精品解析：河南安阳市林州市2025-2026学年八年级下学期数学期中试题（A卷）

八年级下学期期中调研试卷（A） 数学 （考试范围：1~88页 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请把各题答案直接涂写在答题卡上相对应的位置，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将答题卡上对应本人的姓名、考场、座号、准考证号等信息填写完整或把条形码粘贴在贴条形码区的位置上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； B、∵，∴B错误； C、∵，∴C正确； D、∵，∴D错误． 3. 在中，、、的对边长分别是、、，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用非负数和为零的性质得到三边关系，根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，且 ， ∴是等腰直角三角形. 4. 如果一个正多边形的边数增加2，那么它的内角和增加（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式． 根据多边形内角和公式，计算边数增加2后的内角和的差值即可． 【详解】解：设原多边形边数为，则原内角和为， ∵边数增加2， ∴新边数为，新内角和为， ∴内角和增加量． 故选：D． 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A：∵， 整理得：， ∴此选项不符合题意； B：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； C：∵， ∴， ∴此选项不符合题意； D：∵， ∴此选项符合题意. 故选：D. 6. 下列结论中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定定理，故选项A正确，不符合题目要求； B、只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故选项B错误，符合题目要求； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，符合菱形面积计算公式，故选项C正确，不符合题目要求； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故选项D正确，不符合题目要求． 7. 如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减少 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后变小 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，证明出是的中位线，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵E，F分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵点R不动 ∴的长度不变 ∴线段的长不变． 8. 如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ） A. B. 16 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，，对角线相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 9. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先根据尺规作图的性质确定是的垂直平分线，得到为中点；再利用菱形的性质得出为直角三角形，结合直角三角形斜边中线定理求出的长度；最后根据菱形的角度关系和三角函数求出的长度． 【详解】解：∵由尺规作图可知，是线段的垂直平分线， ∴为的中点． ∵四边形是菱形，、为对角线， ∴，即，， ∴为斜边上的中线， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是菱形，，， ∴，平分，平分， ∴，，，，，． 在中， ∵，， ∴， ∴． 10. 如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半， ∵，且，，，， ∴横坐标为1，纵坐标为下标的一半， ∴的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围为_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为零列出不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是且． 12. 规定，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据新定义得到，然后利用分母有理化求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 13. 如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 14. 如图，菱形的对角线交于点．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求得，易证四边形为矩形，可得，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，此时的值最小，的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 15. 如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再计算加减法即可； （2）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 18. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用． （1）根据题意，，由此即可求解； （2）设，由勾股定理得到，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：设，依题意得：， ∵， ∴，即， 解得：， 答：钟摆的长． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，见解析 【解析】 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用边角边证明； （2）根据平行四边形的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 证明：， ∴，， 在和中， ； 【小问2详解】 在中，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴OD=OB，∠COD=90°， ∵DH⊥AB， ∴OH=BD=OB， ∴∠OHB=∠OBH， 又∵AB∥CD， ∴∠OBH=∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°， 在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°， ∴∠DHO=∠DCO． 21. 如图，在中，，点分别为的中点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长及四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）易得为等边三角形，三线合一求出的长，作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵点分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知：，四边形为平行四边形， ∴，， 作，则， ∴四边形的面积． 22. 如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． （1）求证：； （2）若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 23. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 【答案】（1）①见解析；②PE＝PF，理由见解析；（2）3． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠CBF＝90°，再证明∠DCE＝∠BCF即可解决问题． （2）证明△PCE≌△PCF（SAS）即可解决问题． （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM＝FM，CE＝CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x，理由勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， 在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵CF⊥CE， ∴∠ECF＝90°， ∴∠DCB＝∠ECF＝90° ∴∠DCE＝∠BCF， ∴△CDE≌△CBF（ASA）． （2）结论：PE＝PF． 理由：如图1中，∵△CDE≌△CBF， ∴CE＝CF， ∵PC＝PC，∠PCE＝∠PCF， ∴△PCE≌△PCF（SAS）， ∴PE＝PF． （3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝6，∠A＝90°，∠EDH＝45°， ∵EH⊥AD， ∴∠DEH＝∠A＝90°， ∴EH∥AF，DE＝EH＝2， ∵△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF＝2， ∴EH＝BF， ∵∠EHM＝∠MBF，∠EMH＝∠FMB， ∴△EMH≌△FMB（AAS）， ∵EM＝FM， ∵CE＝CF， ∴PC垂直平分线段EF， ∴PE＝PF，设PB＝x，则PE＝PF＝x+2，PA＝6﹣x， 在Rt△APE中，则有（x+2）2＝42+（6﹣x）2， ∴x＝3， ∴PB＝3． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中调研试卷（A） 数学 （考试范围：1~88页 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共4页，三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请把各题答案直接涂写在答题卡上相对应的位置，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将答题卡上对应本人的姓名、考场、座号、准考证号等信息填写完整或把条形码粘贴在贴条形码区的位置上． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. 3 C. D. 3. 在中，、、的对边长分别是、、，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 如果一个正多边形的边数增加2，那么它的内角和增加（ ） A. B. C. D. 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 7. 如图，已知长方形，R，P分别是，上的点；E，F分别是，的中点，当点P在上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减少 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后变小 8. 如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（ ） A. B. 16 C. 12 D. 13 9. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 10. 如图，在单位为1的方格纸上，，，，…，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则x的取值范围为_________． 12. 规定，则的值是______． 13. 如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 14. 如图，菱形的对角线交于点．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为___________． 15. 如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值． ，其中，． 18. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为． （1）图2中______； （2）求钟摆的长度． 19. 如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 20. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB 于点H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO. 21. 如图，在中，，点分别为的中点，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长及四边形的面积． 22. 如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． （1）求证：； （2）若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 23. （1）尝试探究： 如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F． ①求证：△CDE≌△CBF； ②过点C作∠ECF的平分线交AB于P，连接PE，请探究PE与PF的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展应用： 如图2，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CF⊥CE，交AB的延长线于F，连接EF交DB于M，连接CM并延长CM交AB于P，已知AB＝6，DE＝2，求PB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $