期末专题：三角形（综合训练） -2025-2026学年四年级下册数学人教版

**基本信息** 以三角形核心概念为统领，通过基础辨析、性质应用到综合解决问题的层级设计，系统覆盖三边关系、内角和、分类及稳定性等知识点，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|5题|考查三边关系、稳定性、角分类等基础概念辨析|从三角形定义出发，构建“概念认知-性质理解”逻辑链| |填空|11题|聚焦边长计算、角度推导、等腰三角形分类等性质应用|以内角和与三边关系为核心，延伸至按边/角分类的交叉应用| |计算与作图|2题|角度综合计算、指定底边上的高作图|技能操作与性质推理结合，强化几何直观与空间观念| |解答|6题|含等腰三角形边长/角度分类讨论、实际问题解决|从单一性质应用到多知识点综合，提升问题解决与推理能力|

期末专题：三角形 一、选择题 1．下面各组线段中，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm，4cm，7cm B．5cm，5cm，10cm C．6cm，8cm，11cm D．2cm，3cm，6cm 2．下面的设计方案中，（    ）没有运用三角形的稳定性。 A． B． C． D． 3．亮亮说：“三角形的3个内角最多有两个角是锐角。”下面（    ）图形可以说明亮亮的说法是错误的。 A． B．C． D． 4．一个等腰三角形的一个底角是45度，这个三角形按角分类，属于（    ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都不确定 5．一个等腰三角形的一个角是50度，另两个角是（    ）度。 A．130 B．80 C．65 D．都是65或80和50 二、填空题 6．已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长( )厘米。 7．在如图的三角形中，为( )度。 8．一个等腰三角形的两边长为5cm和6cm，它的周长是( )。 9．一个三角形的边长均为整厘米数，其中两条边分别是6cm和4cm，第三条边的长度最长是( )cm，最短是( )cm。 10．在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝( )°，它是一个( )三角形。 11．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 12．乐乐买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，顶角是( )°。按角分，这个风铃是一个( )三角形。 13．在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝( )°。按角分，这是一个( )三角形。 14．如图，一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )度，原来这块纸片的形状是( )三角形，也是( )三角形。 15．∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3＝( )°，这是一个( )三角形。 16．如图，一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是( )°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是( )三角形。 三、计算题 17．求各图中∠1和∠2的度数。 四、作图题 18．画出下面三角形指定底边上的高。 五、解答题 19．小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 20．在风筝节期间，田田制作了一个等腰三角形的风筝框架，已知其中一个角是40°，它的另外两个角分别是多少度？ 21．李爷爷家有一块三角形菜地，菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，这块三角形菜地的其它两个角分别是多少度？这是一块什么三角形菜地？ 22．一个等腰三角形形状的风筝，两条边长分别是54厘米和27厘米，这个风筝的周长是多少厘米？ 23．一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 24．王伯伯家有一块三角形菜地，三角形菜地的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍。这块三角形菜地的形状按边分是什么三角形？ 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此逐项计算即可解答。 【详解】A．3＋4＝7（cm），7cm＝7cm，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形，不符合题意； B．5＋5＝10（cm），10cm＝10cm，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形，不符合题意； C．11－8＝3（cm），11＋8＝19（cm），3cm＜6cm＜19cm，符合三角形的三边关系，能围成三角形，符合题意； D．2＋3＝5（cm），5cm＜6cm，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形，不符合题意。 2．B 【分析】三角形三条边确定后，形状和大小就固定不变了，具有稳固、耐压的特点。四边形及以上的多边形，没有额外结构支撑时，容易变形，不具备稳定性。结合选项图片逐一进行分析。 【详解】A．六边形内部加了斜杆，把图形分割成了多个三角形，利用了三角形的稳定性。 B．图中没有形成三角形，不具备三角形稳定性的特征。 C．正方形里画了一条对角线，把正方形分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性。 D．是由大量三角形组成的网状结构，典型地运用了三角形的稳定性。 没有运用三角形的稳定性。 3．C 【分析】三角形按角分类有锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个直角和两个锐角）、钝角三角形（有一个钝角和两个锐角），通过观察每项图形中三角形角的类型来判断亮亮说法的对错。 【详解】A．三角形有一个角是90°，是直角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误； B．三角形有一个角大于90°，是钝角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误； C．三个角都小于90°，是锐角三角形，有三个锐角。这就表明三角形的三个内角可以有三个锐角，而亮亮说最多有两个锐角，所以亮亮的说法错误； D．三角形有一个角大于90°，是钝角三角形，有两个锐角，符合亮亮所说的最多有两个锐角的情况，不能说明亮亮的说法错误。 4．C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和为180°，求出顶角的大小，再进行分类。 【详解】45°＋45°＝90° 180°－90°＝90° 这个三角形的顶角是直角，属于直角三角形。 5．D 【分析】一个等腰三角形的一个角是50度，这个角可以作顶角也可以作底角，依据三角形的内角和是180度，等腰三角形两个底角相等，分别进行计算即可解答。 【详解】180－50－50 ＝130－50 ＝80（度） （180－50）÷2 ＝130÷2 ＝65（度） 所以另两个角是80度、50度或65度、65度。 6．10 【分析】根据等腰三角形的性质确定第三边的两种可能长度，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，从而确定三角形第三条边的长度。 【详解】第三条边的长度可能为5厘米或者10厘米。 第一种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、5厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中不满足三角形的三边关系，因此不能构成三角形； 第二种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、10厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中或都满足三角形的三边关系，因此能构成三角形； 所以它的第三条边长为10厘米。 7．100 【分析】三角形的内角和是180度。用180度分别减去三角形已知的两个角度。 【详解】180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 8．16cm或17cm 【分析】等腰三角形的两条腰长是相等的，三角形中两边之和大于第三边，据此确定等腰三角形的边长，相加算出周长即可。 【详解】如果腰长是6cm，6＋6＞5，符合要求；腰长是5cm，5＋5＞6，符合要求； 当腰长为5cm时，周长为： 5＋5＋6 ＝10＋6 ＝16（cm） 当腰长为6cm时，周长为： 6＋6＋5 ＝12＋5 ＝17（cm） 所以等腰三角形的周长是16cm或17cm。 9． 9 3 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，解答此题即可。 【详解】6－4＝2（cm） 6＋4＝10（cm） 2cm＜第三边＜10cm 又因为三角形的三条边长均为整厘米数， 所以第三条边的长度最长为9cm，最短为3cm。 10． 97 钝角 【分析】需要用到三角形内角和的知识，即三角形三个内角的度数之和是180度。已知∠1和∠2的度数，用180度减去∠1与∠2的度数和，即可得到∠3的度数，；大于90度小于180度的角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。因为∠3的度数是97度，97度大于90度，所以可以判断这个三角形是钝角三角形。 【详解】∠3：，； 所以，在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝97°，它是一个钝角三角形。 11． 4 3 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。直角三角形中，两条直角边都小于斜边。直角三角形中，两条直角边互为底和高。 【详解】根据分析： 因为3＜4＜5，所以这个三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，那么3厘米和4厘米的直角边互为底和高。 一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是4厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是3厘米。 12． 100 钝角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。先利用“内角和 - 两个底角的度数和”求出顶角；再根据顶角的大小判断三角形类型（顶角大于90°则为钝角三角形）。 【详解】求顶角的度数： 判断三角形类型： 顶角为100°（大于90°），因此这个三角形是钝角三角形。 乐乐买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，顶角是100°。按角分，这个风铃是一个钝角三角形。 13． 69 锐角 【分析】三角形内角和为180°，用内角和减去已知的∠A和∠C的度数，可求出∠B；再根据三个角的大小判断三角形类型（三个角均为锐角则是锐角三角形）。 【详解】求∠B的度数： 判断三角形类型： ∠A＝48°、∠B＝69°、∠C＝63°，三个角均小于90°，因此这是一个锐角三角形。 在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝69°。按角分，这是一个锐角三角形。 14． 67 等腰 锐角 【分析】根根据题意，三角形的内角和是180°，用180°减去67°减去46°就是撕去的那个角的度数； 三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形； 三角形按边分类：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，等腰三角形的两个底角也是相等的。三条边都相等的三角形叫等边三角形，据此判断。 【详解】180°－67°－46° ＝113°－46° ＝67° 一块三角形纸片被撕去了一个角，这个角是67度。 因为67°、67°、46°都是锐角，67°＝67°，所以原来这块纸片的形状是等腰三角形，也是锐角三角形。 15． 100 钝角 【分析】三角形的内角和为180°，∠3＝180°－∠1－∠2。根据∠3是100°可知∠3是钝角。根据“有一个钝角的三角形叫做钝角三角形”，可知这是一个钝角三角形。据此解答。 【详解】180°－25°－55° ＝155°－55° ＝100° 因为100°＞90°，∠3是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。 所以，∠1，∠2，∠3是一个三角形的三个内角，已知∠1＝25°，∠2＝55°，∠3＝100°，这是一个钝角三角形。 16． 40 直角 【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的特点是两个底角相等，用180°减100°，即可求出两个底角的和是80°，再除以2即可求出底角的度数是40°。若把这个等腰三角形对折，将顶角100°平分成两个50°的角，再根据三角形内角和，用180°减40°再减50°，即可求出三角形的第三个角，再看这个三角形中最大的角属于什么角，这个三角形就属于什么三角形，因为被分成的两个三角形完全一样，所以其中一个属于什么三角形，另一个也属于什么三角形。 【详解】（180°－100°）÷2 ＝80°÷2 ＝40° 100°÷2＝50° 180°－40°－50° ＝140°－50° ＝90° 一个等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角是40°。若把这个等腰三角形对折，剪成两个完全一样的小三角形，那么按角分类，每个小三角形都是直角三角形。 17．见详解 【分析】（1）三角形的内角和为180°，已知两个内角分别为40°和60°，用内角和减去这两个已知角，即可求出∠1的度数。 （2）根据平角的性质（和为180°），先求出三角形的第三个内角，再用三角形内角和减去两个已知内角，即可求出∠2的度数。 （3）先利用左侧三角形的内角和，减去已知的64°和66°，求出∠1；再根据平角的性质，求出右侧三角形的一个内角，最后用三角形内角和减去已知的两个内角（25°和求出的内角），得到∠2的度数。 【详解】（1）∠1​＝180°－40°－60° ＝140°－60° ＝80°​ （2）180°－120°＝60° ∠2​＝180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60°​ （3）∠1​＝180°－64°－66° ＝116°－66° ＝50°​ 180°－66°＝114° ∠2​＝180°－114°－25° ＝66°－25° ＝41°​ 18．见详解 【分析】要作三角形指定底边上的高，则从这条底边相对的三角形顶点向它或者它的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段就是这条边上的高，据此作图。 【详解】作图如下： 19． 19dm；5dm 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条的长度分别为12分米和8分米，先计算两边之和与两边之差，从而确定第三根木条长度的取值范围，再根据木条长为整分米数，得出最长和最短的长度。 【详解】（dm） （dm） 第三根木条的长度应大于4dm且小于20dm，因为木条长为整分米数，所以最长是19dm，最短是5dm。 答：第三根木条的长度最长是19分米，最短是5分米。 20．70°、70°或40°、100° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和是180°。题目中只给出一个角是40°，有两种情况，第一种情况是40°为顶角，求两个底角；第二种情况是40°为底角，求另一个底角和顶角。 【详解】当40°角是顶角时： （180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 此时另外两个角分别是70°、70°。 当40°角是底角时： 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 此时另外两个角分别是40°、100°。 21．26度、24度 钝角三角形 【分析】菜地的最大角是130度，是另一个角的5倍，用130度除以5可以计算出另一个角的度数。再根据三角形的内角和是180度，利用减法求出第三个角的度数。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此判断。 【详解】（度），（度） 180度130度90度，130度的角是钝角，所以这块菜地是钝角三角形。 答：这块三角形菜地的其它两个角分别是26度、24度。这是一块钝角三角形菜地。 22． 135厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，第三条边的长度可能是54厘米或27厘米。需要依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能组成三角形的情况，再计算三角形的周长。 【详解】分两种情况讨论： 第一种情况：当腰长是27厘米，底边长是54厘米时。 因为27＋27＝54，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 第二种情况：当腰长是54厘米，底边长是27厘米时。 因为54＋27＞54，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 周长计算如下： 54＋54＋27 ＝108＋27 ＝135（厘米） 答：这个风筝的周长是135厘米。 23．底是6cm，腰是9cm 【分析】先计算铁丝的总长度，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，根据三角形三边关系判断哪种情况成立，从而确定底和腰的长度；据此解答。 【详解】（cm） 如果腰是6cm，那么底是 （cm） 因为，所以围不成三角形，则这个等腰三角形的底是6cm。 腰长： （cm） 答：这个等腰三角形的底是6厘米，腰长是9厘米。 24． 等腰三角形 【分析】三角形按边分，可以分为一般三角形、等腰三角形和等边三角形：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，等腰三角形两个底角的大小相等；三条边相等的三角形，是等边三角形，等边三角形三个角大小都是60°。 根据题意，已知三角形的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍，用120°除以4即可求出另一个内角的度数；再根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角，即可求出第三个内角的度数；根据角的大小关系，再判断这个三角形按边分，是什么三角形，据此解答。 【详解】另一个内角： 第三个内角： 30°＝30°，两个角大小相等 答：这个三角形菜地的形状按边分是等腰三角形。 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $