专题提升01 库仑力作用下的力学综合问题 （举一反三） 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版必修第三册

本讲义聚焦库仑力作用下的力学综合问题这一核心知识点，系统梳理非共线带电体平衡、三个自由点电荷平衡、库仑力动力学问题等题型，前承库仑定律，后接力学平衡条件与牛顿运动定律，构建从基础应用到综合提升的学习支架。 该资料以题型专练为核心，典例与变式题梯度设计，如题型01通过典例及多选、计算等变式，深化平衡问题分析，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。素养提升练涵盖选择、解答题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化物理观念中的相互作用观念与综合应用能力。

专题提升01 库仑力作用下的力学综合问题 第一部分 题型专练 【题型01】库仑力作用下的平衡问题（非共线带电体） 【方法与技巧】 1.分析库仑力作用下的平衡问题时，方法与力学中分析物体的平衡问题的方法一样，具体步骤如下： 2.题型分类：静态平衡与动态平衡 3.解题方法： （1）静态平衡问题 方法 内容 合成与分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将任意两个力合成，则该合力一定与第三个力大小相等，方向相反；或将其中某一个力沿另外两个力的反方向分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件 正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解到两个相互垂直的x轴、y轴上，则Fx合＝0，Fy合＝0。选择x、y轴方向时，要使尽可能多的力落在x轴、y轴上，被分解的力要尽可能是已知力 矢量三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移，使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，结合数学知识求解未知力 （2）动态平衡问题 ①解析法 确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 ②图解法 此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。一般按照以下流程解题。 ③相似三角形法 三力平衡问题中，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则通常用相似三角形法分析。 【典例1】有A、B两个质量相同且分别带等量异种电荷的小球，通过两根细线1、2连接悬挂于O点。空间中有水平向右的匀强电场，当两个小球稳定后，所处的位置可能是下图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由整体法可知，A、B所受电场力平衡，所以细绳1的拉力与A、B的总重力等大、反向，故细绳1的拉力的方向为竖直向上。分析小球B，小球B所受电场力方向向左，故小球B向左偏，C正确。 故选C。 【变式1-1】（多选）如图所示，重力为G、带电为-q（q>0）的小球A被绝缘细线系在天花板上，带正电的小球B固定在地面上，当小球A处于静止状态时，小球A与小球B之间的连线水平且距离为d，细线与竖直方向夹角为，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．小球A受到的拉力大小为 B．小球A受到的拉力大小为 C．小球A受到的库仑力大小为 D．小球B的电荷量为 【答案】BD 【详解】带负电的小球 A 处于平衡状态，竖直方向 水平方向 解得 A 球受到绝缘细线的拉力 受到库仑力的大小 根据库仑定律 解得 B 球带电荷量 故选BD。 【变式1-2】（多选）如图所示，用固定在O点的绝缘细线系两个带电小球A、B，它们所带电荷量大小相等。两个小球静止时刚好在同一水平直线上，此时OA与竖直方向的夹角，OB与竖直方向的夹角。已知A球的质量为m，A、B两个小球之间的距离为L，静电力常量为k，重力加速度为g，，，下列说法中正确的是（　　） A．A、B两个小球带异种电荷 B．OA细线的拉力为 C．小球B的质量为 D．两个小球所带电荷量大小为 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，两个小球间存在相互作用的斥力，所以两个小球带同种电荷，故A错误； B．对A受力分析如图所示 则有 解得，故B正确； C．对A 对B受力分析有 解得，故C正确； D．由库仑定律有 解得，故D错误。 故选BC。 【变式1-3】如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.2kg的小球A悬挂到水平板的M、N两点，A上带有的正电荷。两线夹角为A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.3kg，重力加速度g取静电力常量，A、B球可视为点电荷，求： (1)支架对地面的压力大小； (2)将B水平左移，使N、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小。 【答案】(1)2.1N (2)，2.225N 【详解】（1）小球A、B间的库仑力 以B和绝缘支架整体为研究对象受力分析图如图甲所示，地面对支架支持力大小为 由牛顿第三定律可得支架对地面的压力大小为 （2）将B水平向左移，当N、A、B在同一直线上时，A、B间距为 A、B间的库仑力 以A球为研究对象受力分析图如图乙所示，可得AM拉力 由 解得AN拉力 【题型02】三个自由点电荷的平衡问题 【规律总结】 (1)三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。 根据平衡条件可得，电荷间的关系为： “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔（电性）； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小（电量定性关系）； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷（电量定性关系）； “”（三自由电荷定量关系） (2)对于三个自由点电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。 【典例2】如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是（　　） A．对的静电力可能是斥力 B．a对c的静电力一定是引力 C．a的电荷量可能比b少 D．的电荷量一定比多 【答案】D 【详解】根据静电力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”，则有a对b的静电力一定是引力，a对c的静电力一定是斥力；同时根据库仑定律来确定静电力的大小，并由平衡条件来确定各自电量的大小，因此在大小上一定为“两大夹一小”，因此a的电荷量一定比b的多。 故选D。 【变式2-1】如图所示，在真空中同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处于平衡状态，所带电荷量的绝对值分别为、、。已知A、B之间距离与B、C之间距离之比是3∶2，除相互作用的静电力外不受其他外力作用，下列说法正确的是（   ） A．若A、B带正电，则C带负电 B． C． D． 【答案】C 【详解】A．三个点电荷都处于平衡状态，A、C电性相同且与B相反，故A错误； B．由题意可知A、B与B、C之间的距离之比 根据B受力平衡可得 可得 故B错误； C．根据A受力平衡可得 可得 故C正确； D．根据C受力平衡可得 可得 故D错误。 故选C。 【变式2-2】如图所示，将相距为的、两点电荷放置在绝缘斜面上，点电荷、的电荷量分别为、。现引入第三个点电荷，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，点电荷、、的重力不计，则点电荷的电荷量可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点电荷、带异种电荷，且点电荷A的电荷量小于点电荷B的电荷量，三个点电荷都处于平衡状态，可知点电荷C应带负电，且电荷量大于，应放在A、B外侧靠近点电荷A的某位置，设点电荷C与点电荷A的距离为x，根据点电荷C受力平衡有 解得 根据点电荷A受力平衡有 解得 因点电荷C带负电，则 故选A。 【变式2-3】在绕过光滑定滑轮的轻质绝缘细绳两端，分别系着可看作点电荷的带电小球1、2，另一可视为点电荷的带电小球3固定在定滑轮正下方，如图所示，当系统稳定后，滑轮左侧细绳比右侧细绳短，已知1、2、3三个小球处在同一水平线上，则下列说法正确的是（　　） A．1、2两小球质量可能相等 B．1、2两小球可能带异种电荷 C．若1、2两小球均带正电荷，则两者电荷量可能相等 D．小球3的电荷量的绝对值一定小于1、2小球电荷量的绝对值 【答案】C 【详解】A．两小球所受细绳拉力大小相同，因左侧细绳较短，故左侧细绳与竖直方向的夹角较小，设细绳拉力大小为，由受力分析可知，1、2两小球竖直方向有 因 故 A错误； B．由1、2两小球水平方向受力分析可知，1、2两小球不可能带异种电荷，B错误； C．假设球3带负电，由水平方向受力平衡可得 因 由两式可知 又因，故可能等于，C正确； D．根据题中信息无法比较3球与1、2球的电荷量的关系，D错误。 故选C。 【题型03】库仑力作用下的动力学问题（难点） 【分析库仑力作用下的动力学问题的步骤】 分析库仑力作用下的动力学问题时，方法与力学中分析物体的动力学问题的方法相同，具体步骤如下： (1)确定研究对象； (2)进行受力分析，只是多了库仑力； (3)根据牛顿第二定律F合＝ma列式求解。 【典例3】如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于小球受到库仑斥力的作用，所以小球向右（正方向）做加速运动，随着距离的增大，小球受到的库仑力逐渐减小，则小球的加速度逐渐减小，图像的切线斜率逐渐减小。 故选C。 【变式3-1】光滑绝缘水平转台上有两个等量异种电荷（可视为点电荷）被约束在相距为的位置，带电量为，质量都为，已知静电力常量，求： (1)两电荷之间的库仑力大小； (2)同时释放两个电荷，求两个电荷相距为时加速度大小； (3)若解除对两个电荷的约束，请设计方案使两个点电荷间距保持d不变。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）根据库仑定律                                          解得 （2）                                         解得                                                                                  解得 （3）当两电荷间的库仑力刚好提供向心力时，d可以保持不变，即      两电荷绕两者连线中点匀速转动                                 解得 【变式3-2】如图所示，光滑绝缘粗细均匀的直细杆竖直固定，A点固定一个电荷量为的点电荷A，一个质量为m且带电量为的小球套在杆上（可自由运动），AO垂直于杆，AO长为4L，AB与水平方向的夹角为37°，C、B关于O点对称。当小球在B点由静止释放，能经过C点。不计小球的大小，静电力常量为k，重力加速度为g，，，求： (1)小球在B点释放后瞬间的加速度； (2)小球经过C点时的速度大小。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) 【详解】（1）由几何关系有， 根据牛顿第二定律有 求得 加速度方向竖直向下 （2）由题意有，B点与C点为等势点，小球从B到C库仑力不做功，则对小球分析，由动能定理有 求得 【变式3-3】如图所示，由两轻杆连接成的“V”形光滑支架可以绕竖直轴线OO'匀速转动，两轻杆与水平面间夹角均为60°，A、B两点等高。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于轻杆OD顶端，另一端与套在杆上质量为m的带电小球相连。初始时，小球静止于OB中点C且对杆无压力，此时弹簧的形变量为2L。现驱动该装置绕OO'转动，使小球缓慢移动至B点。已知，重力加速度为g，不计空气阻力，求 (1)弹簧的劲度系数； (2)小球在B点的库仑力大小； (3)小球在B点时的角速度（结果保留根式）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在C点处于平衡状态，弹簧的拉力 可得弹簧的劲度系数为 （2）小球在C点处于平衡状态，所受的库仑力 小球在B点所受的库仑力 解得 （3）小球在B点时，弹簧的弹力 设轻杆的支持力为FN 竖直方向上： 解得 水平方向上： 解得 第二部分 素养提升练 一、单选题 1．如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带异种电荷质量相等的小球A和B。它们同时以相同初速度向右运动，则在之后的一小段时间内（两球没有相撞），A球的速度大小和加速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变小，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变大，加速度变大 【答案】D 【详解】由于异种电荷间存在相互作用的吸引力，所以电场力对小球A正功，小球A速度变大，对小球B做负功，小球B速度变小，两球将相互靠近，距离减小，根据库仑定律可知，相互作用力增大，由牛顿第二定律可知它们的加速度变大。 故选D。 2．如图，在光滑的绝缘水平面上，有两个相距为的甲、乙小球（均可视为点电荷），带电荷量分别为和、质量分别为和，在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动。已知静电力常量为，水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以乙小球为研究对象进行受力分析可知，乙小球只受到甲小球的库仑力作用做匀加速直线运动，设其加速度为，对乙小球列牛顿第二定律方程有 解得 因为在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动，选甲、乙整体为研究对象，列牛顿第二定律方程有 联立解得 故选A。 3．如图所示，在同一点用两根长度不同的绝缘细线悬挂两个带同种电荷的小球A和B，两小球的质量分别为和，带电量分别为和，两球平衡时悬线与竖直方向的夹角分别为和，且，两小球处于同一水平线上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．与电荷量无关， 【答案】D 【详解】根据题意，小球A、B处于静止状态，受力平衡，水平方向一对库仑力等大反向，根据平衡条件有 解得 可知与电荷量无关，由于 故 故选D。 4．一绝缘轻质弹簧的两端连接有电荷量均为q的A、B两个带电小球（视为点电荷），如图所示，两小球放置在光滑绝缘的水平面上，静止时，它们之间的距离为弹簧原长的倍。若改变两小球的电荷量（两小球的电荷量始终相同），两小球再次处于静止状态时，它们之间的距离为弹簧原长的倍，弹簧始终在弹性限度内，则其中一个小球的电荷量约为（　　） A． B． C． D．2q 【答案】B 【详解】当两小球的电荷量均为q时，有 其中k为静电力常量，L为弹簧的原长，为弹簧的劲度系数，当两小球的电荷量均为时，有 解得 故选B。 5．如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为和；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为和。则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设两球质量均为m，两球不带电时，根据两球整体受力平衡有 根据B球受力平衡有 两球带上异种电荷时，设两球间的库仑力大小为F，根据两球整体受力平衡有 根据B球受力平衡有 解得 所以， 故选A。 6．如图所示不可伸长的轻绳长为，在绳两端和中间各固定质量均为的相同绝缘小球，其中两外侧小球带有同种性质的电荷。初始时三个小球排成一条直线静置于光滑水平面上，绳子呈伸直状态。现用大小为、方向与三球连线垂直的水平恒力作用在中间小球上，当两外侧小球间距稳定在时，两小球间的库仑力大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，对整体，由牛顿第二定律有 对外侧1个小球受力分析，如图所示    由几何关系有 竖直方向上，由平衡条件有 水平方向上由牛顿第二定律有 联立解得 7．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（   ） A．竖直墙面对小球A的弹力变大 B．两小球之间的距离变小 C．地面对小球B的支持力不变 D．推力F变大 【答案】C 【详解】以A球为研究对象，分析受力，如图1所示 设B对A的库仑力F库与墙壁的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为 N1=mAgtanθ 将小球B向左推动少许时，θ减小，则竖直墙面对小球A的弹力N1减小；库仑力 θ减小，cosθ增大，F库减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大； 再以AB整体为研究对象，分析受力如图2所示，由平衡条件得 F=N1 N2=（mA+mB）gN1减小，则F减小，地面对小球B的支持力一定不变。 故选C。 8．如图所示，是竖直面内光滑绝缘细环的四等分点，且连线水平，现有两个质量相等有孔的带电小球（可看作点电荷）穿在环上中的某两点静止不动，下列说法正确的是 （　　） A．两球可能处于两点 B．两球一定处于两点 C．两球可能处于两点 D．两球一定处于两点 【答案】A 【详解】ABC．以N处小球为例，受力分析如图所示 小球要静止，则必须受到M点的引力或者Q点的斥力，但是Q点的小球如果受到N点的斥力不能平衡，所以小球可能在M、N两点，同理如果小球在P、Q两点受到斥力也可能平衡，故BC错误，A正确； D．如果两小球在P、N两点，重力竖直向下，弹力和库仑力在一条直线上，且不与重力在一条直线上，所以小球不可处于平衡，故D错误。 故选A。 9．如图所示，把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（　　）    A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动 B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动 C．若A、B带异种电荷，B球一定做匀变速曲线运动 D．若A、B带异种电荷，B球可能做速度大小和加速度大小都不变的曲线运动 【答案】D 【详解】AB．若A、B带同种电荷，则A对B有斥力作用，且斥力方向和速度方向夹角越来越小，速度增大，两球间距离越来越大，静电力越来越小，所以加速度越来越小，故AB错误； C．若A、B带异种电荷，B受到的静电力指向A球，力的大小或方向肯定有一个发生变化，加速度一定变化，不可能做匀变速运动，故C错误； D．当静电力恰好等于B绕A做匀速圆周运动需要的向心力，B球做匀速圆周运动，所以B球可能做速度大小和加速度大小都不变的曲线运动，故D正确。 故选D。 10．如图甲所示，点电荷绕点电荷+Q做半径为r的匀速圆周运动，角速度为；如图乙所示，与甲图中完全相同的点电荷在相距为的两个固定点电荷+Q所在连线的中垂面上，做角速度为的匀速圆周运动，到+Q的距离始终为2r。则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图甲中，点电荷对点电荷的库仑力来提供向心力，做半径为的匀速圆周运动，则有 解得 图乙中，设点电荷与点电荷连线和两个固定点电荷+Q连线的夹角为，则有 可得 两个固定点电荷对的库仑力的合力提供向心力，则有 解得 则 故选D。 11．如图所示，在长为l的轻线（不可伸长）下端拴一个质量为m的带电小球。使小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心O处也固定一带电小球，两球均可视为质点，重力加速度为g。当轻线跟竖直方向的夹角为θ时，则（　　） A．小球做匀速圆周运动的向心力指向O′ B．小球做匀速圆周运动的向心力大小为mgtanθ C．小球做匀速圆周运动过程中机械能守恒 D．两球一定带同种电荷 【答案】C 【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，向心力指向点O，故A错误； B．竖直方向合力为零，则有 水平方向上的合力提供向心力，则，故B错误； C．小球受到的拉力和库仑力都不做功，所以机械能守恒，故C正确； D．两小球是吸引或排斥都可以让小球做匀速圆周运动，不一定是同种电荷，故D错误。 故选C。 12．如图所示，两个带电小球A、B分别处于光滑绝缘的竖直墙面和斜面上，且在同一竖直平面内，用水平向左的推力F作用于B球，两球在图示位置静止，现将B球沿斜面向下移动一小段距离，发现A球随之向上移动少许，两球在新位置重新平衡，重新平衡后与移动前相比，下列说法正确的是（　　） A．推力F变大 B．斜面对B的弹力不变 C．墙面对A的弹力不变 D．两球之间的距离减小 【答案】B 【详解】AB．对AB整体分析，受重力、斜面支持力N、墙壁支持力FN、推力F，如图所示 根据共点力平衡条件有 联立解得 由于不变、减小，所以推力F减小，斜面对B的弹力N不变，故A错误，B正确； CD．对小球A受力分析，受重力、支持力、静电力，如图所示 根据共点力平衡条件有 由题意可知减小，可知墙面对A的弹力变小，库仑力减小，故两球间距增加，故CD错误。 故选B。 二、多选题 13．如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，并使两段杆处在同一竖直平面内。质量为m、带电荷量为＋Q的小圆环A穿在右边杆上，质量为3m、带电荷量为＋3Q的小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为α。重力加速度为g。则（　　） A．右边杆对A环的支持力大小等于2mg B．左边杆对B环的支持力大小等于 C．A环对B环的库仑力大小等于 D．B环对A环的库仑力大小等于 【答案】AC 【详解】AB．对A、B环受力分析，如图， 对A环，由平衡条件可得， 对B环，由平衡条件可得， 因库仑力相等，则有 解得 则右杆对A环的支持力大小为 左边杆对B环的支持力大小为，故A正确；B错误； CD．两环之间的库仑力大小为，故C正确；D错误。 故选AC。 14．如图所示，圆弧形槽固定在地面上，为水平直径，在光滑的半球形绝缘内壁有质量分别为、两带同种电荷的小球，各自带电量为、，、两小球与球心点的连线与竖直方向分别成、夹角，处于静止状态，圆弧形槽对、两小球的弹力分别为、，已知，则（　　） A． B．可能有 C． D．若球电量减小，球会降低，球会升高 【答案】BC 【详解】ABC．分别以小球A、B为研究对象，受力分析，如图所示 根据正弦定理可得， 则， 由题中条件不能判断两球电量关系，则可能有，故A错误，BC正确； D．若 A 球电量减小，根据三角形相似法可得， 其中都减小，即A、B球都会降低，D错误。 故选BC。 15．如图所示，在一倾角为的绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从点移至A正上方的点处，已知、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．物体A受到斜面的支持力可能一直增大 B．物体受到斜面的摩擦力可能先减小后增大 C．地面对斜面的摩擦力可能先减小后增大 D．地面对斜面的支持力一定一直增大 【答案】BD 【详解】CD．以A和C整体为研究对象，受力分析如图所示 设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向的夹角为，根据平衡条件得， 小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，减小，减小，故地面对斜面C的摩擦力逐渐减小；增大，故地面对斜面的支持力一定一直增大，故C错误，D正确； AB．以A为研究对象，受力分析如图所示 小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，但B对A的库仑力F垂直于斜面方向的分力先增大后减小，根据平衡条件 可知物体A受到斜面的支持力先增大后减小，故A错误； B．以A为研究对象，若刚开始，则物体受到斜面的摩擦力沿斜面向下，小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，但B对A的库仑力F平行于斜面方向的分力先沿斜面向上减小，根据平衡条件，可知摩擦力沿斜面向下，大小在减小；当时摩擦力，继续沿斜面向上减小，则摩擦力方向变成沿斜面向上，大小不断增大；当反向，方向变成沿斜面向下，大小不断增大，则摩擦力方向仍沿斜面向上，大小仍不断增大，故物体受到斜面的摩擦力先减小后增大；若刚开始，则物体受到斜面的摩擦力沿斜面向上，小球B从P点到Q点过程中库仑力F的大小不变，但B对A的库仑力F平行于斜面方向的分力先沿斜面向上减小，根据平衡条件，可知摩擦力沿斜面向上不断增大；当反向，方向变成沿斜面向下，大小不断增大，则摩擦力方向仍沿斜面向上，大小仍不断增大，故物体受到斜面的摩擦力一直增大，由题无法知道与的大小关系，故物体受到斜面的摩擦力可能先减小后增大，也可能一直增大，故B正确。 故选BD。 三、解答题 16．如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为的圆环套在竖直杆上，质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，滑块与地面间的动摩擦因数为，、均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受支持力和库仑力； (3)滑块所受摩擦力。 【答案】(1)圆环带正电 (2)，方向水平向右；，方向由b指向a (3)，方向水平向左 【详解】（1）圆环a能保持静止，根据平衡条件可知圆环a受到滑块b的库仑斥力，所以圆环a与滑块b带同种电荷，则圆环带正电。 （2）圆环a的受力分析如图所示 根据平衡条件可得， 可得圆环a所受支持力大小为 方向水平向右；圆环a所受库仑力大小为 方向由b指向a。 （3）以滑块b为对象，根据受力平衡可得滑块b所受摩擦力大小为 方向水平向左。 17．如图，带电荷量的小球A固定在光滑绝缘桌面的上方，距桌面的高度，一个质量为、带电荷量的小球B在桌面上以小球A在桌面上的投影点O为圆心做匀速圆周运动，其运动半径为。重力加速度，静电力常量。求： （1）小球A、B之间的库仑力F的大小； （2）小球B运动的线速度v的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据图中几何关系可知，小球A、B之间的距离为 根据库仑定律可知，小球A、B之间的库仑力大小为 （2）设库仑力与竖直方向的夹角为，则有 以小球B为对象，根据牛顿第二定律可得 解得小球B运动的线速度大小为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提升01 库仑力作用下的力学综合问题 第一部分 题型专练 【题型01】库仑力作用下的平衡问题（非共线带电体） 【典例1】有A、B两个质量相同且分别带等量异种电荷的小球，通过两根细线1、2连接悬挂于O点。空间中有水平向右的匀强电场，当两个小球稳定后，所处的位置可能是下图中的（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）如图所示，重力为G、带电为-q（q>0）的小球A被绝缘细线系在天花板上，带正电的小球B固定在地面上，当小球A处于静止状态时，小球A与小球B之间的连线水平且距离为d，细线与竖直方向夹角为，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，下列说法正确的是（　　） A．小球A受到的拉力大小为 B．小球A受到的拉力大小为 C．小球A受到的库仑力大小为 D．小球B的电荷量为 【变式1-2】（多选）如图所示，用固定在O点的绝缘细线系两个带电小球A、B，它们所带电荷量大小相等。两个小球静止时刚好在同一水平直线上，此时OA与竖直方向的夹角，OB与竖直方向的夹角。已知A球的质量为m，A、B两个小球之间的距离为L，静电力常量为k，重力加速度为g，，，下列说法中正确的是（　　） A．A、B两个小球带异种电荷 B．OA细线的拉力为 C．小球B的质量为 D．两个小球所带电荷量大小为 【变式1-3】如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.2kg的小球A悬挂到水平板的M、N两点，A上带有的正电荷。两线夹角为A的正下方0.3m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.3kg，重力加速度g取静电力常量，A、B球可视为点电荷，求： (1)支架对地面的压力大小； (2)将B水平左移，使N、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小。 【题型02】三个自由点电荷的平衡问题 【典例2】如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是（　　） A．对的静电力可能是斥力 B．a对c的静电力一定是引力 C．a的电荷量可能比b少 D．的电荷量一定比多 【变式2-1】如图所示，在真空中同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处于平衡状态，所带电荷量的绝对值分别为、、。已知A、B之间距离与B、C之间距离之比是3∶2，除相互作用的静电力外不受其他外力作用，下列说法正确的是（   ） A．若A、B带正电，则C带负电 B． C． D． 【变式2-2】如图所示，将相距为的、两点电荷放置在绝缘斜面上，点电荷、的电荷量分别为、。现引入第三个点电荷，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，点电荷、、的重力不计，则点电荷的电荷量可能为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】在绕过光滑定滑轮的轻质绝缘细绳两端，分别系着可看作点电荷的带电小球1、2，另一可视为点电荷的带电小球3固定在定滑轮正下方，如图所示，当系统稳定后，滑轮左侧细绳比右侧细绳短，已知1、2、3三个小球处在同一水平线上，则下列说法正确的是（　　） A．1、2两小球质量可能相等 B．1、2两小球可能带异种电荷 C．若1、2两小球均带正电荷，则两者电荷量可能相等 D．小球3的电荷量的绝对值一定小于1、2小球电荷量的绝对值 【题型03】库仑力作用下的动力学问题（难点） 【典例3】如图所示，光滑绝缘的水平面上的P点固定一个带正电的点电荷，在它的右侧N点由静止开始释放一个也带正电的小球（可视为质点），以向右为正方向，下列选项中能反映小球运动速度随时间变化规律的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】光滑绝缘水平转台上有两个等量异种电荷（可视为点电荷）被约束在相距为的位置，带电量为，质量都为，已知静电力常量，求： (1)两电荷之间的库仑力大小； (2)同时释放两个电荷，求两个电荷相距为时加速度大小； (3)若解除对两个电荷的约束，请设计方案使两个点电荷间距保持d不变。 【变式3-2】如图所示，光滑绝缘粗细均匀的直细杆竖直固定，A点固定一个电荷量为的点电荷A，一个质量为m且带电量为的小球套在杆上（可自由运动），AO垂直于杆，AO长为4L，AB与水平方向的夹角为37°，C、B关于O点对称。当小球在B点由静止释放，能经过C点。不计小球的大小，静电力常量为k，重力加速度为g，，，求： (1)小球在B点释放后瞬间的加速度； (2)小球经过C点时的速度大小。 【变式3-3】如图所示，由两轻杆连接成的“V”形光滑支架可以绕竖直轴线OO'匀速转动，两轻杆与水平面间夹角均为60°，A、B两点等高。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于轻杆OD顶端，另一端与套在杆上质量为m的带电小球相连。初始时，小球静止于OB中点C且对杆无压力，此时弹簧的形变量为2L。现驱动该装置绕OO'转动，使小球缓慢移动至B点。已知，重力加速度为g，不计空气阻力，求 (1)弹簧的劲度系数； (2)小球在B点的库仑力大小； (3)小球在B点时的角速度（结果保留根式）。 第二部分 素养提升练 一、单选题 1．如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带异种电荷质量相等的小球A和B。它们同时以相同初速度向右运动，则在之后的一小段时间内（两球没有相撞），A球的速度大小和加速度大小随时间变化的情况是（　　） A．速度变小，加速度变大 B．速度变小，加速度变小 C．速度变大，加速度变小 D．速度变大，加速度变大 2．如图，在光滑的绝缘水平面上，有两个相距为的甲、乙小球（均可视为点电荷），带电荷量分别为和、质量分别为和，在水平恒力作用下甲、乙小球一起做匀加速直线运动。已知静电力常量为，水平恒力的大小为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，在同一点用两根长度不同的绝缘细线悬挂两个带同种电荷的小球A和B，两小球的质量分别为和，带电量分别为和，两球平衡时悬线与竖直方向的夹角分别为和，且，两小球处于同一水平线上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．与电荷量无关， 4．一绝缘轻质弹簧的两端连接有电荷量均为q的A、B两个带电小球（视为点电荷），如图所示，两小球放置在光滑绝缘的水平面上，静止时，它们之间的距离为弹簧原长的倍。若改变两小球的电荷量（两小球的电荷量始终相同），两小球再次处于静止状态时，它们之间的距离为弹簧原长的倍，弹簧始终在弹性限度内，则其中一个小球的电荷量约为（　　） A． B． C． D．2q 5．如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为和；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为和。则（　　） A．， B．， C．， D．， 6．如图所示不可伸长的轻绳长为，在绳两端和中间各固定质量均为的相同绝缘小球，其中两外侧小球带有同种性质的电荷。初始时三个小球排成一条直线静置于光滑水平面上，绳子呈伸直状态。现用大小为、方向与三球连线垂直的水平恒力作用在中间小球上，当两外侧小球间距稳定在时，两小球间的库仑力大小为（　　）    A． B． C． D． 7．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（   ） A．竖直墙面对小球A的弹力变大 B．两小球之间的距离变小 C．地面对小球B的支持力不变 D．推力F变大 8．如图所示，是竖直面内光滑绝缘细环的四等分点，且连线水平，现有两个质量相等有孔的带电小球（可看作点电荷）穿在环上中的某两点静止不动，下列说法正确的是 （　　） A．两球可能处于两点 B．两球一定处于两点 C．两球可能处于两点 D．两球一定处于两点 9．如图所示，把一个带电小球A固定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B，现给小球B一个垂直A、B连线方向的速度，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是（　　）    A．若A、B带同种电荷，B球可能做速度减小的曲线运动 B．若A、B带同种电荷，B球一定做加速度增大的曲线运动 C．若A、B带异种电荷，B球一定做匀变速曲线运动 D．若A、B带异种电荷，B球可能做速度大小和加速度大小都不变的曲线运动 10．如图甲所示，点电荷绕点电荷+Q做半径为r的匀速圆周运动，角速度为；如图乙所示，与甲图中完全相同的点电荷在相距为的两个固定点电荷+Q所在连线的中垂面上，做角速度为的匀速圆周运动，到+Q的距离始终为2r。则为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，在长为l的轻线（不可伸长）下端拴一个质量为m的带电小球。使小球在水平面内做匀速圆周运动，圆心O处也固定一带电小球，两球均可视为质点，重力加速度为g。当轻线跟竖直方向的夹角为θ时，则（　　） A．小球做匀速圆周运动的向心力指向O′ B．小球做匀速圆周运动的向心力大小为mgtanθ C．小球做匀速圆周运动过程中机械能守恒 D．两球一定带同种电荷 12．如图所示，两个带电小球A、B分别处于光滑绝缘的竖直墙面和斜面上，且在同一竖直平面内，用水平向左的推力F作用于B球，两球在图示位置静止，现将B球沿斜面向下移动一小段距离，发现A球随之向上移动少许，两球在新位置重新平衡，重新平衡后与移动前相比，下列说法正确的是（　　） A．推力F变大 B．斜面对B的弹力不变 C．墙面对A的弹力不变 D．两球之间的距离减小 二、多选题 13．如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，并使两段杆处在同一竖直平面内。质量为m、带电荷量为＋Q的小圆环A穿在右边杆上，质量为3m、带电荷量为＋3Q的小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为α。重力加速度为g。则（　　） A．右边杆对A环的支持力大小等于2mg B．左边杆对B环的支持力大小等于 C．A环对B环的库仑力大小等于 D．B环对A环的库仑力大小等于 14．如图所示，圆弧形槽固定在地面上，为水平直径，在光滑的半球形绝缘内壁有质量分别为、两带同种电荷的小球，各自带电量为、，、两小球与球心点的连线与竖直方向分别成、夹角，处于静止状态，圆弧形槽对、两小球的弹力分别为、，已知，则（　　） A． B．可能有 C． D．若球电量减小，球会降低，球会升高 15．如图所示，在一倾角为的绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从点移至A正上方的点处，已知、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（　　） A．物体A受到斜面的支持力可能一直增大 B．物体受到斜面的摩擦力可能先减小后增大 C．地面对斜面的摩擦力可能先减小后增大 D．地面对斜面的支持力一定一直增大 三、解答题 16．如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为的圆环套在竖直杆上，质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，滑块与地面间的动摩擦因数为，、均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受支持力和库仑力； (3)滑块所受摩擦力。 17．如图，带电荷量的小球A固定在光滑绝缘桌面的上方，距桌面的高度，一个质量为、带电荷量的小球B在桌面上以小球A在桌面上的投影点O为圆心做匀速圆周运动，其运动半径为。重力加速度，静电力常量。求： （1）小球A、B之间的库仑力F的大小； （2）小球B运动的线速度v的大小。 学科网（北京）股份有限公司 $