回归基础篇：数列第一问专题训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦数列解答题第一问，以“题型分类-方法提炼-易错警示”构建体系，强化等差等比基础公式应用与逻辑推理，提升必拿分板块解题效率。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差/等比基本量运算|7题（含2026天津模考题）|知三求二，列方程组求首项、公差/公比|公式直接应用，概念到运算的逻辑链| |Sn与an关系求通项|10题（含2023天津高考题）|利用Sn与an关系公式，验证n=1，分段书写|Sn与an关系推导，原理应用的逻辑链| |创新情景基础题|1题（2026天津二模）|新情景转化，回归基础公式|实际情境抽象，应用拓展的逻辑链|

高考冲刺训练---回归基础篇 数列第一问专题训练 一、考点分析 （一）命题规律 结合近五年天津高考数学真题与2026年考情预测，数列部分题型结构固定，解答题（15分），难度梯度清晰：解答题第一问为必拿分送分题，第二问侧重求和方法与简单综合应用。核心考查方向围绕等差、等比数列的基础公式、通项求解、前n项和计算三大模块，极少涉及偏难怪的构造技巧，是考生应重点突破的得分板块。 （二）解答题第一问高频题型（第19题第1小问，5-6分） 类型一：等差/等比数列基本量运算 核心考查「知三求二」能力，即利用通项公式和前n项和公式，通过列方程组求解首项 、公差或公比，最终得到数列通项公式。 类型二：利用与的关系求通项 利用核心公式求解，必须验证时的结果是否符合的表达式，不符合则需要分段书写。 常见考法： 1. 直接给出的表达式求 2.给出与的混合等式，通过作差消元后构造等差/等比数列 类型三：创新情景基础题 结合实际背景或新定义设问，本质仍考查基础公式 （三）备考重点与易错点提醒 1. 核心优先级：优先掌握等差、等比数列的所有基础公式和性质，这部分内容占数列总分的80%以上 1. 高频易错点： （1）使用时必须验证的情况，避免遗漏分段条件 （2）等比数列求和时注意的特殊情况，避免默认导致错误 （3）构造新数列后注意验证首项是否正确，避免后续计算全部偏差 （四）2026年命题趋势： 仍将保持当前题型结构，可能增加与集合、不等式的情境问题浅度结合，但核心考点保持稳定，考生重点掌握基础题型即可拿到数列部分90%以上的分数。 2、 类型应用 类型一：等差/等比数列基本量运算 1.（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： 【答案】(1)； 【知识点】数列不等式恒成立问题、定义法求数列通项 【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由， 得：，即， 所以，解得：或（舍），， 从而，； 2．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； 【答案】(1)，； 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解， 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. 3．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题、分组（并项）法求和 【详解】（1）因为数列是单调递增的等差数列，故设的公差为. 设数列的公比为. 由，，， 得， 又，解得， 所以. 4．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得， 解得，或， 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1； 当时，an（2n+79），bn＝9•； （2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1， ∴cn， ∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•， ∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•， ∴Tn＝2（2n﹣1）•3， ∴Tn＝6． 【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 5．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【知识点】裂项相消法求和、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)根据等比数列的通项公式与前n项和的通项公式，可得到与q的值，代入通项公式即可； (2)由(1)得到的的通项公式代入化简的通项公式，根据裂项相消求和法求出，证明即可． 【详解】（1）设等比数列公比为q， 因为是，的等差中项，则，即 因为，故， 解得或；当时，不合题意，故舍去； 故; 因为， 代入q可得：； 故：； 故； （2）证明：由(1)可得：； 故， 因为，则，故． 6．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可； 【详解】（1）设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. 7．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； 【答案】(1) 【知识点】数列新定义、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】(1)利用等比中项的性质求出，得到数列的通项公式，利用错位相减即可求得的前n项和； 【详解】（1）由题意，设数列的公差为， 已知，是和的等比中项， 所以，因为，所以， 所以，所以. 所以，① ，② ①式减去②式（错位相减法）得： 因为，两边同除以得： . 类型二：利用与的关系求通项 8．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： 【答案】(1)， 【知识点】写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、数列新定义、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. 9．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题、等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系求，根据已知及等差数列的通项公式求公差，进而得到的通项公式，即可得； 【详解】（1）由，则时，且， 所以，显然也满足，故， 设的公差且，，而， 所以且， 所以，则， 所以，即. 10．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知数列的前n项和为，对任意，， (1)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)证明见详解，. 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、二项展开式的应用、数列新定义 【分析】（1）根据题设定义分析求解即可； 【详解】（1）任意，①， 当时，，解得； 当时，②， 由①-②得，即， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 11．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】二项式定理与数列求和、由递推关系证明等比数列、数列新定义、分组（并项）法求和 【分析】（1）当可求得的值，当时，由已知等式得出，变形得出，结合等比数列的定义证明可得结论； 【详解】（1）因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 12．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； 【答案】(1)证明见解析； 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、导数的运算法则、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 13．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. 14．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意，当时求得，进而求得，再结合累加法求解的通项公式； 【详解】（1）解：由数列，满足， 当时，可得，即，解得； 因为是等差数列，所以公差 所以． 所以， 所以时， ， 又时，依然成立， 所以， 所以． 15．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 16（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． 【答案】(1)，； 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、写出等比数列的通项公式、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （三）备考重点与易错点提醒 17．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； 【答案】(1)，，证明见解析 【知识点】裂项相消法求和、根据数列递推公式写出数列的项、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. 18．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、数列新定义、等比数列通项公式的基本量计算、组合数的计算 【分析】（1）根据题意计算求解即可； 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考冲刺训练---回归基础篇 数列第一问专题训练 一、考点分析 （一）命题规律 结合近五年天津高考数学真题与2026年考情预测，数列部分题型结构固定，解答题（15分），难度梯度清晰：解答题第一问为必拿分送分题，第二问侧重求和方法与简单综合应用。核心考查方向围绕等差、等比数列的基础公式、通项求解、前n项和计算三大模块，极少涉及偏难怪的构造技巧，是考生应重点突破的得分板块。 （二）解答题第一问高频题型（第19题第1小问，5-6分） 类型一：等差/等比数列基本量运算 核心考查「知三求二」能力，即利用通项公式和前n项和公式，通过列方程组求解首项 、公差或公比，最终得到数列通项公式。 类型二：利用与的关系求通项 利用核心公式求解，必须验证时的结果是否符合的表达式，不符合则需要分段书写。 常见考法： 1. 直接给出的表达式求 2.给出与的混合等式，通过作差消元后构造等差/等比数列 类型三：创新情景基础题 结合实际背景或新定义设问，本质仍考查基础公式 （三）备考重点与易错点提醒 1. 核心优先级：优先掌握等差、等比数列的所有基础公式和性质，这部分内容占数列总分的80%以上 1. 高频易错点： （1）使用时必须验证的情况，避免遗漏分段条件 （2）等比数列求和时注意的特殊情况，避免默认导致错误 （3）构造新数列后注意验证首项是否正确，避免后续计算全部偏差 （四）2026年命题趋势： 仍将保持当前题型结构，可能增加与集合、不等式的情境问题浅度结合，但核心考点保持稳定，考生重点掌握基础题型即可拿到数列部分90%以上的分数。 2、 类型应用 类型一：等差/等比数列基本量运算 1.（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： 2．（2026·天津南开·一模）已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； 3．（2026·天津·一模）已知是单调递增的等差数列，其前n项和为，为等比数列，，，． (1)求和的通项公式； 4．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 5．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 6．（2026·天津河东·一模）已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； 7．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； 类型二：利用与的关系求通项 8．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： 9．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； 10．（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知数列的前n项和为，对任意，， (1)证明：为等比数列，并求出数列的通项公式. 11．（2026·天津北辰·二模）设数列的前项积为，满足. (1)求证：是等比数列； 12．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； 13．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； 14．（2026·天津南开·二模）已知数列，其中为等差数列，且满足，． (1)求数列的通项公式； 15．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； 16（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． . （三）备考重点与易错点提醒 17．（2026·天津·一模）已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； 18．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $