集为 ， 所以不等式组的整数解为 、 、 . 【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）先分别解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”求公共解集，最后找出解集范围内的整数即可. 37．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形纸片，AB=2，将△ABD纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上． （1）求证：△FBE是直角三角形； （2）求BF的长． 【答案】（1）证明：连接BE、AE交FG于点O，等边△BCD中，E为CD中点，∴∠DBE=30°，BE⊥CD，∵∠ABD=60°， ∴∠FBE=90°， 即△FBE是直角三角形 （2）解：在Rt△EBC中，CE=1，BC=2， ∴BE2=BC2﹣CE2=22﹣12=3， ∵△AGF翻折至△EGF， ∴AF=EF， 在Rt△EBF中，设BF=x，则AF=EF=2﹣x， ∴EF2=BF2+BE2，即（2﹣x）2=x2+3， 解得：x= ， 即BF= 【解析】【分析】（1） 连接BE、AE交FG于点O，根据等边三角形的三线合一得出 ∠DBE=30°，BE⊥CD，根据等边三角形的性质得出 ∠ABD=60°，根据角的和差，由 ∠FBE=∠DBA+∠DBE=90°，即 △FBE是直角三角形； （2）首先在 Rt△EBC中，利用勾股定理算出BE2，根据翻折的性质得出 AF=EF， 在Rt△EBF中，设BF=x，则AF=EF=2﹣x，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，即BF的长。 38．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB=110°． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°， ∴△COD是等边三角形 （2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形． ∵△BOC≌△ADC， ∴∠ADC=∠BOC=150°， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC=60°， ∴∠ADO=90°， 即△AOD是直角三角形 【解析】【分析】（1）利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形即可得证；（2）三角形AOD为直角三角形，理由为：由旋转得到两三角形全等，进而求出∠ADC=∠BOC=150°，再由三角形COD为等边三角形，进而确定出∠ADO为直角，即可得证． 39．为推进“书香社区”构建，某社区计划购进一批图书．已知购买本科技类图书和3本文学类图书需元，购买本科技类图书和5本文学类图书需元． （1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元? （2）社区计划购进两种图书共计本，其中科技类图书的数量不少于文学类图书的两倍．请帮助社区设计最省钱的购书方案，并计算该社区至少要准备多少购书款? 【答案】（1）科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元； （2）科技类图书的购买数量为本，则文学类图书的购买数量为本，该社区至少要准备元购书款． 40．如图，在 中， ， ，F为 延长线上一点，点E在 上，且 . （1）求证： ； （2）若 ，求 的度数. 【答案】（1）证明： ， ， 在 和 中， ， ； （2）解： ， ， ， 又∵ ， ， ， ， ， ， ， 即 . 【解析】【分析】（1）由题意用HL定理可求解； （2）由角的构成易求得∠EAB的度数，于是根据（1）中的全等三角形可得∠EAB=∠FCB，由角的构成得∠ACF=∠FCB+∠BCA可求解. 41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E． （1）求∠DBC的度数. （2）猜想△BCD的形状并证明． 【答案】（1）解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∵AC＝AB， ∴∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°； （2）解：△BCD是等腰三角形，理由如下： ∵∠DBC＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝72°， ∴∠C＝∠BDC， ∴BD＝BC， ∴△BCD是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）先求出 DA＝DB， 再求出 ∠C＝∠ABC＝72°， 最后计算求解即可； （2）根据题意先求出 ∠C＝∠BDC， 再求出 BD＝BC， 最后计算求解即可。 42．我市某地组织20辆汽车装运A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．相关信息如下表： 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000 　（1） 　 （2）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数关系式． （3）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于5辆，那么如何安排车辆可使销售获利（不算人工和损耗）最大？并求出最大利润的值． （4）在（2）的背景下，由于市场因素，A种脐橙每吨的获利上涨了m元（），经过计算发现销售最大利润达到了164200元，求m的值． 【答案】（1） （2）装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车，利润最大，为136000元 （3）940 43．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上. （1）求证：∠EAC＝∠BAD； （2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数. 【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE. ∴∠BAC＝∠DAE. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE. 即∠EAC＝∠BAD； （2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°， ∴∠AEC＝∠C＝ ×(180°－∠EAC)＝ ×(180°－42°)＝69°. ∵△ABC≌△ADE， ∴∠AED＝∠C＝69°， ∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°. 【解析】【分析】（1）证明△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，进而根据等式的性质得∠EAC＝∠BAD； （2）由等腰三角形的性质求出∠AEC＝∠C＝69°，由△ABC≌△ADE可得∠AED＝∠C＝69°，利用平角的定义即可求解. 44．为“创建文明城市，构建和谐社会”，更好的提高垃圾分类意识，某小区决定安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，购买5个温馨提示牌和2个垃圾箱共需500元. （1）购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？ （2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问：最多购买垃圾箱多少个？ 【答案】（1）解：购买1个温馨提示牌需要 元，购买1个垃圾箱需要 元，依题意得： ， 解得： ， 所以，购买1个温馨提示牌需要60元，购买1个垃圾箱需要100元； （2）解：设购买垃圾箱 个，则购买温馨提示牌（ ）个，依题意得： ， 解得： ， 答：最多购买垃圾箱50个. 【解析】【分析】（1）设购买1个温馨提示牌需要 元，购买1个垃圾箱需要 元，根据“购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元”得 ，根据“购买5个温馨提示牌和2个垃圾箱共需500元”得 ，组合成二元一次方程组求解即可；（2）设购买垃圾箱 个，则购买温馨提示牌（ ）个，根据题意列出不等式进行解答便可. 45． （1）观察图①～图③中阴影部分的图形，写出这3个图形具有的两个共同特征：　 　； 　 　； （2）在图④、图⑤中设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征. 【答案】（1）都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和 （2）解：如图所示： 【解析】【解答】解：（1）这3个图形具有的两个共同特征是： ①都是轴对称图形； ②面积都等于四个小正方形的面积之和； 故答案为：都是轴对称图形；面积都等于四个小正方形的面积之和； 【分析】（1）根据轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形以及面积间的关系进行解答； （2）属于利用对称变换作图，正确理解轴对称图形的概念是作图的关键. 46．学农期间我们完成了每日一题，进一步研究了角的平分线. 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 作法如下： 如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON， 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M、N 重合. 过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线. 我们发现利用 SSS 证明两个三角形全等，从而证明∠AOC=∠BOC． 学习了轴对称的知识后，我们知道角是轴对称图形，角平分线 所在直线就是它的对称轴，爱动脑筋的小慧同学利用轴对称图形的性质发现了一种画角平分线的方法. 方法如下：如图 1，将两个全等的三角形纸片△DEF 和△MNL 的一组对应边分别与∠AOB 的一边共线，同时这条边所对顶点落在∠AOB 的另一条边上，则△DEF 和△MNL 的另一组对应边的交点 P 在∠AOB 的平分线上. （1）小慧的做法符合题意吗？说明理由： 小旭说：利用轴对称的性质，我只用刻度尺就可以画角平分线.（提示：刻度尺可以度量出相等的线段） （2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中∠QRS 的角平分线.（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）解：符合题意.理由如下 ∵ ∴∠DEF=∠MNL，DE=NM ∴180°-∠DEF=180°-∠MNL 即∠OED=∠ONM 在三角形OED与三角形ONM中 ∴ (AAS) ∴ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠OMN ∴DO-ON=OM-OE 即DN=ME 在三角形NKD与三角形EKM中 ∴ (AAS) ∴NK=EK 在三角形ONK与三角形OEK中 ∴ (SAS) ∴∠NOK=∠EOK 即OK为∠LOF 的角平分线. （2）解： 如图量RA=RA，RQ=RC，连接AD=BC. 则在三角形RAD与三角形RBC中 ∴ （SAS） ∴∠RDA=∠RCB 在三角形BDK与三角形ACK中 ∴ （AAS） ∴BK=AK 在三角形RBK与三角形RAK中 ∴ (SSS) ∴∠BRK=∠ARK 故RK为角平分线. 【解析】【分析】（1）说法符合题意，可通过用AAS证明三角形OED与三角形OME全等得到ON=OE，OD=OM，∠ODE=∠ONM，再根据DO-ON=OM-OE，得到DN=ME，再根据AAS证明三角形NKD与三角形EKM全等，得到NK=EK，再根据SAS证明三角形ONK与三角形OEK全等，从而得到对应角∠NOK=∠EOK，即可证明角平分线.（2）根据（1）可知，作三角形RAD与三角形RBC全等，过R点作与BC与AD的交点的射线即为角平分线. 47．某商场在“双11”前准备从供货商家处新选购一批商品，已知按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若甲种商品的售价为每件120元，乙种商品的售价为每件140元，该商场准备购进甲、乙两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元．若购进甲种商品m件，请问该商场共有哪几种进货方案？ （3）根据往年销售情况，商场计划在“双11”当天将现有的甲、乙两种商品共46件按（2）中的售价全部售完．但因受拉尼娜现象形成的冷空气持续影响，当天出现的雨雪天气使得46件商品没有全部售完，两种商品的实际销售利润总和为1220元．那么，“双11”当天商场至少卖出乙种商品多少件？ 【答案】（1）解：设甲商品的进价为每件x元，乙商品的进价为每件y元， 则根据题意得： 解得： 答：甲商品的进价为每件100元，乙商品的进价为每件110元． （2）解：由题意得：， 解得：， 因为m为正整数， 所以、14、15， 方案①：购进甲种商品14件，乙种商品37件； 方案②：购进甲种商品14件，乙种商品36件； 方案③：购进甲种商品15件，乙种商品35件． （3）解：设“双11”当天商场卖出甲种商品a件，乙种商品b件， 则有，即， ∴， 又∵， ∴，即， ∵a，b为正整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，， ∴“双11”当天商场至少卖出乙种商品32件． 【解析】【分析】（1）设甲商品的进价为每件x元，乙商品的进价为每件y元， 根据“ 按进价购进1件甲种商品和2件乙种商品共需320元，购进3件甲种商品和2件乙种商品共需520元”列出方程组并解之即可； （2）根据“ 这两种商品全部售出后总利润不少于1350元，不高于1375元”列出不等式组，求出其正整数解即得结论； （3） 设“双11”当天商场卖出甲种商品a件，乙种商品b件， 根据“ 两种商品的实际销售利润总和为1220元 ”可得，即， 求出此方程的正整数解即可. 48．如图1，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在中，，，试回答下列问题： （1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，　 　度； （2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若，，求MN． （3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）45 （2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N， ∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°． 在△AMC中，∠1＋∠CAM＋∠AMC＝180° ∴∠1＋∠CAM＝90°， 同理：∠2＋∠CBN＝90°． 又∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠CBN，∠2＝∠CAM， 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（ASA）， ∴AM＝CN，MC＝BN， ∴MN＝MC＋CN＝AM＋BN=2+6=8； （3）解：结论：MN＝BN−AM．理由如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM＋∠NCB＝90°， 又∵∠NCB＋∠CBN＝90°， ∴∠ACM＝∠CBN， 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴CM＝BN，CN＝AM， ∴MN＝CM−CN＝BN−AM， ∴MN＝BN−AM． 【解析】【解答】（1）解： ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵AB∥MN， ∴∠2＝∠ABC＝45°， 故答案为： 45； 【分析】（1）根据平角的性质以及平行线的性质求解即可； （2）证明△AMC≌△CNB（ASA），即可得出结论； （3）证明△AMC≌△CNB（AAS），得出CM＝BN，CN＝AM，推出MN＝CM−CN＝BN−AM，即可得出AM、BN与MN之间的关系。 49．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，0°<∠PBC<180°，DB平分∠PBC，且DB=DA． （1）当BP与BA重合时（如图左），求∠BPD的度数； （2）当BP在∠ABC的内部时(如图右)，求∠BPD的度数； （3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数. 【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵DB平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD=60°， ∴∠ABD=30°. ∵DB=DA， ∴∠BPD=∠ABD=30° （2）解： 连接DC， ∵点D在∠PBC的平分线上， ∴∠PBD=∠CBD， ∵△ABC是等边三角形， ∴BA=BP=BC，∠ACB=60° 在△PBD和△CBD中， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD=∠BCD； 在△BCD和△ACD中， ∴△BCD≌△ACD（SSS） ∴∠ACD=∠BCD= ， ∴∠BPD=∠BCD=30°. （3）解：1)如图， ∵AD=BD，CD=CD，BC=AC， ∴ △ACD≌△BCD（SSS）， ∴ ∠ACD=∠BCD=30°， ∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，BP=BA=BC， ∴△PBD≌△CBD(SAS)， ∴∠BPD=∠BCD=30°. 2)如图， 同理可证，∠BPD=∠BCD=30°. 3）如图， ∵AD=BD，CD=CD，BC=AC， ∴ △ACD≌△BCD（SSS）， ∴ ∠ACD=∠BCD==150°， ∵BD=BD，∠PBD=∠CBD，BP=BA=BC， ∴△PBD≌△CBD(SAS)， ∴∠BPD=∠BCD=150°. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合DB平分∠ABC，则可求出∠ABD的度数，由于DB=DA，则∠BPD的度数可求. （2）由于 △ABC是等边三角形，BP和BA相等，可得BP=BC，结合DB平分∠ABC，利用边角边定理可证 △PBD和△CBD全等 ，于是 ∠BPD=∠BCD ，再利用边边边定理可证三角形 △BCD和△ACD全等，则得∠BCD为30°，于是∠BPD的度数可知. （3）分情况讨论，利用边边边定理证明△ACD≌△BCD，在前两种情况下可求∠BCD=30°，在第三种情况下可求∠BCD=150°，再利用边角边定理可证△PBD≌△CBD，从而对应角相等，求得∠BPD的度数. 50．如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD. （1）求证AB+CF=BF； （2）若∠ABC=70°，求∠DAE的度数. 【答案】（1）证明：过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD， ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF， ∵DE垂直平分AC， ∴DA=DC， 在Rt△ADG和Rt△CDF中 ∴Rt△ADG≌Rt△CDF（HL）； ∴AG=CF， ∵DG⊥AB，DF⊥BC ∴∠BGD=∠BFD=90° ∵BD平分∠ABC， ∴∠GBD=∠FBD 在△BDG和△BDF中 ∴△BDG≌△BDF（AAS） ∴BG=BF， ∴AB+CF=BF （2）解：∵四边形BFDG的内角和为360° ∴∠FDG=180°-∠ABF=180°-70°=110° 由（1）知Rt△ADG≌Rt△CDF ∴∠GDA=∠CDF ∴∠FDG=∠ADC=110° 又∵DA=DC，DE⊥AC， ∴∠ADE=∠CDE= 55° ∴∠DAE=35° 【解析】【分析】（1）过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD，利用角平分线的性质可证得DG=DF，再利用线段垂直平分线的性质可推出DA=DC；再利用HL证明Rt△ADG≌Rt△CDF，利用全等三角形的性质，可证得AG=CF，然后利用已知证明∠BGD=∠BFD，∠GBD=∠FBD，利用AAS证明△BDG≌△BDF，利用全等三角形的性质可证得BG=BF，即可证得结论。 （2）利用四边形的内角和定理求出∠FDG的度数，再利用全等三角形的性质可得到∠GDA=∠CDF，易证∠FDG=∠ADC=110°；然后利用等腰三角形的性质可求出∠ADE的度数；然后利用直角三角形的两锐角和为90°，求出∠DAE的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $