精品解析：2026山东省菏泽市成武县初中学业水平考试（中考）数学模拟试题（一）

二〇二六年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（一） 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a一定是一个（ ） A. 正数 B. 负数 C. 小数 D. 整数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴的基本性质，利用数轴的性质即可解答，熟知原点左边的点为负数，原点右边的数为正数是解题的关键． 【详解】解：数轴上，表示数的点在原点的左边， 是负数， 故选：B． 2. 已知一组数据6，1，4，6，8，则这组数据的极差是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差的定义，找出这组数据的最大值和最小值，计算二者的差值即可得到答案． 【详解】解：∵极差是一组数据中最大数据与最小数据的差， 在数据，，，，中， 最大数据是，最小数据是， ∴极差为． 3. 点关于轴的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，坐标与图形变化—轴对称关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数； 先根据特殊角的三角函数值求出点的坐标，再利用关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点的坐标是， 故选：C． 4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了主视图的识别，熟练掌握主视图的定义（从正面观察几何体所得到的视图）是解题的关键．根据主视图的定义（从正面观察几何体得到的视图），分析图中模型的正面形状，判断各部分的投影． 【详解】解：该几何体的主视图是． 故选：B． 5. 上海交大科研团队利用电光梳与回音壁散斑图案结合，实现了0.8飞米分辨率的光谱测量，已知1飞米等于0.000000000000001米，则0.8飞米可用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】解：1飞米等于0.000000000000001米米， ∴飞米米 整理为标准科学记数法，得米． 6. 对于任意的整数n，能整除的数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 7. 某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 8. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果，其中恰好选到同一种营养套餐的结果有4种， ∴恰好选到同一种营养套餐的概率是． 故选：A． 9. 如图，表中给出的是10月的月历，任意选取“”，型框中的6个数（如阴影部分所示），则这6个的和不可能是（ ） A. 87 B. 99 C. 129 D. 135 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，可设这6个数按从小到大的顺序分别为，，，，，，然后建立方程可求解． 【详解】解：设这6个数按从小到大的数分别为，，，，，，由题意得： ； ∴当时，解得：； 当时，解得：，此时在表格中数的下一行，不符合题意； 当时，解得：； 当时，解得：； 根据这6个数的特征可知：这6个数的和不可能是99； 故选：B． 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 【答案】 【解析】 【分析】把分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，再用最简公分母除以第二个分式的分母，即可得到所求单项式． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， 最简公分母为， 计算得． 12. 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵B，C的坐标分别为， ∴坐标系的位置如图所示： ∴点的坐标为：， 连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为； 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质． 13. 2025年7月25日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电影第一周票房约亿元，三周总票房约亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 由于每周票房按相同的增长率增长，从第一周到第三周经历了两次增长，因此第二周票房为亿元，第三周票房为亿元，根据“三周总票房约亿元”列方程即可． 【详解】解：设票房周增长率为， 则第二周票房为亿元， 第三周票房为亿元， 根据题意三周总票房约亿元， 故列方程为． 故答案为：． 14. 若是关于的方程的解，________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，把解代入方程，等式的左边=右边，变形后代入代数式求值即可． 【详解】∵是方程的解， ∴ ∴ ∴， ∴． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. 计算或解不等式组 （1）计算； （2）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】（1）2 （2），整数解为：，0，1，2，3 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根以及特殊角的三角函数值计算即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有整数解有，0，1，2，3． 17. 【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点A、B、C、D、E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． （1）【规律总结】填写下表 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … （2）【问题解决】原五边形能否被分割成2026个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点；若不能，请说明理由． 【答案】（1）11， （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可归纳出五边形内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为； （2）通过解方程可判断此题的结果． 【小问1详解】 解：∵五边形内点的个数为1时，分割成的三角形的个数为， 五边形内点的个数为2时，分割成的三角形的个数为， 五边形内点的个数为3时，分割成的三角形的个数为， ∴五边形内点的个数为4时，分割成的三角形的个数为， …… ∴五边形内点的个数为n时，分割成的三角形的个数为， 故答案为：11，； 【小问2详解】 解：令，即， 显然这个方程没有整数解， 原五边形不能被分割成2026个三角形． 18. 伊通河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量伊通河两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点向西走到点，在点插上一根标杆，继续向西走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一条直线上． 测量示意图 （1）第一小组方案中需要的工具有____________； （2）第一小组测得米，请你根据第一小组的方案计算河宽； （3）第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】（1）测角仪、皮尺 （2）8米 （3）可行，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等角对等边可得米，即可解答； （3）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答； 【小问1详解】 解：第一小组方案中需要的工具有测角仪、皮尺， 故答案为：测角仪、皮尺； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， 米， 河宽为米； 【小问3详解】 第二小组的方案可行， 证明：由题意得：，，， ， ， 只要测得就能得到河宽． 19. 如图，为的直径，为上一点，点为 的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证: 是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等，得，通过角的关系证明，进而得到，即得证； （2）作，证出，得，的长，再由勾股定理求出，即为的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 点为的中点， ． ． ． ． ． ， ． ． ． 为的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点， 则． ， ． ， ． ． ， ． 的半径为10， ． ． ． ． 【点睛】本题主要考查等弧所对的圆周角相等，平行线的判定，切线的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 20. 中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 （1）若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 【答案】（1）服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； （2）服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员60人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元，根据要求型号超过4台，求得，再根据题意列得，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台． 根据题意可列：， 解得：， 答：服务器的安装数量是5台，服务器的安装数量是8台； 【小问2详解】 解：设安排服务器的技术人员人，则安排服务器的技术人员人，安装总成本为万元， ∴服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， ∵要求型号超过4台， ∴，解得， 由题意得， ∵， ∴的值随的增大而减少， ∵，且和都是整数， ∴当时，有最小值为200万元， 此时，， ∴当服务器的安装数量是10台，服务器的安装数量是5台时，安装总成本最少． 21. 商场统计了某月每个营业员的销售额，绘制了如下统计图： 商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当时为称职，当时为优秀．解决下列问题： （1）商场管理层将称职和优秀两类营业员的该月销售额作为一组数据进行分析，写出这组数据的中位数、众数和平均数； （2）为了调动营业员的积极性，商场决定制定月销售额奖励标准，凡达到或超过标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职和优秀两类营业员的半数左右人能获奖，奖励标准应定为多少万元？并简述理由． 【答案】（1）中位数是22，众数是20，平均数是22.3； （2）22万元，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，求中位数，众数和平均数，明确题意，准确从图形中获取信息是解题的关键． （1）先求出所有称职和优秀的营业员的人数，再根据中位数、众数和平均数的定义，即可求解； （2）根据使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，可得应该以这些员工的销售额的中位数为标准，即可求解． 【小问1详解】 解：所有称职和优秀的营业员的人数为： 人，则位于第11位的月销售额是22万元，所以中位数是22， 月销售额是20万元的有5人，最多，所以众数是20， 平均数是； 【小问2详解】 解：奖励标准应定为22万元理由：要使称职和优秀的员工中有半数左右能获奖，应该以这些员工的销售额的中位数为标准． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）若抛物线经过点，求a的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是，代入函数解析式，经过化简得到，再根据即可求得答案； （3）由（2）知，抛物线图象开口向上，对称轴为，由，结合点，是抛物线上两个不同点，可得，两点关于直线对称，即轴，易得，根据，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意：，即， 解得：； 【小问2详解】 解：设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是， 代入解析式可得：． ∴两式相加可得： ∴， ∵， ∴， 同号， 当 解得：， 当， 解得，不等式组无解， ； 【小问3详解】 解：由（2）知， 抛物线图象开口向上，对称轴为， ，即，且，是抛物线上两个不同点， ，两点关于直线对称， 轴， ， ， ∵ ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，二次函数的对称性，二次函数与不等式熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 【答案】（1）①，；②，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①在图1中，连接EF，三角形中位线定理和相似得到，，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在图2中，根据含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解. （2）三角形中位线定理和相似得到，，结合勾股定理，即可求解； （3）证明：，，则，即可求解． 【详解】解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线， 则，，， ①， （1）如图1，在直角三角形能ABP中，， ∴， ； ②在图2中，在直角三角形能ABP中，，, ∴ 则，； （2）关系为：， 证明：如图3，由①得：，， 则； （3）在菱形中,分别为线段，的中点 ，， ，则， 同理，， ， ，， ，， 同理：， 则． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年初中学业水平考试（中考） 数学模拟试题（一） 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 在数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a一定是一个（ ） A. 正数 B. 负数 C. 小数 D. 整数 2. 已知一组数据6，1，4，6，8，则这组数据的极差是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 点关于轴的对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 上海交大科研团队利用电光梳与回音壁散斑图案结合，实现了0.8飞米分辨率的光谱测量，已知1飞米等于0.000000000000001米，则0.8飞米可用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 对于任意的整数n，能整除的数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 7. 某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ） A. B. C. D. 8. 某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，表中给出的是10月的月历，任意选取“”，型框中的6个数（如阴影部分所示），则这6个的和不可能是（ ） A. 87 B. 99 C. 129 D. 135 10. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 24 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 12. 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为___________． 13. 2025年7月25日首映的《南京照相馆》，以南京大屠杀期间百姓冒险保存日军暴行底片的故事，警示人们铭记历史、自强自立，上映即获全国追捧．据统计，该电影第一周票房约亿元，三周总票房约亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为，根据题意可列方程为_______． 14. 若是关于的方程的解，________． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. 计算或解不等式组 （1）计算； （2）解不等式组并写出它的所有整数解． 17. 【观察思考】如图，五边形内部有若干个点，用这些点以及五边形的顶点A、B、C、D、E把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）． （1）【规律总结】填写下表 五边形内点的个数 1 2 3 4 … 分割成的三角形的个数 5 7 9 … （2）【问题解决】原五边形能否被分割成2026个三角形？若能，求此时五边形内部有多少个点；若不能，请说明理由． 18. 伊通河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量伊通河两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 如图，观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向．从点向西走到点，在点插上一根标杆，继续向西走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一条直线上． 测量示意图 （1）第一小组方案中需要的工具有____________； （2）第一小组测得米，请你根据第一小组的方案计算河宽； （3）第二小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 19. 如图，为的直径，为上一点，点为 的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证: 是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 20. 中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台成本（万元） 型号 4 12 型号 5 16 （1）若公司有技术人员60人全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为188万元，问和服务器的安装数量各是多少台？ （2）由于公司规模扩大，技术人员增至65人，全部参与维护且每人负责一种服务器，要求型号超过4台．问和服务器的安装数量各是多少台时，安装总成本最少？ 21. 商场统计了某月每个营业员的销售额，绘制了如下统计图： 商场规定：当时为不称职，当时为基本称职，当时为称职，当时为优秀．解决下列问题： （1）商场管理层将称职和优秀两类营业员的该月销售额作为一组数据进行分析，写出这组数据的中位数、众数和平均数； （2）为了调动营业员的积极性，商场决定制定月销售额奖励标准，凡达到或超过标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职和优秀两类营业员的半数左右人能获奖，奖励标准应定为多少万元？并简述理由． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）若抛物线经过点，求a的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，设点，是抛物线上两个不同点，且，求的取值范围． 23. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $