上海市宝山中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 本试卷立足高中数学期中考查，以真实情境为载体，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，综合测评抽象能力、运算能力及模型意识的发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/60|函数单调性、空间几何体、概率分布|结合社会热点设计问题链，如以环保数据为背景考查统计分析，体现数学思维与数据观念的应用|

2026年宝山中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每 题5分) 1.双曲线号-号=1的实轴长为一 【解析】6 2.在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于0xy平面的对称点为B,则0A 0B= 【解析】-4 3.一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是 【解析】4π 4.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：mi),连续记录了7天的数据 并绘制成1图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 427 5458 70 96 【解析】58 5.设等差数列{an}的前n项和为Sm，己知a3=11,a5=19，则S0=一 【解析】210 6在(r+) 的展开式中x项的系数为一 【解析】40 7.某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3 人中男女生都有的选法有种（用数字作答）. 【解析】96 8.事件A,B互斥，它们都不发生的概率为号，且P(A)=2P(B),则P(8)= 【解粉1号 9.已知椭圆三+片=1Q>b>0),点A是椭圆上位于第一象限的一点，R,为椭 圆的右焦点，若△0AF2为等边三角形，则椭圆的离心率为一： 【解析】√3-1 10.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成 一个无盖方盒，则方盒的最大容积为 【解析】1024 11.A,B两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜 的比赛，最终胜者嬴得100元奖金。第一局比赛A胜，后因为有其他要事中止比 赛.为求公平，则A应该分得元奖金. 【解析】75 12.无穷等比数列{a}满足首项a1>0,q>1,记1n={x-ylx,y∈[a1,a2]U [an,ant},若对任意正整数n,集合1n是闭区间，则q的取值范围是 【解析】 设x-y=m,则m的最大值和最小值分别为an+1-a,a1-an+1,所以m∈ La1-an+1,an+i-a1] 当n=1时，x,y∈[a1,a2],故x-ye[a1-a2,a2-a],此时I1为闭区间， 当n≥2时，不妨设x≥y,若x,y∈[a,a2],则x-y∈[0，a2-a]·若x, y∈[a,a+],则x-y∈[0，an+1-an],所以[0，a2-az]∈[0，a+1-an]· 若x∈[an,an+i],y∈[a1,a2],则x-y∈[an-a2,an+1-a], 所以[0，at1-an]U[an-a2,ant1-az]=[0,ant1-az],即an-a2≤an+1-an对 任意的n∈N*恒成立，则qn-1-q≤g”-qn-1对任意的n∈N*恒成立，即(2 q)q”-2≤1对任意的n∈N恒成立.若q<2,则存在n∈N使(2-q)q-2>1, 不符合题意.若q≥2，则(2一q)g”-2≤0，满足条件，故q的取值范围是[2，+∞). 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题 每题5分) 13.“1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】B 14.8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人都不相邻的排法种数是( A.P·P B.P3.P C.P-P.P D.Pg-P哈 【解析】A 15.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品 进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（) A.至少一件正品与至少一件次品 B.至少三件正品与全部正品 C,至少一件正品与全部次品 D.恰好两件正品与恰好四件正品 【解析】D 16.若y=f(x)(x∈(n,n+1),n∈N)满足f(x+1)=f(x),则称y=f(x)为延展 函数.己知延展函数y=g(x)和y=h(x),满足当x∈(0,1)时，g(x)=ex,h(x)= x0.给定以下两个命题： ①存在函数y=kx+b(k≠0)与y=g(x)有无穷多个交点； ②存在函数y=kx+b(k≠O)与y=h(x)有无穷多个交点 则正确的选项是()】 A.①是假命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是假命题 D.①是真命题，②是真命题 【解析】A 所以当x∈(n,n+1),n∈N时，g(x)=g(x-1). 因为当x∈(0,1)时，g(x)=e*,g(x)=e*, 所以当x∈(1,2)时，x-1∈(0,1)，gx)=g(x-1)=e-1， 3 当x∈(2,3)时，x-1∈(1,2)，gx)=g(x-1)=ex-2,…, 当x∈(n,n+1)时，g(x)=e-n,所以g(x)是以1为周期的周期函数，值域为 (1,e. 同理，因为h(x)为延展函数，所以当x∈(n,n+1),n∈N*时，h(x)=h'(x-1). 因为当x∈(0,1)时，h(x)=x20,h(x)=10x9,所以 当x∈(1,2)时，x-1∈(0,1)，h(x)=h'(x-1)=10(x-1)9, 当x∈(2,3)时，x-1∈(1,2)，h(x)=h(x-1)=10×9x-2)3,…, 当x∈(9,10)时，h(x)=101(x-9),当x∈(10,11)时，h(x)=101,当x∈(11,12) 时，h(x)=0.对于①：如图1，直线y=kx+b(k,b∈R,k≠0)与曲线y= g(x)有有限个交点，故①为假命题： f(x)e(1.e) =k+6 012…nn+1x 02…9101x 图1 图2 对于②：如图2，存在直线y=10!(x-9),即k=104,b=-9×10!, 此时直线y=kx+b(k,b∈R,k≠0)与函数h(x)在(9,1o)上的图像重合，所以有无 穷个交点，故②为真命题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分) 如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2.AB=V2,P为侧棱SD 的中点. (1)求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值： (2)求点P到平面SBC的距离. 【解析】 (1)设底面中心为0，连接S0,OC。因为正四棱锥S-ABCD, 所以S0⊥平面ABCD。 故∠SC0为直线SC与平面ABCD所成的角。 在正方形ABCD中，AB=√2，则对角线AC= 2)2+(22=2。 0C=AC=1。在Rt△S0C中，SC=2。 sineSco-S0 5-00 22 SC= SC 2 2 即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为 (2)求点P到平面SBC的距离建立空间直角坐标系：以O为原点， 0B,OD,OS方向分别为x,y,z轴。 由(1)知S0=V3,0B=0D=0C=0A=1。 则0(0,0,0)，B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),S(0,0,V3)· p为SD中点，故p(-,0,9。 向量c丽=(，-1,0)，=(0，-1，同币=(-，-1，。 设平面SBC的法向量为元=(x,y,z)。 (n.CB=x-y=0 i.C=-y+3z=0 令z=1,得y=V3,x=V3。故元=(3，V3,1)。 点P到平面SBC的距离d: a:因ana9-99 同2+2+2 18.(本題满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分) (1)已知函数f(x)=x3-2x2-4x+2.求f(x)的极值： （2)己知函数f(x)=一ax2+nx在[2，+∞)上是严格减函数，则实数a的取值 范围。 【解析】 (1)函数fx)=x3-2x2-4x+2的定义域为R。 求导得f(x)=3x2-4x-4,令f(x)=0,即3x2-4x-4=0, 因式分解得(3x+2)(x-2)=0,解得x=-或x=2。 当x<-子时，f)>0,fx)单调递增： 当-子<x<2时，f)<0,f)单调递减； 当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增。 故当x=-号时，f似取得极大值，f(-到=(-到-2(-到-4（到+2=号 当x=2时，fx)取得极小值，f2)=23-2×22-4×2+2=-6。 (2)函数fx)=-ax2+nx的定义域为(0，+∞)，求导得f(x)=-2ax。 因为f)在2，+o)上是严格减函数，所以f)≤0在2，+∞)上恒成立，即 2ax≤0，由于x>0,不等式两边同乘x得1-2ax2≤0， 即2ar2≥1，要使2ax2≥1恒成立，需8a≥1，故实数a的取值范围是a≥：。 6 19.(本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小 题6分)》 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的 人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会 让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查 了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频 率分布直方图，如图所示： 频率 组距 0.045 889- 5060708090100分钟 (1)求a: (2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时问的平均数（单位：分钟）： (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时 间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进 行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率 【解析】 (1)由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，组距为10。 10×(0.010+a+0.045+a+0.005)=1,解得a=0.02 答：a的值为0.02。 (2)由(1)知a=0.02,各组频率分别为： [50,60外：0.010×10=0.1 [60,70小：0.02×10=0.2 [70,80:0.045×10=0.45 [80,90:0.02×10=0.2 [90,100]:0.005×10=0.05 估计平均数为： x=55×0.1+65×0.2+75×0.45+85×0.05=74 答：估计该地年轮人每天阅读时间的平均数为74分钟。 (3)由题意，[50,60)、[60,70)和[80,90)三组的频率之比为0.1：0.2：0.2=1：2：2。 采用分层抽样的方法抽取5人，则： 从[50,60)中抽取1人： 从[60,70)中抽取2人： 从[80,90)中抽取2人。 设“从这5人中任选3人进行调查，其中恰好有2人每天阅读时间位于【80,90)”为 事件A。则事件A的概率为： P4=c3C_1×3.3 C号-1010 答：其中恰好有2人每天阅读时间位于80,90)的概率为最。 8 20.(本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3 小题6分) 已知F、P,是椭圆r芳+卡-1(a>b>0)的左右焦点，且经过点(（，)离心率 为月 (1)求椭圆下的方程： (2)若直线L过右焦点F2与椭圆下交于A、B两点，且AF2=2F2B,求直线 L的方程 (3)若直线L过点M(0,m)(m≠0)，且与椭圆下交于C、D两点，点C关于y 轴的对称点为Q,直线QD的纵截距为n,证明：mn为定值. 【解析】 =1 (1)由题意可得 62 ,解得a2=b2+c2 ja2=4 (b2=3 所以椭圆下的方程为+兰=1。 4 3 (2)由(1)可知F2(1,0),设直线1的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2)。 将直线方程代入椭圆方程号+号=1，得到3m2+49y2+6y-9=0。 所以h+2器，y-品· 因为AF2=2F2B,所以(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),即-y1=2y2。 将-业=2代入归+%0可得2=那么⅓=-22= 3m2+4 再将y=-”,2=0代入y2=-, 9 可得 )×品品解得m土. 5 所以直线L的方程为x=±y+1,即y=±x-)。 (3)设直线l的方程为y=kx+m,C(x1,y1),D(x2,y2),则Q(-x1,y)。 将直线方程代入椭圆方程苦+号=1，得到3+4k)2+8张mx+m2-12=0。 所以x+x一-0x=是 3+4k2 直线QD的方程为y-y1=2兰(x+x)。 X2+x1 令x=0,可得n=y1+2兰x1=22y。 X2+x1 X1+x2 将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式，可 得n=红2m*x2kx+m=2x*m灯+2。 x1+x2 x1+x2 把x+x=-器x=代入上式可得n=是。 8km 所以mn=3,即mn为定值3。 10 21.(本题满分18分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3 小题8分) 已知函数f(x)=x-Inx-2. (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)函数f(x)在区间(k,k+1)(k∈N)上有零点，求k的值： (3)记函数g(x)=号x2-bx-2-f(x)，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个 极值点，若b≥，且9x)-gx)≥k恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】 (1)己知f(x)=x-lnx-2,将x=1代入fx)可得：f1)=1-ln1-2=-1,所以切点 坐标为1，-1)。对f)求导，可得f)=1-。 将x=1代入f,)可得切线斜率飞=f)=1-子=0。 可得切线方程为y-(-1)=0×(x-1),即y=-1。 因此，曲线y=fx)在x=1处的切线方程为y=-1。 2)迪4知f=1-=(x>0)。 令fx)>0,即号>0，因为x>0,所以x-1>0,解得x>1: 令fx)<0,即<0，因为x>0,所以x-1<0,解得0<x<1。 所以fx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。 因为f1)=-1<0,f2)=2-ln2-2 =-ln2<0,f3)=3-ln3-2=1-ln3<0,f4)=4-ln4-2=2-ln4>0。 根据零点存在定理，函数fx)在区间(3,4)上有零点，又因为函数f(x)在区间 (k,k+1)(k∈N)上有零点，所以k=3。因此，k的值为3。 (3)已知gx)=2x2-bx-2-f)=子x2-bx-2-(x-Inx-2)=x2-+ 1)x+nx,其定义域为(0，+∞)。 对g)求导可得9x)=x-(b+1)+是=-6+x 因为x1、x2(x1<x2)是函数gx)的两个极值点，所以x1、x2是方程x2-(b+ 1)x+1=0的两个根，根据韦达定理可得x1+x2=b+1,x1x2=1。 11 gG)-g+Inx-nx =-》-6+00-x)+nx-1x=-场-6x:+xx-x+ x2 -6-场+n克 +2 1 X2 X2 令t=号(0<t<1),因为x+x2=b+1≥+1=多，xx2=1, X2 所以(6x,+x2=b+≥()-草，即好+号+2x≥草，好+喝≥草-2=头 则≥号，即号+号≥头，t+之号，4-17t+4≥0，(4t-0t-到≥0，解得 X1X2 0<t≤号。令hM)=-(e-)+lnt(0<t≤别， 对M细求导可得=一红+)+=-罗<0， 所以4在(o,上单调递减，则hMen=h(月=-日-4）+n子=号-21n2。 因为gx)-9x)≥k恒成立，所以k≤h(mn=号-21n2,即实数k的取值范围 是（-∞，晋-21n2]。因此，实数k的取值范围是（-∞，若-21n21。 122026年宝山中学高二下期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每 题5分) 1.双曲线号-兰=1的实轴长为一 94 2.在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于0xy平面的对称点为B,则0A· 0B= 3.一个圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积是 4.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：mi),连续记录了7天的数据 并绘制成1图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是 427 5458 70 96 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,己知a3=11,a5=19，则S0= 6在(+目 的展开式中x项的系数为 7.某学校要从6名男生和4名女生中逃出3人担任进博会志愿者，则所选3 人中男女生都有的选法有种（用数字作答）， 8.事件A,B互斥，它们都不发生的概率为号，且P(A)=2P(B),则P(B)= 9.已知椭圆芳+长=1(a>b>0),点A是椭圆上位于第一象限的一点，P,为椭 圆的右焦点，若△OAF2为等边三角形，则椭圆的离心率为一· 10.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成 一个无盖方盒，则方盒的最大容积为 11.A,B两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场五局三胜 的比赛，最终胜者藏得100元奖金。第一局比赛A胜，后因为有其他要事中止比 赛.为求公平，则A应该分得元奖金 12.无穷等比数列{an}满足首项a1>0,q>1,记1n={x-y川x,y∈[a1,a2]U [an,an+]},若对任意正整数n,集合In是闭区间，则q的取值范围是 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题 每题5分) 3,1<m<3”是“方程+表示椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人都不相邻的排法种数是( A.P·Pg B.PP C.Pa-P·P D.P-P 15.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品 进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是( A.至少一件正品与至少一件次品 B.至少三件正品与全部正品 C.至少一件正品与全部次品 D.恰好两件正品与恰好四件正品 16.若y=f(x)(x∈(n,n+1),n∈N)满足f(x+1)=f(x),则称y=f(x)为延展 函数.已知延展函数y=g(x)和y=h(x),满足当x∈(0,1)时，g(x)=e×,h(x)= x0.给定以下两个命题： ①存在函数y=kx+b(k≠0)与y=g(x)有无穷多个交点； ②存在函数y=kx+b(k≠0)与y=h(x)有无穷多个交点. 则正确的选项是() A.①是假命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命趣，②是假命题 D.①是真命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分) 如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2.AB=V2,P为侧棱SD 的中点 (1)求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值： (2)求点P到平面SBC的距离. 18.(本題满分14分，共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分) (1)已知函数f(x)=x3-2x2-4x+2.求fx)的极值： (2)已知函数f(x)=-ax2+lnx在[2，+o)上是严格减函数，则实数a的取值 范围。 19.(本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小 题6分) 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的 人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会 让精神世界闪光”，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查 了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频 率分布直方图，如图所示： 频率 0.045组距 889 5060708090100分钟 (1)求a: (2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时问的平均数（单位：分钟）： (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时 间位于分组[50,60)，[60,0)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进 行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率 20.(本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3 小题6分) 已知F、F2是椭圆r号+节=1a>b>0)的左右焦点，且经过点（亿，），离心率 为月 (1)求椭圆「的方程： (2)若直线L过右焦点F2与椭圆下交于A、B两点，且AF2=2F2B,求直线 L的方程. (3)若直线1过点M(0,m)(m≠0)，且与椭圆下交于C、D两点，点C关于y 轴的对称点为Q,直线QD的纵截距为n,证明：mn为定值. 21.(本题满分18分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3 小题8分) 已知函数f(x)=x-Inx-2. (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (2)函数f(x)在区间(k,k+1)(k∈W)上有零点，求k的值： (3)记函数g(x)=x2-bx-2-f(x),设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个 极值点，若b≥三，且g(x)-9(x2)≥k恒成立，求实数k的取值范围.