精品解析：陕西西安市鄠邑区2026届高三下学期考前模拟数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以． 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，所以 ，所以的虚部为． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的值域确定大小关系. 【详解】因为 ，所以． 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移变换的原则得到平移后的函数解析式，再根据对称性求出即可. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为所得图象关于原点对称，即是奇函数， 所以，所以， 因为，所以的最小值为． 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 6. 2022年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型：底面是边长为2的正三角形的三棱锥，其中平面．施工人员需要在上取中点，在上取中点，搭建辅助支撑钢架，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，，分析可得（或其补角）即为和所成的角，进而求解即可. 【详解】取的中点，连接，， 因为是的中点，所以，且， 因为是的中点，所以，且， 所以（或其补角）即为和所成的角， 因为平面，所以平面，而平面， 所以，所以，故， 则直线与所成角的余弦值为. 7. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为． 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，结合题设可得，进而得到函数在上单调递增，再结合 求解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，，所以， 则函数在上单调递增， 因为，所以 ， 则 的解集为， 即 的解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分．下列说法正确的有（ ） A. 若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩 B. 若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数 C. 若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定 D. 若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分层抽样、众数、中位数、平均数的概念、方差的意义与线性性质，逐一验证选项. 【详解】对于A：女生占总人数的，因此抽取的10人中，女生的人数为，A正确； 对于B：众数是出现次数最多的数，中位数是数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处于中间位置的数，平均数受所有数据的影响，三者没有必然的大小关系，B错误； 对于C：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐．女生数学成绩的方差8小于男生数学成绩的方差12，因此女生的数学成绩更稳定，C正确； 对于D：所有数学成绩同步加10分后，平均分增加10分，但方差反映数据的离散程度，整体加减不会改变数据的波动幅度，因此方差不变，D错误． 10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（ ） A. 若直线的倾斜角为，则 B. 的最小值为8 C. 以线段为直径的圆恒与轴相切 D. 若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，抛物线的焦点为，若直线的倾斜角为，，则直线的方程为， 与抛物线的方程联立得，所以， 因为 ，所以，故A正确； 对于B，由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则， 因为 ，当时，等号成立，所以 ，最小值为8，故B正确； 对于C，以线段为直径的圆的圆心为的中点，横坐标为，则圆心到轴的距离为， 因为，所以圆的半径，则，因此该圆恒与轴相切，故C正确； 对于D，易知，若，则，，， 所以 ， 结合选项B的解析，可知，，， 代入得，解得，即直线垂直于轴，斜率不存在，故D错误． 11. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以 ，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以 ， 因为的图象关于直线对称，所以 ，在上单调递减，故C错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，求得所在项数后可得． 【详解】的展开式中第项为， 令得：的系数为. 故答案为：20． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 13. 在中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由同角三角函数关系，求出的值，再代入三角形面积公式，求出三角形的面积；最后用余弦定理求出，进而求得. 【详解】因为，所以． 因为，，所以的面积为． 在中，由余弦定理得， 所以． 14. 已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，根据面面垂直的性质定理，平面，则， 同理，故平面． 因为，所以可将三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球完全相同． 正方体的体对角线长度为， 即外接球的直径，故， 则三棱锥外接球的表面积． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 16. 如图，直四棱柱的底面为菱形，为棱的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，构造中位线，得到线面平行的判定定理成立的条件，从而得出证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，将求平面与平面夹角的余弦值的问题，转化为求空间两个平面的法向量夹角的余弦值的绝对值，从而解决问题. 【小问1详解】 （1）证明：连接，交于点，连接， 因为底面为菱形，所以对角线与互相平分，所以是的中点． 因为为棱的中点，所以是的中位线，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 解：如图，以（1）中的为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 因为，，， 所以． 设平面的法向量为， 因为，， 由，则，所以， 令，则，，所以． 取的中点，连接． 因为为等边三角形，所以． 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，即为平面的一个法向量． 因为，所以． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】（1）0.28 （2）0.352 （3）1.2． 【解析】 【小问1详解】 设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. 【小问3详解】 根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 18. 已知函数． （1）证明：当时，． （2）讨论的零点个数． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，有1个零点；当时，有3个零点 【解析】 【分析】（1）直接求导，利用基本不等式，易得导函数恒大于等于，所以原函数单调递增，又，可证出； （2）先求出导函数为，可知，进而分别对和进行讨论，再结合函数单调性即极值的符号，从而判断出零点的个数. 【小问1详解】 证明：当时，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以，因此在上单调递增． 又，所以当时，，即． 【小问2详解】 解：因为，定义域为， 所以为上的奇函数． 又， 所以，当时，，则在上单调递增． 又，所以的只有1个零点. 当时，令，则， 设，则，即，又当时，有解， 因为方程一定有解，解得， 即，． 又因为，， 所以，即，， 则当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以在处取极大值为；在处取极小值为． 又因为当时，，； 当时，，所以的零点个数为3． 综上，当时，有1个零点；当时，有3个零点. 19. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． （1）求的方程. （2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（I）；（II）直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）根据以及经过的点，即可求解， （2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得的坐标，进而求解直线方程，即可求解（II）. 【小问1详解】 设，则，则的方程为. 因为经过点，所以，得. 故的方程为. 【小问2详解】 （I）设，由 得， 得，则，故. （II）直线.由，得. 由，得， 则， 因为，所以的坐标为. 同理可得的坐标为. 又 ， 所以直线MN的方程为. 因为， 所以直线MN过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 2022年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型：底面是边长为2的正三角形的三棱锥，其中平面．施工人员需要在上取中点，在上取中点，搭建辅助支撑钢架，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分．下列说法正确的有（ ） A. 若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩 B. 若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数 C. 若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定 D. 若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10 10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（ ） A. 若直线的倾斜角为，则 B. 的最小值为8 C. 以线段为直径的圆恒与轴相切 D. 若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 11. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13. 在中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为___________，___________． 14. 已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，直四棱柱的底面为菱形，为棱的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 18. 已知函数． （1）证明：当时，． （2）讨论的零点个数． 19. 已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． （1）求的方程. （2）已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $