精品解析：重庆市育才中学校2026届高三下学期数学适应性训练（二）试题

2026届高三数学适应性训练（二） 本训练共150分，时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，然后求并集即可. 【详解】，， 所以. 故选：B. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，即， 可得，所以. 3. 已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，利用辅助角公式整理，再将整理成与相同结构，比较得到结果. 【详解】已知是的零点，因此， 代入得： ，即 ，解得， 所以 又 所以将向左平移个单位长度得到函数的图象， 4. 声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（ ） A. 150 dB B. 285 dB C. 145 dB D. 235 dB 【答案】D 【解析】 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 5. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 64 B. 128 C. -64 D. -128 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求出参数值，再根据赋值法求出二项式展开式的系数之和，判断结果即可. 【详解】由可知正态曲线对称轴为， 因为， 所以，解得， 可得二项式为， 令，则， 所以展开式中各项系数之和为. 故选：B. 6. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】上下底面的半径分别为，则由题设可得且，求出后结合公式可求圆台的体积. 【详解】如图，设圆台的上下底面的中心为， 上下底面的半径分别为，一条母线为， 因为展开图扇环的面积为，故， 而半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切， 故，且， 故且，故， 故圆台的体积为 故选：B. 7. 在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 8. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（    ） A. B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义与几何性质，结合余弦定理求解即可. 【详解】由题可知， 所以， 设，则， 根据反射规律可知：，所以， 所以， 所以， 整理并化简得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以直线的斜率为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数据的平均数可判断A选项：举例可判断B选项；求出、的中位数可判断C选项；作差可判断D选项. 【详解】对于A选项,设的前项和为， 所以数据的平均数是，故A选项正确： 对于B选项，当时，取为2，4，8， 平均数为，故B选项错误； 对于C选项，的中位数是，的中位数 是，故C选项正确； 对于D选项，当时， 由，且等号当且仅当时成立， 故的前项和比的前项和大，平均值亦然，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知点，分别为双曲线的左、右顶点，点，是右支上不同两点，若且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点为的重心 C. D. 为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等轴双曲线求得渐近线判断A；根据重心的向量形式判断B；设，，根据重心坐标性质得，关于轴对称，进而求得，根据的面积求得判断C，结合选项C求得，根据对称性可得为等边三角形判断D. 【详解】由于双曲线是等轴双曲线，故其渐近线为，故A正确； 由知点为的重心，故B正确； 设，，，， 由点为的重心知，， 故，关于轴对称且，， 故的面积，解得，故C错误； 由C可知，，关于轴对称且，， 所以，所以，所以， 因此为等边三角形，故D正确. 故选：ABD. 11. 对于以下结论正确的选项是（ ） A. 已知，则 B. 的最小值是 C. 有两个零点，则实数的最小值为 D. 若不等式恒成立，则正实数的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，构造函数，求导根据单调性可得；对于B选项，把变形为，令，利用求最小值，当取等；对于C选项，转化为有两个根.对求导判断单调性，得，所以；对于D选项，由推出，令，根据单调性得，即，求最大值为，所以最小值是. 【详解】对于A，因为，构造函数，，当时，，单调递增，又因为，则，故A正确； 对于B，设，则，当且仅当，即时取等，故B不正确； 对于C，已知， 令，函数单调递增，方程有两个根，等价于有两个根. 对求导，. 当且时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值. 要使与有两个交点，那么，故C不正确. 对于D，由，两边同乘得，而. 令，，当，所以，在上单调递增. 因为，当时，不等式显然成立，当时， 所以，即恒成立. 令，求导. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，则. 所以最小值是，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 13. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 14. 定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合两角和差的正弦公式对已知条件进行化简整理，得到，即可求解. （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【小问1详解】 在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 16. 贵州省“美丽乡村”篮球联赛在比赛间隙进行芦笙舞、侗族大歌等非物质文化遗产展演，这项活动将体育运动与当地民族民俗文化相触合，创造出独特的文体公共产品．为了打造更具吸引力的赛事，某平台发起了群众观赛意见反馈调查，共收回了200份调查问卷． 性别 关注赛事 不关注赛事 男 84 36 女 40 40 （1）通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知，关注表演的女性用户有24名，现从关注赛事的群众中抽取一人，设“抽取的一人为男性”为事件A，“抽取的一人关注表演”为事件B，若，则以此次调查的数据为依据，估计从平台用户中任意抽取一名用户，该用户关注表演的概率为多少； （2）是否有的把握认为是否关注赛事与性别有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.22 （2）有的把握认为是否关注赛事与性别有关 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式结合给定的概率公式求解即可. （2）列出列联表，计算得到卡方，进行独立性检验即可. 【小问1详解】 由题意可知，关注赛事的总人数为人， 其中男性84人，女性40人，女性中关注表演的有24人，则不关注表演的女性有16人． 设在关注赛事的84名男性中，关注表演的有m人， 则不关注表演的男性有人，所以不关注表演的共有人， 则， 且， 由，得， 解得，所以关注表演的男性有20人， 即在样本中关注表演的共有4人，在样本中的比例为， 由此估计，从平台的所有用户中任意抽取一名用户，该用户关注表演的概率约为0.22． 【小问2详解】 由题意得列联表如下： 性别 关注赛事 不关注赛事 合计 男 84 36 120 女 40 40 80 合计 124 76 200 则， 故有的把握认为是否关注赛事与性别有关． 17. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，分别为上的动点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）若截面将三棱锥分成上下两个几何体的体积之比为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再应用勾股定理证明即可； （2）先根据得出，再建系得出平面和平面的法向量，应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 取中点，连接， 因为为等腰直角三角形，， 所以，且由可得， 因为为等边三角形，所以，且由可得， 又因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，所以， 所以，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 分别以为轴建立如图所示坐标系， 则，，，， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为截面将三棱锥分成上下两个几何体的体积之比为，所以， 因为三棱锥与三棱锥的高相等，所以，即， 所以分别为棱中点，则，， 所以，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； （3）在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 由（1）得，设，，过的直线为， 与联立消去得， 则， 又，同理， 故. （3）4 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上和焦半径公式联立求出的值，即得抛物线方程； （2）设过的直线为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，由直线的斜率公式求出的表达式，化简计算即可得证； （3）设，，写出抛物线分别在点处的切线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式与点到直线的距离公式求出三角形面积的表达式，结合函数的性质即可求得最小值. 【小问1详解】 由题意得抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，故，解得， 点到焦点的距离为2，则有，即，解得， 因此抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，由，求导得， 则抛物线在点处切线方程为：， 在点处的切线方程为：， 整理得，和， 依题意，将代入上述方程，得，， 因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，，， ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4. 19. 已知函数是定义域为的偶函数，是的导函数，，且. （1）求函数，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若，方程有两个不相等的实数根，，求证：. 【答案】（1），. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得函数为奇函数，然后根据奇函数和偶函数的性质列方程求函数，的解析式. （2）令，由题意可得，根据指数函数性质解不等式即得. （3）利用导数可得的单调性，要证，即证，令，求导进而可得结论；令，则，要证，分析可得需证，构造函数，即可证明. 【小问1详解】 是上的偶函数， ，等式两边同时求导可得：， 为上的奇函数，故为上的奇函数. ① 即② 由①②可得：，. 【小问2详解】 ，， 令，则，即， ，即， ，解得. 【小问3详解】 由已知结合（1）知，， 所以， 所以函数， 该函数的定义域为，， 令，可得，此时，函数在上单调递减， 令，可得，此时，函数在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意知， 不妨设，则， 要证，即证， 即证，即需证， 令，其中， 则， ，则， ， 故函数在上为减函数， 又，对任意的恒成立， 则，即， 故成立. 接下来证明， 令，则， 又，即， ， 要证，即证， 不等式两边取对数，即需证， 即证，也即证， 令，，则， 令，其中， 则，在上单调递减， 且，， 在上单调递减，又因为，所以， 所以，即， ， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练（二） 本训练共150分，时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（ ） A. 150 dB B. 285 dB C. 145 dB D. 235 dB 5. 已知随机变量且，则展开式中各项系数之和为（ ） A. 64 B. 128 C. -64 D. -128 6. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 7. 在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（    ） A. B. -2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（ ） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 10. 已知点，分别为双曲线的左、右顶点，点，是右支上不同两点，若且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 点为的重心 C. D. 为等边三角形 11. 对于以下结论正确的选项是（ ） A. 已知，则 B. 的最小值是 C. 有两个零点，则实数的最小值为 D. 若不等式恒成立，则正实数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 13. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 14. 定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 16. 贵州省“美丽乡村”篮球联赛在比赛间隙进行芦笙舞、侗族大歌等非物质文化遗产展演，这项活动将体育运动与当地民族民俗文化相触合，创造出独特的文体公共产品．为了打造更具吸引力的赛事，某平台发起了群众观赛意见反馈调查，共收回了200份调查问卷． 性别 关注赛事 不关注赛事 男 84 36 女 40 40 （1）通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知，关注表演的女性用户有24名，现从关注赛事的群众中抽取一人，设“抽取的一人为男性”为事件A，“抽取的一人关注表演”为事件B，若，则以此次调查的数据为依据，估计从平台用户中任意抽取一名用户，该用户关注表演的概率为多少； （2）是否有的把握认为是否关注赛事与性别有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，分别为上的动点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）若截面将三棱锥分成上下两个几何体的体积之比为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知抛物线上一点到焦点的距离为2. （1）求抛物线的方程； （2）过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； （3）在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 19. 已知函数是定义域为的偶函数，是的导函数，，且. （1）求函数，的解析式； （2）求关于的不等式的解集； （3）若，方程有两个不相等的实数根，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $