精品解析：湖南省邵阳市2025届高三第三次联考数学试题

2025年邵阳市高三第三次联考 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则的元素的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列区间中，函数单调递减的区间是（ ） A B. C. D. 4. 设为所在平面内一点，．若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 5. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 7. 在中，角，，所对边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（ ） A. 176 B. 88 C. 44 D. 22 8. 设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 若点的坐标为，则的最小值为2 10. 已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数为奇函数 C. D. 11. 已知正四面体的棱长为2，过点的截面将正四面体分成体积相等的两部分，则下列说法正确的是（ ） A. 截面为等腰三角形的个数是6 B. 截面一定锐角三角形 C. 截面可以是等边三角形 D. 过棱的中点作正四面体外接球的截面，截面圆的面积的最小值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 13. 已知减函数（，且）的图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为________． 14. 函数的图象类似于汉字“囧”，此函数称为“囧函数”，并把图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，与“囧函数”的图象有公共点的圆，称为“囧圆”．当，时，“囧圆”的面积的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高校为选拔学生参加年全国大学生数学建模竞赛，在校内举办了选拔赛，选拔赛分为初赛和复赛，初赛通过后才能进入复赛，复赛通过后将代表学校参加全国大学生数学建模竞赛．已知初赛共有“”和“”两个项目供学生选择，每名学生最多可以选择一个项目，经过初赛选拔，共有名学生进入复赛，统计得到如下列联表：（单位：人） 复赛 初赛项目 合计 进入复赛 未进入复赛 合计 （1）求、； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为进入复赛与学生选择的初赛项目有关？ （3）为进一步了解学生对全国大学生数学建模竞赛的认知情况，从进入复赛的名学生中，按初赛项目用分层随机抽样的方法抽取人，并从这人中随机抽取人进行访谈，求抽到的被访谈学生中选择初赛项目“”的人数的分布列及数学期望． 附： 16. 如图，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点，再过点作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程，得到一系列点：；；；；；，记点的坐标为，其中． （1）记组成一个数列，求的通项公式； （2）令，求证：． 17 已知函数，，其中，． （1）讨论的单调性； （2）当时，若，是的两个不同的极值点，求证：． 18. 如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的外接球的表面积； （3）是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值． 19. 已知抛物线上有两点，，当时，线段的中点的横坐标的最小值为． （1）求的方程； （2）若圆位于与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，求圆的半径的最大值； （3）以的焦点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，，与在第一象限的交点为．若直线，与的另一个交点分别为，，直线与直线相交于点，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年邵阳市高三第三次联考 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则的元素的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为集合，， 所以， 因此，的元素的个数是. 故选：C. 2. 已知复数为纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义得，结合平方关系、商数关系求正切值. 【详解】由题设，结合平方关系易得，故. 故选：B 3. 下列区间中，函数单调递减的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 4. 设为所在平面内一点，．若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 5. 已知圆锥底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角. 【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 6. 已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 7. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且，则此的面积为（ ） A. 176 B. 88 C. 44 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及正弦定理得、、，再由三角形内角的性质及和角正弦公式得，根据正弦定理得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由，则，易知为锐角， 由正弦定理知，而，即，故， 所以，故， 由， 由正弦定理知，可得，故. 故选：B 8. 设，是定义在上的两个周期函数，的周期为8，的周期为4，且是奇函数．当时，，，若在区间上，函数恰有8个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到上图象是以为圆心，2为半径的半圆，利用周期性画出，在区间上的图象，数形结合求参数范围. 【详解】当时，令，即且， 故图象是以为圆心，2为半径的半圆， 又的周期为8，若直线过时，即， 在同一坐标系，在区间上的图象如下，恰有8个交点， 当直线与半圆且相切时，， 所以，可得，结合图知， 当与半圆且相交时，只有一个交点， 此时，上，恰有5个交点， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 若点的坐标为，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入数量积的运算公式求椭圆方程，即可判断A，根据椭圆焦半径的最值，判断B，根据椭圆的定义，结合余弦定理判断C，根据距离距离的转化，判断D. 【详解】A.设，，，， ，得，由可知，， 所以椭圆的方程为， A正确； B.的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为，故B错误； C.因为， 由余弦定理可知，， ，所以，故C正确； D. 设点到点右准线的距离为，，则， 则，当垂直于准线时，此时最小， 最小值是点到的距离2，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数为奇函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，可判断A；令，可得，进而可判断B；由已知可得是偶函数，进而计算可得，进而可得，，进而计算可判断C；利用作差法可得，进而求得在区间上单调递减，可得结论判断D. 【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误； 令，所以，又， 所以，故为奇函数，故B正确； 又因为，所以是偶函数，所以， 所以，所以， 所以是周期为4的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以，故C正确； ， 又， 故，又因为当，单调递减，且， 所以，所以关于点中心对称， 所以在区间上单调递减，所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 11. 已知正四面体的棱长为2，过点的截面将正四面体分成体积相等的两部分，则下列说法正确的是（ ） A. 截面为等腰三角形的个数是6 B. 截面一定是锐角三角形 C. 截面可以是等边三角形 D. 过棱的中点作正四面体外接球的截面，截面圆的面积的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间图形的位置关系作出符合条件的截面三角形判断A，利用余弦定理计算判断的形状判断B，假设是等边三角形，据此计算可得出矛盾判断C；求得截面面积的最小值判断D. 【详解】如图一：在的边上分别取点，使得， 且，此类等腰三角形有3个， 如图二：取的中点为，当点与点重合，此类等腰三角形有3个， 无其它类型的等腰三角形，故A正确； 如图三，设过点的截面交底面于点，且， 因过点的平面将正四面体的体积平分，即平分的面积， 由正四面体的棱长为2，可得， 解得，且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 因为，即， 又，即， 同理可得， 即在中，任意的两边的平方和大于第三边的平方，所以为锐角三角形，故B正确； 若为等边三角形，则是满足，由， 则，即，可得， 此时，，可得，矛盾， 所以截面不是等边三角形，并且另一类等腰三角形显然不可能是等边三角形，故C错误； 将正四体放置于如图四所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的的外接球， 设该外接球的球心为，半径为， 因为正四体的棱长为2，且正四体的棱长是正方体的面对角线， 所以正方体的棱长为， 所以正方体外接球的半径，，解得， 又因为，解得， 又因为为棱的中点，过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大，即垂直截面时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 截面圆的半径为，故截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解. 【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案：5 13. 已知减函数（，且）图象过点，且，分别是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先求解，再根据函数的单调性，确定，再代入求值. 【详解】由方程，解得：或， 解得或， 当，时，，得，此时函数为增函数，故舍去； 当，时，，又，得，此时, 故答案为： 4 14. 函数的图象类似于汉字“囧”，此函数称为“囧函数”，并把图象与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，与“囧函数”的图象有公共点的圆，称为“囧圆”．当，时，“囧圆”的面积的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，根据切点位置的不同，讨论“囧圆”面积的最小值. 【详解】由题意可知，“囧点”为，当“囧圆”与函数图象在轴上方部分相切时， 不妨设在第一象限的切点为， ， 当，，即时，的最小值为， 此时“囧圆”面积为， 当“囧圆”与函数图象在轴下方部分相切时，切点为， 此时半径为4，“囧圆”的面积为， 所以“囧圆”面积的最小值为 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某高校为选拔学生参加年全国大学生数学建模竞赛，在校内举办了选拔赛，选拔赛分为初赛和复赛，初赛通过后才能进入复赛，复赛通过后将代表学校参加全国大学生数学建模竞赛．已知初赛共有“”和“”两个项目供学生选择，每名学生最多可以选择一个项目，经过初赛选拔，共有名学生进入复赛，统计得到如下列联表：（单位：人） 复赛 初赛项目 合计 进入复赛 未进入复赛 合计 （1）求、； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为进入复赛与学生选择的初赛项目有关？ （3）为进一步了解学生对全国大学生数学建模竞赛的认知情况，从进入复赛的名学生中，按初赛项目用分层随机抽样的方法抽取人，并从这人中随机抽取人进行访谈，求抽到的被访谈学生中选择初赛项目“”的人数的分布列及数学期望． 附： 【答案】（1）， （2）没有，理由见解析 （3）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表可得出、的值； （2）零假设学生进入复赛与学生选择的初赛项目无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （3）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由列联表得，. 【小问2详解】 零假设学生进入复赛与学生选择的初赛项目无关， 根据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为学生进入复赛与学生选择的初赛项目无关. 【小问3详解】 根据题意，在抽取的名学生中，有名学生选择“”项目，有名学生选择“”项目， 所以的所有可能取值为、、、，且服从超几何分布， ，， ，， 所以，的分布列如下表所示： 所以. 16. 如图，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点，再过点作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程，得到一系列点：；；；；；，记点的坐标为，其中． （1）记组成一个数列，求的通项公式； （2）令，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在处的切线的切线方程，进而可得，可得，可求的通项公式； （2）利用等比数列的前项和公式可证明. 【小问1详解】 因为，所以，因为在处的切线为， 所以切线的斜率，所以切线的方程为， 又因为点在切线上，所以，即， 所以，所以，因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 . 17 已知函数，，其中，． （1）讨论的单调性； （2）当时，若，是的两个不同的极值点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简，讨论，和三种情况，求解函数的单调性； （2）根据，得根与系数的关系，并表示，结合的取值范围，转化为求函数的值域问题，即可证明. 【小问1详解】 ，，， 令，得或， 当时，，或，， 当时，此时恒成立， 当时，，或，， 综上可知，时，函数的增区间是和，减区间是； 时，函数的增区间是，无减区间； 时，函数的增区间是和，减区间是； 【小问2详解】 当时，，，， ， 得，得， ， ， 函数在时，单调递减， 所以， 即. 18. 如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的外接球的表面积； （3）是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知得、，由线面垂直的判定证明结论； （2）将三棱锥补成正三棱柱，应用正弦定理求的外接圆半径，结合已知求外接球半径，即可得三棱锥外接球的表面积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，设，结合得且，再由向量法求异面直线的夹角余弦值，结合基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题设，，则，故， 由四边形为正方形，则，而都在平面内， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，为等边三角形，将三棱锥补成正三棱柱， 设的中心为点，的中心为，则的中点为外接球球心， 所以的外接圆半径，， 所以外接球的半径， 因此三棱锥的外接球的表面积； 【小问3详解】 由，以为原点，所在直线为轴，建立如下图示的空间直角坐标系， 则，设，连接， 由平面，则平面平面， 则点到的距离等于，而，所以且， 由，，若异面直线所成角为， 则， 所以 ， 当且仅当时取等号，则， 所以异面直线与所成角的余弦值的最大值. 19. 已知抛物线上有两点，，当时，线段的中点的横坐标的最小值为． （1）求的方程； （2）若圆位于与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，求圆的半径的最大值； （3）以的焦点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，，与在第一象限的交点为．若直线，与的另一个交点分别为，，直线与直线相交于点，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为圆心到抛物线上点的距离的最小值等于圆心到直线的距离，然后分与讨论，即可得到结果； （3）根据题意，分别联立直线，直线与抛物线方程即可表示出点，点的坐标，然后过点作，联立直线与直线的方程，表示出点的坐标，再由相似关系可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设的焦点为，由题意可得， 所以，所以，解得， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由对称性可知，圆心必在轴上， 问题等价转化为“圆心到抛物线上点的距离的最小值等于圆心到直线的距离”， 设，，为抛物线上的动点， 则， 由点在抛物线上可得， 当时，， 由题意知，解得（舍）； 当，， 由题意知，化简可得， 所以或（舍）， 所以圆的半径的最大值为. 【小问3详解】 由题意可知，设，则， 所以圆的方程为， 所以， 设直线的方程为，由可得， 所以，又因为，所以， 又因为直线的方程为， 由可得， 所以， 又，所以， 过点作，垂足为，则， 直线的方程为①， 又直线的方程为②， 联立①②，可得点， 所以， 所以，由相似三角形性质可得， 所以， 因为， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故， 即的面积的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线与直线相交问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与抛物线方程，表示出相应点的坐标，然后结合相似关系，将面积转化，从而得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$