福建省厦门集美中学2025-2026学年高二下学期第12周数学周末练习

**基本信息** 以机器人比赛、充电桩建设等时代情境为载体，覆盖导数、概率统计、立体几何等高二下核心知识，通过基础题到创新题的梯度设计，考查数学眼光（如抽象问题本质）、思维（如逻辑推理）与语言（如数据表达）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|导数计算、百分位数、正态分布|结合飞镖运动考二项分布期望，体现生活应用| |多选题|3题|排列组合、函数奇偶性、正态分布|考女生不相邻排列及甲不站两端问题，分层考查逻辑推理| |填空题|3题|欧拉函数、协警分配、二项式定理|引入欧拉函数新定义，考查知识迁移能力| |解答题|5题|独立性检验、立体几何证明、函数单调性|机器人避障系统关联分析（数据观念）、充电桩回归预测（模型观念），突出真实问题解决|

集美中学高中105组高二（下）数学周末练习（第十二周） 一、单选题 1. 下列求导结果正确的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（     ） A. 一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C. 设且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 3. 若正整数n满足，则（     ） A.3 B.4 C.3或4 D.4或5 4. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，X表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（     ） A.4天 B.8天 C.10天 D.16天 5. 随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（     ） A. 事件A与事件互斥 B. C. D. 6. 若用5种不同颜色去涂五边形ABCDE的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（     ） A.1440 B.1020 C.1260 D.1480 7. 已知定义在R上的函数，其导函数为，不等式恒成立。若对，不等式恒成立，则a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 8. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”。已知，，，则的值为（     ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 将3名女生和5名男生排成一排，则下列选项是正确的有（     ） A. 女生全排在一起，共有种排法 B. 女生都不相邻，共有种排法 C. 甲必须排在乙前面，共有种排法 D. 甲不站左端乙不站右端，共有种排法 10. 已知函数，则下列说法正确的是（     ） A. 若是奇函数，则 B. 若是增函数，则 C. 所有零点的平方和等于 D. 当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 11. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. 部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验. 记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”. 改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（     ）附：若，则，，. A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为53 三、填空题 12. 将5名协警分配到3个交通岗亭执勤，每个岗亭至少分配1名协警，每名协警只去1个岗亭，则分配方案共有            种. 13. 已知，则            ；则            . 14. 若正整数、的公约数只有1，则称、互质. 对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数. 函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：，，，，. 当，互质时，. 若数列的前项和为，则            . 四、解答题 15.2026年4月19日，第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行，来自各地的机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注. 为研究“机器人是否搭载智能避障系统”与“能否完成全程比赛”之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的500台机器人进行统计，得到如下列联表（单位：台）： 完成比赛 未完成比赛 搭载智能避障系统 180 70 未搭载智能避障系统 120 130 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 有关？ （2）从该500台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为10的样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为 . 求 的数学期望 . 附： ，其中 . 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，在四棱锥 中，侧面 是边长为2的等边三角形， ， ，，平面 平面 ， 为 的中点. （1）证明：平面 平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量 （单位：千个）如下表所示： 第 个月 1 2 3 4 5 6 充电桩建成数量 （千个） 0.9 1.7 3.2 5 5.3 5.5 根据表中数据，拟使用模型 和模型 对两个变量 ， 进行拟合. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； （2）根据（1）的分析，选拟合程度更好的模型，求出关于的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量. 参考数据：，，令，，，；令，，，. 18. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，，求的取值范围. 19. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，左焦点为，点位于双曲线两支之间，点为双曲线右支上的动点.若的周长最小值为. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，且恰为弦的中点？若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由； （3）设双曲线的右顶点为，若点在轴上，且满足，求所有满足条件的点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $