7.3 平行线的性质 培优作业2025-2026学年六年级下册数学鲁教版

**基本信息** 初中数学第七章“相交线与平行线”同步练习，含2课时，分“夯基础”“练能力”两层，以生活情境为载体，实现从单一性质应用到综合探究的知识进阶，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|平行线性质直接应用、简单推理证明|结合“互”字结构、立定跳远等生活情境，通过选择、填空、补充证明理由巩固基础，培养几何直观| |练能力|性质与判定综合应用、动态问题探究|设置平行四边形角平分线综合题、点运动分类讨论题，深化推理能力与创新意识，体现模型思想|

第七章 相交线与平行线 3 平行线的性质 第1课时平行线的性质 夯基础 1.中华民族一直有着互帮互助的优良传统，如图是“互”字的大致结构示意图, AB∥GM, NE∥MH, 点 E 在AB上,点 G 在 NE 上,若∠BEN =121°,则∠M 的度数为 ( ) A.51° B.59° C.60° D.61° 2.立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用.如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若 AG∥CD,∠BCD=74°,∠B=44°,则∠BAG 的度数为 ( ) A.26° B.30° C.34° D.40° 3.抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.在市区某公园里，小明看到小女孩在抖空竹(如图1)，抽象得到图2，在同一平面内,已知 AB∥CD,∠A = 75°,∠ECD=105°,则∠E 的度数为 。 4.如图,已知AB∥DE,∠ABC=55°,∠BCD=25°,则∠CDE 的度数为 . 5.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图,AB∥CD,AC∥DE,点 F 在直线 AC 上,∠FAB=115°,∠E=55°,则∠DCE 的度数为 . 6.如图,AG 平分∠BAC,∠BED=∠C,∠1+∠2=90°. (1)求证:FH⊥DE; (2)若∠3=∠4,∠BAC=66°,求∠DFH的度数. 7.如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手 AB 与底座CD 都平行于地面，靠背DM 与支架OE 平行，前支架 OE 与后支架OF 分别与 CD 交于点 G 和点 D,AB 与DM 交于点 N,当∠EOF=90°,∠ODC=30°时,人躺着最舒服,求此时∠AOE 和∠ANM 的度数.请补充求解过程，并在括号内填上相应的理由. 解：因为扶手 AB 与底座CD 都平行于地面,即AB∥CD, ∵∠ODC=30°(已知), ∴∠BOD=∠ODC=30°( ), ∵∠AOE + ∠EOF + =∠AON=180°( ),且∠EOF=90°(已知), ∴∠AOE= °, ∵DM∥OE(已知), ∴∠AND=∠AOE= °( ), (平角的定义). 练能力 8.培素养综合与探究 问题情境： 学完平行线后，老师给出如下问题：如图1，在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AD∥BC,BE 平分∠ABC 交AD 于点E,交 CD 的延长线于点 F.试判断∠F 和∠FBC 的关系,并说明理由. 问题解决： (1)请你解答老师提出的问题； 深入探究： (2)如图2,G 是线段BE 上一点(不与点 B,E 重合),连接CG,为探究∠ABE,∠DCG与∠BGC 之间的数量关系，小颖过点 G 作GH∥AB 交 BC 于点 H.请你根据她的思路,写出∠ABE,∠DCG 与∠BGC 之间的数量关系，并说明理由； 特例研究： (3)在(2)的基础上,如图 3,当 CG 平分∠BCD 时,试判断 BF 与CG 的位置关系,并说明理由. 9.问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB = 135°,∠PCD = 125°,求∠APC 的度数.小明的思路是过点 P 作GH∥AB,通过平行线的性质来求∠APC. (1)按照小明的思路，求∠APC 度数； 问题迁移： (2)如图2,AD∥BC,点 P 在射线OM 上运动，当点 P 在 A，B两点之间运动时，∠ADP=∠β,∠BCP=∠α.∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由； (3)在(2)的条件下,如果点 P 在A,B 两点外侧运动时(点 P 与点 A，B，O三点不重合),请你写出∠CPD,∠α,∠β间的数量关系，并说明理由. 第2课时 平行线性质与判定的综合应用 夯基础 1. 如图1是自行车放在水平地面的实物图，图2 是其示意图，其中AB,CD 都与地面 l 平行,∠BCD =60°,∠BAC = 53°,要使 AM 与 CB 平行,则∠MAC 的度数是 ( ) A.53° B.60° C.67° D.113° 2.将一副三角板按如图放置，①如果∠2=30°,那么 AC∥DE ②∠BAE+∠CAD=180° ③如果 BC∥AD,那么∠2=30°④如果∠CAD=150°,那么∠4=∠C.则结论正确的是 ( ) A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.①②④ 3.一副直角三角尺叠放如图1 所示，现将 45°的三角尺 ADE 固定不动,将含 30°的三角尺 ABC 绕顶点 A 顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有 一 组边 互 相平行.如图 3：当∠CAE=15°时,BC∥DE.则∠CAE 其余符合条件的度数为 . 4.某位小朋友利用几何图形 画 出 螳 螂 的简 笔画，如图，已知∠BAC = 119°,AB∥DE,∠D = 80°,则∠ACD= °. 5.图 1 是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2 是其俯视示意图,已知AB∥CD,若 AB 与 BC 的夹角为105°,∠1=55°,则∠2的度数为 . 6.如图,∠EDB +∠DBC=180°,BE⊥AC 于点E,MN⊥AC于点 N. 求证:∠1=∠2. 7.在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能. (1) 问题情景:如图 1,已 知 AD∥BC,∠CDF=∠AFD,试探究∠ADF,∠C 与∠DFE 之间的数量关系?小智同学经过思考发现，过点 F 作FG∥AD 即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2 是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部AB 与支撑平台 DE 平行.若 求∠3的度数. 练能力 8.综合与探究 问题情境： 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动.如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点 A重合,其中∠BAC=∠DAE=90°,∠C=60°,∠D=45°,然后三角板 ABC 不动,三角板 ADE 绕点 A 旋转. 操作探究： (1)图 1中,若∠DAB=45°,判断线段 DE与AC 的位置关系，并说明理由； (2)当三角板 ADE 绕点 A 旋转到图2 的位置,DE∥BC,求∠DAC 的度数; 深入思考： (3)在三角板 ADE 绕点 A 旋转的过程中，当 为多少度时， 请直接写出 的度数. 9.【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含 30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.如图,已知两直线 MN,PQ 且MN∥PQ,在 三 角 形 ABC 中,∠BCA = 90°.∠B=60°,∠A=30°. (1)当三角形 ABC 和平行线的位置如图1时,若∠1=47°,求∠2的度数; 【深入探究】 (2)如图2，在(1)的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线 MN 向上平移，求∠3的度数； 【拓展应用】 (3)缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图3，若 AC 平分∠BAP，求∠4 的度数. 第 1 课时平行线的性质 1. B 2. B 3.30 4.150° 5.60° 6.解:(1)证明:因为∠BED=∠C,所以DE∥AC,所以∠CAG=∠3,因为 AG 平分∠BAC, 所以∠CAG=∠1,所以∠1=∠3, 因为∠1+∠2=90°,所以∠3+∠2=90°, 即∠DGH=90°,所以FH⊥DE; (2)因为∠CAG=∠1,∠BAC=66°, 所以∠1=∠CAG=33°, 所以∠3=∠1=33°, 因为∠1+∠2=90°, 所以∠2=90°-∠1=57°, 因为∠3=∠4,∠1=∠3, 所以∠1=∠4, 所以 AG∥DF, 所以∠DFH=∠2=57°. 7.解：因为扶手 AB 与底座CD 都平行于地面，即AB∥CD, 因为∠ODC=30°(已知), 所以∠BOD=∠ODC=30°(两直线平行,内错角相等)， 因为∠AOE+∠EOF+∠BOD=∠AON=180°(平角的定义), 且∠EOF=90°(已知), 所以∠AOE=60°, 因为DM∥OE(已知), 所以∠AND=∠AOE=60°(两直线平行,同位角相等)， 所以∠ANM=180°-∠AND=120°(平角的定义)， 故 答 案 为：两直 线 平 行，内错 角 相等；∠BOD;平角的定义;60;60;两直线平行,同位角相等;120. 8.解:(1)∠F=∠FBC,理由如下: 因为AB∥CD,所以∠ABF=∠F. 因为 BE 平分∠ABC, 所以∠ABF=∠FBC, 所以∠F=∠FBC; (2)∠BGC=∠ABE+∠DCG.理由: 因为AB∥CD,GH∥AB, 所以GH∥CD,∠BGH=∠ABE. 所以∠HGC=∠DCG, 所以∠BGC=∠BGH+∠HGC=∠ABE+∠DCG; (3)BE⊥CG.理由如下: 由(2),得∠BGC=∠ABE+∠DCG. 因为 BE平分∠ABC,CG 平分∠BCD,所以 又因为AB∥CD, 所以∠ABC+∠BCD=180°,所以 180°=90°, 所以 BF⊥CG. 9.解:(1)过点 P 作GH∥AB,如图所示, 因为AB∥CD, 所以GH∥AB∥CD, 所以∠A+∠APH=180°,∠C+∠CPH=180°, 因为∠PAB=135°,∠PCD=125°, 所以∠APH=180°-135°=45°,∠CPH =180°-125°=55°, 所以∠APC=∠APH+∠CPH=100°; (2)∠CPD=∠α+∠β, 理由是:如图3,过 P 作 PE∥AD 交CD 于 E, 因为AD∥BC, 所以AD∥PE∥BC, 所以∠β=∠DPE,∠α=∠CPE, 所以∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β; (3)当 P 在 BA 延长线时,如图4, 因为AD∥PE∥BC, 所以∠β=∠DPE,∠α=∠CPE, 所以∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠α-∠β, 当P 在AB 延长线时，如图5， 因为AD∥PE∥BC, 所以∠β=∠DPE,∠α=∠CPE, 所以∠CPD=∠β-∠α. 第 2 课时 平行线性质与判定的综合应用 1. C 2. D 3.60°或 105°或 135°解析:如图,当 AE∥BC时,∠CAE=90°-30°=60°; 如图,当DE∥AB(或AD∥BC)时,∠CAE=45°+60°=105°; 当DE∥AC 时,如图,∠CAE=45°+90°=135°. 综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行,则∠CAE(0°<∠CAE<180°)其他所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°. 4.19 5.130° 6.证明:因为∠EDB+∠DBC=180°,所以 DE∥BC,所以∠EBC=∠2, 因为 BE⊥AC,MN⊥AC, 所以∠BEC=∠MNC=90°. 所以 BE∥MN, 所以∠1=∠EBC, 所以∠1=∠2. 7.解:(1)∠DFE=∠ADF+∠C,理由如下:如图 1,过点 F 作 FG∥AD, 又因为 AD∥BC,所以AD∥FG∥BC, 所以∠ADF=∠DFG,∠AEB=∠EFG, 因为∠CDF=∠AFD,所以AE∥CD, 所以∠AEB=∠C, 因为∠DFE=∠DFG+∠EFG, 所以∠DFE=∠ADF+∠C; (2)如图 2,∠1,∠2,∠3 的顶点分别为 D,C,F,作 CM∥AB, 所以AB∥CM∥DE, 所以∠3+∠FCM=180°,∠1=∠MCD,因为∠1=35°,∠2=∠FCM+∠MCD=65°,所以∠FCM=30°, 所以∠3=150°. 8.解:(1)DE∥AC,理由如下: 因为∠DAB=45°,∠BAC=90°, 所以∠DAC=∠DAB+∠BAC=135°, 又因为∠D=45°, 所以∠D+∠DAC=180°, 所以DE∥AC; (2)如图2,过点 A 作AM∥DE, 所以∠1=∠D=45°, 因为AM∥DE,DE∥BC,所以 AM∥BC, 所以∠2=∠C=60°, 所以∠DAC=∠1+∠2=105°; (3)如图3,当∠DAB=135°时,DE∥AB,理由如下： 因为∠DAB=135°,∠DAE=90°,所以∠EAB=45°, 因为∠E =45°,所以∠EAB =∠E,所以DE∥AB; 如图4,当∠DAB=45°时,DE∥AB,理由如下: 因为∠D=45°,所以∠BAD=∠D, 所以DE∥AB, 综上所述,当∠DAB 为 135°或45°时,DE∥AB. 9.解:(1)因为∠ACB=90°,∠1=47°, 所以∠ACQ=180°-∠ACB-∠1=43°. 因为MN∥PQ, 所以∠2=∠ACQ=43°; (2)过点 B 作BE∥PQ, 又因为 MN∥PQ,所以 BE∥MN, 所以∠CBE=∠1=47°. 又因为∠ABC=60°, 所以∠ABE=60°-∠CBE=13°. 因为 BE∥MN, 所以∠3=180°-13°=167°; (3)因为∠BAC=30°,且AC 平分∠BAP,所以∠1=∠BAC=30°. 作 CF∥MN, 因为 CF∥MN∥PQ,所以∠ACF =∠1=30°, 所以∠BCF=90°-30°=60°, 所以∠4=∠BCF=60°. 学科网（北京）股份有限公司 $