湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高一下学期第十二周周考数学试卷

**基本信息** 本卷为高中数学周测试卷，涵盖三角函数、立体几何、向量、复数等核心知识，通过基础巩固与能力提升题梯度设计，考查运算能力、空间观念及数学应用意识，适配周测学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|复数共轭、立体几何外接球、三角函数求值|第4题以三棱锥外接球为载体，考查空间想象与转化能力| |多选题|3|向量运算、四面体性质|第11题结合体积与外接球，体现逻辑推理与空间观念| |填空题|3|向量坐标运算、解三角形|第14题向量分解问题，考查数学思维的严谨性| |解答题|5|解三角形综合、向量共线|第19题三问分层设计，从求角到面积再到最值，逐步提升推理与运算能力|

湖南省平江县颐华学校第十二周周考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．若,,则的值为(      ) A. B.2 C. D. 2．在中,,则边的长为( ) A. B. C. D.1 3．复数的共轭复数是( ) A. B. C. D. 4．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为(      ) A. B. C. D. 5．已知，，，则(      ) A. B. C. D. 6．已知,则(      ) A. B. C. D. 7．如图,在平面四边形中,,,,,,,若点F为边AD上的动点,则的最小值为(      ) A.1 B. C. D.2 8．如图所示,为测量一棵树的高度,在地面上选取A,B两点（A,B,H三点共线）,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为,,且A,B两点之间的距离为,则树的高度为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知i为虚数单位,复数,,则(      ) A.的共轭复数为 B. C.为实数 D.的虚部为 10．对于任意两个非零向量和,下列命题中正确的是(      ) A. B. C. D.向量与向量垂直 11．已知四面体中,,则下列说法正确的是( ) A.四面体的体积为 B.四面体的外接球的表面积为 C.若平面平面,且平面与四面体的内切球相切,则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D.若P为平面内一动点,且直线与平面所成角的正切值为,则P点轨迹的长度为 三、填空题 12．已知点,且,则点P的坐标为___________________. 13．在中,,点D满足,,,则的内切圆半径为________. 14．如图,在同一个平面内,向量的模分别为,与的夹角为,且与的夹角为,若,则____________. 四、解答题 15．平面内给定两个向量,. (1)求的坐标； (2)若,且A、B、C三点共线,求m的值. 16．已知,. (1)若的夹角为,求; (2)若,求与的夹角的余弦值. 17．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,满足. （1）求A, （2）若的周长为20,面积为,求a. 18．已知,,且与夹角为,求: （1）; （2）与的夹角的余弦值. 19．在中,内角的对边分别为,且,. (1)求B的大小； (2)若,求的面积； (3)求的最大值. 参考答案 1．答案：C 解析：因为, 所以. 2．答案：B 解析：因,则, 由正弦定理,,则. 故选:B. 3．答案：B 解析：, 复数的共轭复数为. 4．答案：D 解析：如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 5．答案：C 解析：，，则. 6．答案：C 解析：由,得, 即,所以. 所以 . 7．答案：B 解析：以B为原点,以所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 依题意得,又, 在中,由余弦定理得, 所以,所以,故, 在中,由余弦定理得, 所以,所以, 因为,,故, 因为,,所以, 所以在中,, 所以为等边三角形, 所以,所以, 设,由题意令,即, 解得,所以, 所以, 设,可得其对称轴为,且开口向上, 所以时,取得最小值,即的最小值为. 故选：B. 8．答案：C 解析：设树的高度为h,由已知,得, 在中,. 化简得,解得. 所以树的高度为m. 故选:C. 9．答案：BD 解析：因为的共轭复数为,所以A错误； 因为,,所以B正确； 因为,所以C错误； 因为, 所以虚部为,所以D正确. 10．答案：AD 解析：对于A,,A正确; 对于B, ,B错误; 对于C,,C错误; 对于D,, 所以向量与向量垂直,D正确. 11．答案：BD 解析：将四面体补成长方体,可知底面为正方形, 因为,,则,. 对于选项A:四面体的体积为,故A错误; 对于选项B:可知四面体的外接球即为长方体的外接球, 则外接球半径, 所以四面体的外接球的表面积为,故B正确; 对于选项C:设四面体的内切球半径为r, 因为的面积,则, 设点A到平面的距离为d, 则,可得,即, 若平面平面,且平面与四面体的内切球相切, 则平面与棱的交点为各棱中点, 所以平面将该四面体分成体积比为的两部分,故C错误; 对于选项D:设点B在平面内的投影为O, 因为点B到平面的距离等于点A到平面的距离,则, 又因为直线与平面所成角的正切值为,则, 所以点P的轨迹是以点O为圆心,半径为的圆,其长度为,故D正确. 12．答案： 解析：设点,那么, 由可得,,故 13．答案： 解析：显然,记,则, 所以,可知, 由等腰三角形性质得,即,且为锐角,得, 由余弦定理得, 则, 故的内切圆半径. 14．答案：3 解析：以为x轴,建立直角坐标系,则,由的模为与与的夹角为, 且知, ,可得, ,由可得 ,, 故答案为3. 15．答案：(1), (2) 解析：(1)因为,, 所以, . (2)由题意可得,, , 又A、B、C三点共线,则可得, 即,解得. 16．答案：(1) (2) 解析：(1)因为, 所以, 所以 (2)若,则,即,所以, 即,所以. 17．答案：（1）; （2）7 解析：（1）在中,由及正弦定理,得, 而,即,则,即, 又,所以. （2）由的面积为,得,解得, 由的周长为20,得,即, 由余弦定理得,即, 于是,解得, 所以. 18．答案：（1） （2） 解析：（1）,,且与夹角为,, ; （2）, , . 19．答案：(1) (2) (3) 解析：(1)由正弦定理得：,又, , 即,又,,, 又,. (2)由余弦定理得：,解得：, . (3)由余弦定理得：, （当且仅当时取等号）,, 又,； , 令,,则在上单调递增, ,即,的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $