精品解析：黑龙江哈尔滨风华中学2025-2026学年度下学期期中八年级数学学科测试试卷

风华中学2025-2026学年度下学期期中八年级数学 学科测试试卷 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，3 B. 3，5，6 C. 6，8，10 D. 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一棵垂直于地面的树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部的地面上，则这棵树折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 不确定，随着四边形的形状改变 10. 一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 13. 函数y＝2x﹣4的图象与两条坐标轴所围成的三角形的面积是___． 14. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 15. 如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 16. 如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 17. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 18. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 19. 平行四边形中，，，边上的高是3，则平行四边形的周长为________． 20. 如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_______． ①； ②； ③； ④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为． 三、解答题（其中21题、23题各7分，22题、24题各8分，25～27各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 23. 如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西方向，且与货轮M相距．同时，在货轮M南偏东方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A与客轮B的距离． 24. 已知：如图1，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果AE=EF=FC,请直接写出图中2所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形. 25. 某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品7件和B种商品6件共需430元． （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共50件，A种商品每件的售价为50元，B种商品每件的售价为30元，且该商店将购进的50件商品全部售出后，获得的利润超过395元，求该商店至少购进A种商品多少件？ 26. 已知：正方形中，为边上一点，为边上一点，连接，． （1）如图1，直接写出的度数为__________； （2）如图2，连接，与交于，交于，探究线段、、的数量关系并写出证明过程； （3）如图3，在（2）的条件下，，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风华中学2025-2026学年度下学期期中八年级数学 学科测试试卷 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，3 B. 3，5，6 C. 6，8，10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算两条较短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A选项，最长边为，，，， 不能构成直角三角形； B选项，最长边为，，，， 不能构成直角三角形； C选项，最长边为，，，， 符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形； D选项，最长边为，，，， 不能构成直角三角形． 综上，答案选C． 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如，其中为常数且），对各选项逐一判断. 【详解】解：∵正比例函数的定义为形如（是常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A选项含有常数项，不符合正比例函数定义； B选项含有常数项，不符合正比例函数定义； C选项中自变量的次数为，不符合正比例函数定义； D选项可表示为，其中，符合正比例函数定义； 故答案选：D． 3. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应． 结合图象，利用“垂直于x轴的直线与图象最多有一个交点”这一性质进行判断即可．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴在图象上，作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只能有一个交点． A. 图象是一条直线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B. 图象是折线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； C. 观察图象可知，存在垂直于x轴的直线与图象有3个交点，即对于同一个x值，有3个y值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意； D. 图象是抛物线，对于每一个x值，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意. 故选：C． 4. 如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 与被开方数不相同，不能进行相加，故原选项计算错误，不合题意； B. ，不能与进行加减运算，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D 6. 已知一次函数的图象经过点，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入函数解析式得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，，即，解得：． 故选A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵点A在直线上，若点A的纵坐标是3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 8. 如图，一棵垂直于地面的树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部的地面上，则这棵树折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】垂直于地面的树断裂后与地面形成一个直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ，，， ∴， ， ∴这棵树折断前的高度为． 9. 如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（ ） A. B. C. 6 D. 不确定，随着四边形的形状改变 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理将已知的对角线和的长度及垂直关系转化到中，从而求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 10. 一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】依据函数的图象获取信息，根据行程问题中的“路程=速度×时间”进行计算． 【详解】解：小船沿直线从码头向码头匀速前进，路程，时间，速度；抵达后停留；小船从码头返回码头，路程，时间，速度． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 如图，在数轴上点A表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 13. 函数y＝2x﹣4的图象与两条坐标轴所围成的三角形的面积是___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，求得函数y＝2x﹣4的图象与两条坐标轴交点分别是（0,﹣4）和（2,0），所围成的三角形是直角三角形，然后求出面积． 【详解】∵当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝2 ∴y＝2x﹣4的图象与两条坐标轴交点分别是（0,﹣4）和（2,0） ∴所围成的直角三角形的面积为：×4×2＝4． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、求图形面积等知识，要从数与形两个方面来理解图象与坐标轴的交点问题． 14. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为， ∴关于的方程的解是． 故答案为： 15. 如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理以及三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．根据直角三角形斜边中线定理求出，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：在中，D是的中点，， 则， E，F是，的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，此时的值最小，最小值为的长．证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：设与交于点，作点关于的对称点，连接，， ∴，则的最小值为的长， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上，且， 点是的中点， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为3． 17. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为_______． 【答案】 5 【解析】 【分析】先证明是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由矩形的性质即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ∴， ， ， ， ， ． 18. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 19. 平行四边形中，，，边上的高是3，则平行四边形的周长为________． 【答案】20或16 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，由题意得：，先利用勾股定理求出、，再分类讨论：当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，，综合两种情况即可求出平行四边形的周长． 【详解】解：过点作，垂足为点，由题意得：， 当点在线段上时，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为， 当点在线段延长线上时，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为， 综上：平行四边形的周长为20或16． 20. 如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_______． ①； ②； ③； ④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①由翻折的性质，，在中利用勾股定理列方程，即可求解； ②由，是等腰三角形与三角形外角和定理，即可证得结论； ③根据两直线平行，内错角相等可知，，，即可证得结论； ④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称，与关于轴对称，连接，，由三角形两边之和大于第三边，得到的最小值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①由翻折的性质，， 因为四边形是矩形， 所以，，， 因为为中点，所以， 设，， 在中，，， 解得，结论错误； ②为中点，作交于，连接， 因为四边形是矩形， 所以，，， 所以， ， 所以四边形，是矩形， 在与中， ， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以，结论正确； ③因为， 所以，， 所以，结论正确； ④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称， 与关于轴对称，连接，， 所以， 所以， 所以当三点共线时，的最小值为， 此时在中，，结论错误． 三、解答题（其中21题、23题各7分，22题、24题各8分，25～27各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分母进行因式分解，通分计算括号内的加法，然后化除法为乘法，再约分化简，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，线段的端点均在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中以为边画一个面积为8的； （2）在图②中以为边画一个面积为4的菱形； （3）在图③中以为边画一个面积最大的矩形． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； （3）图见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作一个底为4，高为2的平行四边形即可； （2）作一个对角线分别为的菱形即可； （3）作一个邻边分别为的矩形即可． 【小问1详解】 解：如图①中，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，菱形即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，矩形即为所求． 23. 如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏西方向，且与货轮M相距．同时，在货轮M南偏东方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A与客轮B的距离． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由题意，得，，． 在中，， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 24. 已知：如图1，四边形ABCD是平行四边形，E,F是对角线AC上的两点，AE=CF. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）如果AE=EF=FC,请直接写出图中2所有面积等于四边形DEBF的面积的三角形. 【答案】（1）见解析；（2）△ADF，△CDE，△CBE，△ABF. 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得出OA=OC,OB=OD，因为AE=CF可推出OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论； （2）AE=EF=FC可知 ，故而可推面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF. 【详解】（1）证明： 连接BD交AC于点O， ∵平行四边形ABCD ∴OA=OC,OB=OD ∵AE=CF ∴OE=OF ∴四边形DEBF为平行四边形； （2）由AE=EF=FC可知 故面积等于四边形DEBF的面积的三角形有：△ADF，△CDE，△CBE，△ABF； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键. 25. 某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品7件和B种商品6件共需430元． （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店购进A、B两种商品共50件，A种商品每件的售价为50元，B种商品每件的售价为30元，且该商店将购进的50件商品全部售出后，获得的利润超过395元，求该商店至少购进A种商品多少件？ 【答案】（1）40元，25元；（2）30件． 【解析】 【分析】（1）设A商品进价为x元，B商品进价为y元，根据题意，列方程组求解即可； （2）设商店至少购进A种商品a件,根据题意，得B商品（50-x）件，根据利润列不等式求解即可． 【详解】（1）设A商品进价为x元，B商品进价为y元，根据题意，得 ， 解得， ∴A商品进价为40元，B商品进价为25元，； （2）设商店购进A种商品a件,根据题意，得B商品（50-a）件，根据题意，得 （50-40）a+(30-25)(50-a)＞395， 解得a＞29， ∵a是正整数， ∴a至少是30， ∴商店至少购进A种商品30件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，正确列方程组和不等式是解题的关键． 26. 已知：正方形中，为边上一点，为边上一点，连接，． （1）如图1，直接写出的度数为__________； （2）如图2，连接，与交于，交于，探究线段、、的数量关系并写出证明过程； （3）如图3，在（2）的条件下，，，求的长． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，即可求解； （2）将沿着翻折至，连接，先证明，然后求出，再由勾股定理求解即可； （3）以点为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，然后求出直线的函数表达式，再求出坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：；证明如下： 将沿着翻折至，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：以点为坐标原点，射线方向为轴正方向，射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图， ∵，，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， 过点作于点，过点作于点， 则，， ∴，， 设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线， 当时，， 解得， ∴， 同理可求直线， ∴当时，， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． （1）如图，求直线的解析式； （2）如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）与的函数关系式； （3）的值为． 【解析】 【分析】（）过作轴于点，由菱形的性质可得，，证明，所以，，可得，然后通过勾股定理求得，则点，然后通过待定系数法即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以，然后通过即可求解； （）过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，，，所以，，通过，，得，所以，设，，则，，，可得，所以，设，则，，求得，利用待定系数法求出直线解析式为，从而得，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作轴于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴， ∴ ， ∴与的函数关系式； 【小问3详解】 解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $