精品解析：山东烟台市莱山区2025－2026学年度第二学期第一阶段检测练习题九年级数学

2025一2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分：考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签宇笔作答，答素必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】任何非零数的0次幂等于1，乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：， 又1的倒数是1， ∴的倒数是1． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式运算与二次根式的性质，运用对应运算法则逐个计算判断即可. 【详解】解：A选项，根据积的乘方的运算法则，可得：，故A选项正确； B选项：根据同底数幂的乘法法则，可得：，故B选项错误； C选项：根据平方根的定义，可得：，故C选项错误； D选项：根据合并同类项的法则，可得：，故D选项错误． 故选：A． 3. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 4. 一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，再由平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， 即，解得， ， 即，解得． 5. 某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 8种 【答案】A 【解析】 【分析】先设出两种奖品的购买数量，根据总价列出二元一次方程并化简，然后通过分析变量的取值范围和正整数要求，逐一找出所有有效的正整数解，统计解的数量即可得到方案数． 【详解】解：设购买奖品件，奖品件，其中、为正整数． 根据总费用为元，可列方程：， 将方程变形为用表示的形式：． 因为为正整数，所以必须是正偶数： 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，为负数，不符合条件； 综上，共有3种不同的购买方案． 6. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题． 【详解】解：作轴于． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 7. 如图，，，都是等腰直角三角形，点，，按图中规律，的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过计算发现、、、，在的基础上每个一循环再次回到轴的负半轴是解题的关键．由等腰直角三角形的定义及勾股定理可得，，，，，再利用、、、，在的基础上每个一循环再次回到轴负半轴的规律即可得出的坐标． 【详解】解：，，，都是等腰直角三角形，点，，，， 根据勾股定理可得：，，，，， 、、、，在的基础上每个一循环，再次回到轴的负半轴， ， 在的基础上每个一循环，循环了次，又循环到了轴的负半轴， 横坐标是， 的坐标为． 8. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（ ）   A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 10. 如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】当l落在位置时，与菱形交于D，M，，当|l落在位置时，，得，得，得，解得，即得． 【详解】解：如图所示，当l落在位置时，与菱形交于D，M， 此时， 当l落在位置时，与菱形交于N，B， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴点C到y距离为， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点与图形面积问题．熟练掌握菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，动点函数图象，分类讨论，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键． 这里的． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解题关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 13. 设是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2032 【解析】 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可求解． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， 是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得， ． 14. 如图，正方形的边长为，则阴影部分面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据即可求解． 【详解】解：如图所示，对角线与弧交于点， ∵正方形的边长为，是对角线， ∴， ∴，，以为直径的半圆的面积， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不规则图形面积的计算，理解图示的组成部分，掌握扇形面积的计算方法，圆面积的计算方法是解题的关键． 15. 如图，在中按如下步骤作图：①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点：②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点．根据以上作图，若，，则线段的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，由作图可知，垂直平分，平分 ，则，，由角的组合可知，则可证，所以，设，则可表示，代入解方程即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，垂直平分， ， ， 由作图可知，平分， ， ，， ∴， ， ∵， ， ∴， 即， 设，且， 则： 由 ，且， ， 代入得： ， 解得， 则长为9． 16. 如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据平方和算术平方根的非负性求出，，然后代入求解． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以，． 所以，． 所以，原式． 18. 为进一步引导学生树立环保意识，普及环保知识，某中学举行了“绿色校园，低碳同行"环保知识竞赛活动．现从男女生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分为分，得分均为不小于的整数）进行整理、描述和分析（分及以上为优秀，共分成四个等级，.；.；.；.） 信息如下： 随机抽取的男生竞赛成绩在等级里的数据为：，，，，； 随机抽取的女生竞赛成绩组人数与组人数比为； 将所抽取的男生女生的竞赛成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数分布直方图：男生竞赛成绩的中位数为______分； （2）女生竞赛成绩中等级所在扇形的圆心角度数为______； （3）若该校共有名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ （4）为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的名同学（其中有名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】（1）见解析， （2） （3）估计成绩达到优秀等级的学生约有人； （4）所选同学中有男生的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求得女生竞赛成绩C、A以及D组人数，得到B组人数，再用乘以B组人数的占比，即可求解； （3）根据样本估计总体即可求解； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：男生竞赛成绩组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图： ∵，， ∴从小到大第10和第11个数分别是和， ∴男生竞赛成绩的中位数为（分）， 【小问2详解】 解：由题意得女生竞赛成绩C组人数为（人）， ∵女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为， ∴女生竞赛成绩A组人数为1人，女生竞赛成绩D组人数为（人）， ∴女生竞赛成绩B组人数为（人）， ∴女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计成绩达到优秀等级的学生约有人； 【小问4详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 由表可知，共有种等可能结果，其中所选同学中有男生的有种结果， ∴所选同学中有男生的概率为． 19. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲商品的进价和每个乙商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有几种方案？ 【答案】（1）每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元． （2）该商场购进甲、乙两种商品共有2种方案，分别为：①购进甲商品67个，乙商品24个；②购进甲商品70个，乙商品25个． 【解析】 【分析】（1）设乙商品进价为未知数，根据进价关系表示甲的进价，利用“80元购进甲商品的数量与100元购进乙商品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进乙商品的数量为未知数，根据数量关系表示甲商品的数量，根据“总数量不超过95个，总利润超过380元”列一元一次不等式组，求出正整数解即可得到所有方案． 【小问1详解】 解：设每个乙商品的进价为元，则每个甲商品的进价为元． 根据题意得： 解得： 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每个甲商品的进价为8元，每个乙商品的进价为10元； 【小问2详解】 解：设购进乙商品个，则购进甲商品个，为正整数． 根据题意得： 解第一个不等式得： 解第二个不等式得： 因此不等式组的解集为 为正整数， 或 当时， 当时， 答：该商场购进甲、乙两种商品共有2种方案，分别为：①购进甲商品67个，乙商品24个；②购进甲商品70个，乙商品25个． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）将代入求出，再将点坐标代入，求出k即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行，作即可； ②求出点B的坐标，设点，其中，则点，由，列式计算，求出t值，继而求出点Q的坐标． 【小问1详解】 解：依题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：①如图所示，即为所求； ②对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为，其中， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在反比例函数的图象上， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，， ∴点Q的坐标为． 21. 某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单． 项目主题 壁挂式空调送风问题 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 实施过程 基本情况 空调挂机底部垂直于墙面，已知． 现场测量 状态一：若导风板所在直线与竖直线的夹角为时，空调风刚好吹到床铺的外边沿E处． 状态二：若导风板从的位置顺时针旋转后，空调风刚好吹到飘窗底部处；若导风板从的位置顺时针旋转，风刚好吹到飘窗顶部的G处． 绘制示意图 参考数据 ， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求床铺外边沿到飘窗的距离； （2）求飘窗的高度． 【答案】（1）约为 （2）约为 【解析】 【分析】（1）先得出，再解直角三角形得出的长，然后根据求解即可； （2）过点作于点，先得出，再解直角三角形可得的长，则可得的长，进而得出的长即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 答：床铺外边沿到飘窗的距离约为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 答：飘窗的高度约为． 22. 如图，在中，，在上取一点，以为直径作，与相交于点，作线段的垂直平分线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得证是的切线； （2）根据题意，得，利用三角函数的变形求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为线段的垂直平分线交于点， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以是的切线； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以， 因为的半径为1， 所以， 连接， 因为以为直径作， 所以， 所以， 所以， 因为线段的垂直平分线交于点， 所以， 故， 故． 23. 综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； （2）【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则，再由线段和差证明即可； （2）过点作的延长线于点，连接，证明，则，可证明四边形是平行四边形，则，那么，即可求解； （3）过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，先解求出，，，证明，结合锐角三角函数求出，，最后对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：于点于点， ， ， ； ； 【小问2详解】 解：过点作的延长线于点，连接． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 解：过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，如图， ， ，， ， 于点于点， ， ， ， ， ． 24. 如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． （1）求抛物线的表达式； （2）若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； （3）若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． 【小问3详解】 解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025一2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分：考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签宇笔作答，答素必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 的倒数是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 一副三角板按如图所示位置放置(其中，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 某校准备举办“创文知识竞赛”，计划用元购买定价分别为元/件、元/件的，两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 6种 D. 8种 6. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 7. 如图，，，都是等腰直角三角形，点，，按图中规律，的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（ ）   A. B. C. D. 2 9. 已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 如图1，菱形中，点A为轴正半轴上一点，轴，直线轴交菱形两边于两点（点在点下方），直线从轴出发，沿以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为（秒），的面积为，与的大致图象如图2，若，则的值为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 12 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司．在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数．将数据用科学记数法表示为______． 12. 因式分解：_____． 13. 设是方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 如图，正方形的边长为，则阴影部分面积为______．（结果保留） 15. 如图，在中按如下步骤作图：①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点：②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点．根据以上作图，若，，则线段的长为______． 16. 如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 __． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中满足． 18. 为进一步引导学生树立环保意识，普及环保知识，某中学举行了“绿色校园，低碳同行"环保知识竞赛活动．现从男女生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（满分为分，得分均为不小于的整数）进行整理、描述和分析（分及以上为优秀，共分成四个等级，.；.；.；.） 信息如下： 随机抽取的男生竞赛成绩在等级里的数据为：，，，，； 随机抽取的女生竞赛成绩组人数与组人数比为； 将所抽取的男生女生的竞赛成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数分布直方图：男生竞赛成绩的中位数为______分； （2）女生竞赛成绩中等级所在扇形的圆心角度数为______； （3）若该校共有名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ （4）为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的名同学（其中有名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 19. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲商品的进价和每个乙商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有几种方案？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 21. 某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单． 项目主题 壁挂式空调送风问题 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 实施过程 基本情况 空调挂机底部垂直于墙面，已知． 现场测量 状态一：若导风板所在直线与竖直线的夹角为时，空调风刚好吹到床铺的外边沿E处． 状态二：若导风板从的位置顺时针旋转后，空调风刚好吹到飘窗底部处；若导风板从的位置顺时针旋转，风刚好吹到飘窗顶部的G处． 绘制示意图 参考数据 ， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： （1）求床铺外边沿到飘窗的距离； （2）求飘窗的高度． 22. 如图，在中，，在上取一点，以为直径作，与相交于点，作线段的垂直平分线交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为1，求线段的长． 23. 综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． （1）【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； （2）【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 24. 如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． （1）求抛物线的表达式； （2）若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； （3）若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $