湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学模拟试卷

颐华学校2026年高一下学期期中考试数学模拟试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知,,,,则a,b,c,d的大小关系为(      ) A. B. C. D. 2．已知函数,则的一条对称轴方程可以为(      ) A. B. C. D. 3．如图,函数的图象与轴交于点,与直线的两个交点为,若,则(      ) A. B. C. D.-1 4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为,其中表示每一轮优化时使用的学习率,表示初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率衰减为,则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为(      )（参考数据：） A.72 B.74 C.76 D.78 5．已知,则的值为(      ) A. B. C. D. 6．已知函数,则的单调递减区间为(      ) A. B. C. D. 7．已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(      ) A. B. C.2 D. 8．将一个半径为2的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2,则它的高为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱P距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱P距离地面的高度为92.5米，则(      ) A. B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟 C. D.该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米 10．如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，BC，的中点，则下列结论正确的是(   ) A.平面ABC B.平面 C.平面 D.平面 11．下列说法正确的是(      ) A.若,则与的长度相等且方向相同或相反 B.向量的长度与向量的长度相等 C.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 D.若与同向,且,则 三、填空题 12．如图,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点,从A点出发绕侧面一周,再回到A点的最短的路线长是__________. 13．将一个苹果切3刀,最多可以切成x块,最少可切成y块,则的值为_______. 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形的边长为4,圆O的圆心为该正六边形的中心,圆O的半径为2,为圆O的直径,点P在正六边形的边上运动,则的取值范围为______. 四、解答题 15．一个长、宽、高分别是，，的水槽中装有的水，现放入一个直径为的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 16．设复数，满足. （1）若，满足，求，. （2）若，则是否存在常数k，使得等式恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由. 17．已知函数. (1)求的最小正周期及在区间内的单调递增区间； (2)当时,求的最大值及最小值,并求出相应的x的取值. 18．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)求的值； (2)在边BC上取一点D,使得,求的值. 19．如图，在一条东西方向的海岸线上的点C处有一个原子能研究所，海岸线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电站.该岛的一个端点A位于点C的正北方向处，另一个端点B位于点A北偏东方向，且与点A相距，研究所拟在点C正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站. （1）若，求此时在P处观察全岛所张视角的正切值. （2）若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址在何处？ 参考答案 1．答案：A 解析：注意到,则,从而; ,因,,则, 注意到, 又,从而; ,因, ,则, 从而; 综上可得:. 故选:A 2．答案：C 解析：令,则, 对于A,当时,即,解得,故错误; 对于B,当时,即,解得,故错误; 对于C,当时,即,解得,故正确; 对于D,当时,即,解得,故错误; 3．答案：C 解析：由,可知,在处函数单调递减,则, 因为时相邻两解差的绝对值的最小值为, 所以,解得,则, 所以. 4．答案：B 解析：由于,所以, 依题意,则, 则, 由, 所以,即, 所以所需的训练迭代轮数至少为74次. 故选：B. 5．答案：B 解析：,, 则. 6．答案：C 解析：令,因为函数是单调递减的, 所以要求的单调递减区间,即求u的单调递增区间. 要使函数有意义,则,即, 解得,所以的定义域为. 而,u的单调递增区间为, 结合定义域,可得u在上单调递增. 即的单调递减区间为. 故选：C. 7．答案：A 解析：因为为单位向量，则不妨设，设向量，，则由非零向量与的夹角为得点A在射线上，由得，即，所以点B在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为圆上的点到射线的距离的最小值，因为圆心到射线的距离为，所以的最小值为，故选A. 8．答案：C 解析：球的体积为,设铁锭的高为h, 则正四棱台的体积为, 由,可得,解得. 9．答案：BCD 解析：依题知，则， 因为，所以，A错误； 由，则周期为， 则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确； ，由， 可得，故座舱P距离地面的最大高度为，CD正确. 故选：BCD 10．答案：BCD 解析： 11．答案：BC 解析：A:向量的模相等只能说明长度相等,但方向可以任意,不一定相同或相反,错; B:向量和的长度都等于线段AB的长度,因此相等,对; C:两个相等的向量具有相同的长度和方向,若起点相同,则终点必然重合,对; D:由向量的性质知,向量不能比较大小,错. 12．答案： 解析：如图所示,在圆锥的侧面展开图中,的长就是所求最短距离.过点S作,则. 因为为圆锥底面圆的周长,即, 由弧长公式得,. 所以, 故答案为:. 13．答案：12 解析：当三个平面无交线,即三个平面平行时,可以把空间分为4个部分; 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时,可以把空间分为6个部分; 当三个平面两两相交且3条交线平行时,可以把空间分为7个部分; 当三个平面两两相交且3条交线共点时,可以把空间分为8个部分, 所以三个平面可以把空间分成4,6,7,8部分. 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题,相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题, 故,,所以. 故答案为:12 14．答案： 解析：由题可知,, 故 ; 由图可知,当点P位于正六边形的某个顶点时,取最大值4, 当点P为正六边形各边的中点时,取得最小值,即, 所以,,从而. 15．答案：不会 解析：球的体积， 水中球的体积， 长方体的体积， . 故水不会从水槽中溢出. 16．答案：（1），或， （2）存在常数 解析：（1）由，得， 代入已知方程得，即. 令，， 即， 解得或 ，或，. （2）由已知条件，得，又， ， ，则， ， 整理得， ， ，即， 存在常数，使得等式恒成立. 17．答案：(1)最小正周期为； (2)时,最大值为；时,最小值为. 解析：(1)由函数,可得函数的最小正周期为, 由,可得, 令,可得；令,可得, 所以函数的单调递增区间为. (2)由,可得, 当时,即时,函数取得最小值,最小值为； 当时,即时,函数取得最大值,最大值为, 所以函数在上的最大值为,最小值为. 18．答案：(1) (2). 解析：(1)[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得,所以. 由正弦定理得. [方法二]【最优解】：几何法 过点A作,垂足为E.在中,由,可得,又,所以. 在中,,因此. (2)[方法一]：两角和的正弦公式法 由于,,所以. 由于,所以,所以. 所以 . 由于,所以. 所以. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法 在(1)的方法二的图中,由, 可得, 从而. 又由(1)可得, 所以. [方法三]：几何法+正弦定理法 在(1)的方法二中可得. 在中,, 所以. 在中,由正弦定理可得, 由此可得. [方法四]：构造直角三角形法 如图,作,垂足为E,作,垂足为点G. 在(1)的方法二中可得. 由,可得. 在中,. 由(1)知,所以在中,,从而. 在中,. 所以. 19．答案：（1） （2）点P应选址在点C正东方向处 解析：（1）设. 如图.由题意，知，，，， 所以，则， 所以，. 在中，， 由正弦定理得， 即， 化简得，解得. 所以此时在P处观察全岛所张视角的正切值为. （2）如图，过点B作于点D，设. 由（1）得，当时，点P在点D的右侧，， 则； 当时，点P在点D的左侧，， 则 又，则当且时， 有 . 当时，点P与点D重合，，满足上式， 所以. 令，则， 所以. 因为，当且仅当，即，时取等号， 所以. 因为为锐角，所以当时取最大值. 所以点P应选址在点C正东方向处. 学科网（北京）股份有限公司 $