第十章 三角形（复习讲义）数学新教材冀教版七年级下册

该初中数学第十章三角形复习讲义通过表格对比和重点分点系统梳理知识体系，涵盖三角形的概念、分类、稳定性、三边关系、内角与外角及三线性质，清晰呈现重难点分布和内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，包含折叠角度计算、角平分线与平行线综合等17类题型，通过具体问题培养推理意识和几何直观，基础巩固与能力提升练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第十章 三角形（复习讲义） 1.了解三角形边的概念、分类，掌握三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 2.掌握三角形内角和定理，了解外角定义及外角与内角的关系，能进行简单计算。 3.理解三角形的角平分线、中线和高线的定义，能准确画出，知道其基本性质。 重点01 三角形的相关概念 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 重点02 三角形的分类 1、三角形按边分类：三角形 2、三角形按角分类：三角形 重点03 三角形的稳定性 三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 三角形三边关系的应用： 1、判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3、所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 重点04 三角形的内角与外角 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1、在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2、在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3、在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 重点05 三角形的高、中线、角平分线 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 题型一 三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 3．如图，共有______个三角形；在中，所对的角是______；在中，所对的边是______；以为边的三角形有______． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 题型二 三角形的个数问题 4．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 5．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 6．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 题型三 构成三角形的条件 7．把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最大边，即可判断能否围成三角形． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断时只需比较较小两边的和与最大边的大小： A选项，三边长为，，，最大边为， ， 能围成三角形，该选项符合题意； B选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； C选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； D选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意， 故选：A． 8．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 先列举出所有可能性，然后运用三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：四根木棒的所有可能三根组合有：①；②；③；④． 组合①，由，不能构成三角形； 组合②，，不能构成三角形； 组合③，，不能构成三角形； 组合④，，所有两边之和均大于第三边，满足三角形三边关系． ∴能组成三角形的三根小木棒长度为． 故答案为． 9．三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分第三边的长为和第三边的长为两种情况，结合三角形中，任意两边之和大于第三边进行讨论求解即可． 【详解】解：当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故此种情形不符合题意； 当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故此种情形符合题意； 综上所述，第三边的长为． 题型四 三角形的分类 10．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 11．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 12．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是_______． 【答案】 等腰三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和． 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案，最后等腰三角形的定义判断三角形的形状． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∵x为奇数， ∴， ∴三角形的三边长为，，，即这个三角形的形状是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 题型五 确定第三边的取值范围 13．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，三角形的两边长分别为和， ∴第三边，即第三边． ∴第三边可以是，答案不唯一． 14．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 15．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 题型六 三角形三边关系的应用 16．如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解： 根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 17．三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 【答案】 【分析】按照，，，，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，，为整数， ∴， （2）当时，，，，为整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，，或（与“”矛盾，舍去） ∴，，或，，，或，，或，，，或，，，或，，，或，，或，，， ∴满足条件的，，共有对． 18．某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 题型七 三角形内角和定理的证明 19．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 20．如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 21．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 22．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 24．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 25．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 26．如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 27．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据平分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ； （2）解：∵， ， ∵分别是的三等分线， ， ， ． （3）解：∵分别是的等分线， ∴，， ． 题型十 三角形折叠中的角度问题 28．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，即可求解； （2）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，推得，故，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，交于点，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，，推得，即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， 在中，， 即； （2）解：， 理由：根据折叠的性质可得，，， ∵， 故， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：根据折叠的性质可得， 交于点，如图： 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 29．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得即可求得结果； （2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，整理可得结论； （3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理即可得到答案． 【详解】（1）解：沿直线折叠，且， 点落在上，如图（1）， ∴， ； 故答案为：； （2）解：， 理由：连接，如图， ∵，， ， 又， ； （3）解：． 理由：如图（3），由翻折可得：，，， ∵， ∴ ， ． 30．综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了理由余角和补角、三角形内角和求角的度数，根据折叠、旋转性质，结合图形得出角的关系（相等、互余、互补等）是解题关键． （1）根据可得，，进而由平角的定义可得，由此得出，结合即可得出结论； （2）由折叠可知，根据周角的定义和，可求，在由邻补角求出的度数； （3）先根据同角的余角相等证明，进而由即可求解； （4）先折叠可以证明，进而可得：，再由，可得，结合已知解方程即可求出； （5）由旋转可知：，，分两种情况：当在内时，，当在内时，，结合求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， （2）由折叠可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）∵长方形、， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， （4）由翻折可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴． （5）∵长方形，在中，一个锐角是． ∴， 由旋转可知：，， 当在内时，， 又∵，即， ∴，解得， 当在内时，， ∴，解得（不合题意舍去）， 综上可得：旋转角是． 题型十一 三角形的外角定义及性质 31．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 【答案】 【分析】由三角形的外角性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：设与相交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 33．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，结合题意可得，求出，即可得出结果； （2）过点作，则，结合题意可得，从而得出，再结合，即可得出结果； （3）记与相交于点，，求出，记与相交于点，则，，由角平分线的定义可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，记与相交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 记与相交于点，则， ∵， ∴， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ． 题型十二 三角形角平分线的定义与性质 34．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 35．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【分析】根据三角形高和角平分线的性质得到、，进而利用三角形内角和定理得到，再得到，据此求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 36．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 题型十三 画三角形的高 37．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中边上的高是． 38．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 39．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 题型十四 重心的概念 40．如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 41．在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 42．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 题型十五 根据三角形中线求长度 43．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 44．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12，理由见解析 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）解：不能等于12，理由如下： 假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 45．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和中线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）在中根据三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，在中根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形中线的定义得出，再计算与的周长之差即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差为， ∵， ∴与的周长之差为9． 题型十六 根据三角形中线求面积 46．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由三角形中线的性质可得，，，则，进而得到． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 47．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_______． 【答案】4 【分析】由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 48．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心计算即可． 【详解】（1）解：点为的重心， 点是边的中点， 的面积为6， ； （2）解：点为的重心， 分别是边上的中点， ， ， ； （3）解：点为的重心， 是边上的中点， ， 由（2）知， ， ； （4）解：由（3）得， ， ， ， ，， 点是的重心， 点是边的中点， ， ． 题型十七 与三角形的高有关的计算问题 49．如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 50．如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 _______ ． 【答案】25 【分析】由平移的性质得到，进而求出，由三角形的面积公式求出h，根据梯形的面积公式即可求出结论． 【详解】由平移的性质得， ∵， ∴， 设的边上的高为h， ∵三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积． 51．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得 ，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ∵， ∴； （2）解：∵ 和是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴． （3）解：∵ 和是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 基础巩固通关测 1．如图，在中，下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，进行判断即可． 【详解】解： 是的外角， ，，故选项B错误，选项C一定正确， ∵与是的两个内角，与是的两个内角， 无法确定大小关系，故选项A、D不一定正确． 2．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题意知， 因为， 所以需要补的角的度数是． 3．已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由得结合三角形外角即可解答． 【详解】解：如图： ∵，，， ∴， ∴， 故选D． 4．用下列长度的三根铁条首尾顺次连接，能做成三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．只需验证各选项是否满足此条件即可． 【详解】∵对于选项，等于第三边， ∴不能构成三角形； 对于选项B:， ∴不能构成三角形； 对于选项，且两边之差均小于第三边， ∴能构成三角形； 对于选项D：， ∴不能构成三角形． 故选：C． 5．如图，两外角（和）的平分线交于点．若．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义；根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质以及三角形内角和定理可得，进而求得的度数． 【详解】解：∵． ∴， ∵两外角（和）的平分线交于点． ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 6．如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积计算，根据题意可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵，把菜地分为面积比的两部分，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是性质的熟练应用． 由三角形的中线将面积分成相等的两部分，得到阴影部分面积是整个三角形面积的二分之一，进而得求． 【详解】∵ 点 为 边的中点，， ∴， ∵E 为AC边的中点， ， ∵  为 边的中点， ， ， 故答案选： C． 8．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，分别是的边，的高线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即的长为． 故选：A． 9．如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若，则的度数是___________． 【答案】/70度 【分析】利用平行线的性质得到，利用折叠的性质得到，利用对顶角的性质得到，再利用三角形的内角和运算即可． 【详解】解：如图所示进行标注，并延长到点， 由题意可得：， ∴， ∴由折叠可得， ∵，， ∴， 解得：． 10．已知三角形两边的长分别为4、5，第三边长x，则第三边x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形的三边关系即可解答．掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系，得，即， 故答案为：． 11．一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为______． 【答案】4 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是x，由此得到，即可得到答案．解题关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：设三角形的第三边长是x， 由三角形三边关系定理得到：， ， 三角形三边均为整数， 三角形第三边的最大值为 故答案为： 12．如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为__________． 【答案】/30度 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：∵是中的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 13．如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为_______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了直角三角形的内角和定理及角的和差关系，先构造直角三角形，再利用三角形的内角和及角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，由题意知：垂直于． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 14．如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是；在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是．以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，列代数式．当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是． 【详解】解：在图1中的任一小三角形内任取一点，图中互不重叠的所有角的和是； 在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），图中互不重叠的所有角的和是； 当内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3； 当内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5； 以此类推得到，当内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7； 当内的点的个数是时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是， ∴当取到点，图中互不重叠的所有角的和是：． 故答案为：． 15．如图，是外角的平分线，且交的延长线于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的外角性质． （1）根据，即可求解； （2）由是的平分线可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：是的外角， ， ，， ； （2）平分， 是的外角， ． 16．如图，，分别是的角平分线与高线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线和高线的定义，正确的识图，确定角度之间的和差关系是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求的度数即可； （2）由角平分线求出的度数，根据互余关系求出的度数，利用即可得出结果． 【详解】（1）解：，， 在中， ； （2）解：是的角平分线，， 是的高线， ， 在中，， ， ， ． 17．在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】（1）；（2）画图见解析；；说明见解析；（3）无论是锐角还是钝角，总有 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； （3）由（1）（2）可以得到结论：无论是锐角还是钝角，总有． 18．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形中线的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形中线的定义可得，则由三角形周长计算公式可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比周长小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50，115；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． （1）依据三角形内角和定理进行计算即可； （2）依据分别平分，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）依据的外角平分线与的外角平分线相交Q，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2） 证明：∵分别平分， （3） 理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 20．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 能力提升进阶练 21．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 故选：C． 22．在下列条件中：①，②，③三个外角的度数之比为，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的外角，分别求出每个三角形的最大内角是否是90度即可判断． 【详解】解：①∵，且， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ②∵，且， ∴最大角， ∴是直角三角形，故②正确； ③∵三个外角的度数之比为， ∴最小外角度数为， ∴三角形最大内角是， ∴是直角三角形，故③正确； ④∵，且， ∴， ∴ ∴是直角三角形，故④正确； ⑤∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故⑤不正确； 综上，能确定是直角三角形的条件有4个， 故选：C． 23．如图，与的交点为，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，对顶角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和外角． 延长交于点，利用三角形的内角和定理及对顶角相等求出，然后再利用三角形外角定理进行求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． 由角平分线得到，，从而根据三角形外角的性质得到，即可判断的度数会改变．由，可判断的度数不会改变． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵随着点A，B位置的改变，的大小也随之改变， ∴的度数会改变． ∵平分， ∴， ∴ ， ∴随着点A，B位置的改变，的度数不会改变． 故选：D 25．如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线的性质，三角形面积，熟练掌握垂线段最短是解题的关键； 利用三角形面积关系求出的长度，利用垂线段最短即可求解； 【详解】解：如图，过C作交于点， ， ， ， ， 根据垂线段最短，可得， 线段的长度不可能是； 故选：A． 26．如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解：， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 27．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出； 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴①，②， ②得：， ∴③， 由①和③得：， ∵， ∴， 同理：，，……， ∴， ∴， 故选：C； 28．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，角平分线的定义，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可知，，，结合平分，可得，推出， ，根据，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，， 平分， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ，即， ， ． 故选：A． 29．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 30．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三边的长为，先根据三角形三边关系定理得，再根据是“倍长三角形”，分四种情况讨论并求解即可．正确理解题意并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 31．如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝____；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝____° 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 32．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为____________． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为____________． 【答案】 /90度 /45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的定义；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线定义即可解答， （2）利用角平分线定义和三角形外角的性质证明，然后求出，即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ． 33．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图． ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 34．已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则____________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在中，， ， ∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：． 35．如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又， ， 即． 36．如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 37．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为28，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、中线、高线和角平分线的性质，熟练掌握三角形相关性质是解答的关键． （1）先根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)，20； (3)四边形的面积为，理由见解析 【分析】本题考查三角形的中线，解二元一次方程组，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积作答即可； （2）加减消元法求出的值，再根据得四边形的面积为，进行计算即可； （3）连接，设，仿照（2），进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的边上的中线， ∴的面积的面积； 故答案为：； （2）解，得：； 由图可知：四边形的面积为； 故答案为：，20； （3）四边形的面积为，理由如下： 连接，设， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，解得：； ∴四边形的面积为． 39．【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决]（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； [定理证明]利用三角形内角和定理及邻补角的定义，即可证明结论； [问题解决]（1）由题意可知，，结合三角形的外角的性质，内角和定理求得，，，进而求得，，即可求解； （2）分两种情况：当为的靠近的三分线时，当为的靠近的三分线时，根据三角形的外角的性质，进行讨论求解即可． 【详解】[定理证明]证明：如图，∵， 又∵， ∴． ∴． [问题解决]（1）∵的三分线分别与的平分线交于点，， ∴，， 在中，由三角形的外角可知，， ∴，， 在中，由三角形的内角和定理可知，， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知，； （2）∵，， ∴， ∵ 为的靠近的三分线， ∴， 当为的靠近的三分线时，， 则； 当为的靠近的三分线时，， 则； 综上：或． 40．【问题背景】 如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明； 【简单应用】 如图2，与交于O，分别平分，若，则______． 【拓展延伸】 在图3中，与交于O，若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角的和差运算，角平分线的意义，正确理解题意，正确运用是解题的关键． （1）由三角形的外角性质即可证明； （2）由角平分线可设，由上得，，即可求解； （3）由题意设，则由上得： ，由上得：，则，联立即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵分别平分， ∴， 设， 由上得：， ， ∵ ∴， 由①得： 由②得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴设， 由上得：， ∴， ∴， 由上得：， ∴， ∴， ∴, 解得：， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角形（复习讲义） 1.了解三角形边的概念、分类，掌握三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 2.掌握三角形内角和定理，了解外角定义及外角与内角的关系，能进行简单计算。 3.理解三角形的角平分线、中线和高线的定义，能准确画出，知道其基本性质。 重点01 三角形的相关概念 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 重点02 三角形的分类 1、三角形按边分类：三角形 2、三角形按角分类：三角形 重点03 三角形的稳定性 三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 三角形三边关系的应用： 1、判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3、所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 重点04 三角形的内角与外角 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1、在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2、在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3、在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 重点05 三角形的高、中线、角平分线 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 题型一 三角形的识别与有关概念 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 3．如图，共有______个三角形；在中，所对的角是______；在中，所对的边是______；以为边的三角形有______． 题型二 三角形的个数问题 4．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 5．如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 6．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 题型三 构成三角形的条件 7．把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 9．三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 题型四 三角形的分类 10．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 11．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 12．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是_______． 题型五 确定第三边的取值范围 13．已知三角形的两边长分别为和，则第三边可以是___________（写出一个即可）． 14．我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 15．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 题型六 三角形三边关系的应用 16．如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 17．三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 18．某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 题型七 三角形内角和定理的证明 19．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 20．如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 21．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 题型八 与平行线有关的三角形内角和问题 22．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 23．已知如图，，，，则的度数为_____． 24．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 题型九 与角平分线有关的三角形内角和问题 25．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 26．如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 27．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 题型十 三角形折叠中的角度问题 28．如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 29．如图，是一个三角形的纸片，点分别是边上的两点． (1)如图（1），如果沿直线折叠，且，若，求______． (2)如图（2），如果沿直线折叠后落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由． (3)如果折成图（3）的形状，直接写出，和的关系． 30．综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 题型十一 三角形的外角定义及性质 31．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 33．结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 题型十二 三角形角平分线的定义与性质 34．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 35．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 36．如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 题型十三 画三角形的高 37．如图，，，，，垂足分别为点，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 38．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 39．如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 题型十四 重心的概念 40．如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 41．在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 42．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 题型十五 根据三角形中线求长度 43．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 44．如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 45．如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 题型十六 根据三角形中线求面积 46．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 47．如图，已知中，点是上且离点较近的一个点，连接，点是的中点，连接，过点作交于点，连接，若面积等于4，则阴影部分的面积为_______． 48．综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下3个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题． 【解决问题】 (1)任务1：如图1，若的面积为6，则的面积为______． (2)任务2：如图1，若的面积为，求的面积． (3)任务3：如图1，在任务2的条件下，求的值． 【拓展应用】 (4)如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 题型十七 与三角形的高有关的计算问题 49．如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 50．如图，将三角形沿方向平移8个单位长度，得到三角形．若，三角形面积为15，则梯形的面积为 _______ ． 51．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 基础巩固通关测 1．如图，在中，下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，那么需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．用下列长度的三根铁条首尾顺次连接，能做成三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，两外角（和）的平分线交于点．若．则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 7．如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若，则的度数是___________． 10．已知三角形两边的长分别为4、5，第三边长x，则第三边x的取值范围是_____． 11．一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为______． 12．如图，是中的平分线与外角的平分线的交点．若，则的大小为__________． 13．如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置与线绳（线绳垂直于地面）的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为_______． 14．如图1，在内部任取一点，则图中互不重叠的所有角的和是；在图1中的任一小三角形内任取一点（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是．以此类推，当取到点时，图中互不重叠的所有角的和是______（用含的代数式表示）． 15．如图，是外角的平分线，且交的延长线于点，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 16．如图，，分别是的角平分线与高线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 17．在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 18．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 19．【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 20．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 能力提升进阶练 21．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 22．在下列条件中：①，②，③三个外角的度数之比为，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．如图，与的交点为，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，点A，B分别在射线，上（均不与点O重合），的角平分线与角平分线交于点 E．随着点A，B位置的变化，对于和，下列判断正确的是（   ） A． 和的度数均会改变 B．和的度数均不会改变 C．只有的度数不会改变 D．只有的度数不会改变 25．如图，在中，，，，，点是线段上一点，则线段的长度不可能是（　　） A． B． C． D． 26．如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 27．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（    ） A． B． C． D． 28．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 29．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则________． 30．定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 31．如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝____；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝____° 32．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线交于点Q．延长线段，交于点E． （1）的度数为____________． （2）在中，若等于的3倍，则的度数为____________． 33．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则______． 34．已知在中，． 在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得； 在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得； 在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则____________（用含的代数式表示）． 35．如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 36．如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 37．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为28，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 38．已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 39．【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 40．【问题背景】 如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明； 【简单应用】 如图2，与交于O，分别平分，若，则______． 【拓展延伸】 在图3中，与交于O，若，则______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $