2026年西藏林芝市中考数学学考自编模拟卷

**基本信息** 融合古代数学文化（如第2题对称图形）与科技前沿（如第3题石墨烯键长科学记数法）情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查实数、几何、函数等核心知识，适配学考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、整式运算、圆的性质|第2题以古代数学图形考对称，培养几何直观；第3题结合石墨烯材料考科学记数法，体现数学眼光| |填空题|6/18|因式分解、图形变换、规律探究|第16题晋商窗格剪纸规律，发展抽象能力与创新意识| |解答题|10/72|方程应用、统计分析、函数综合|第21题科研项目投资问题，考查模型意识；第25题圆的切线证明，强化推理能力；第26题抛物线综合，提升数学思维的逻辑性|

绝密★启用前 西藏自治区林芝市2026年学考自编模拟卷 数学 注意事项： 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在π，，，0这四个数中，最小的实数是（　　） A．Π B． C． D．0 2．（新情境）（3分）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 3．（新情境）（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm，将0.0000000142用科学记数法表示为（　　） A．1.42×10﹣6 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣9 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．3x2﹣x2＝2 B．x2•x3＝x5 C．（﹣2x2）3＝8x8 D．（x+1）（x﹣1）＝x2+1 5．（3分）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（　　） A．200° B．230° C．250° D．270° 6．（3分）在下列叙述中，错误的是（　　） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作（n﹣2）条对角线 7．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m且m≠1 C．m D．m且m≠1 8．（3分）在⊙O中，直径CD⊥弦AB，连接OA、BC，且∠AOD＝54°，则∠C为（　　） A．18° B．27° C．54° D．108° 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝13，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，得到四边形NMEF，且点A恰好为边NF的中点，则ED的长为（　　） A．7.2 B．7.5 C．8 D．8.4 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，⑤若方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0的解是﹣7或﹣1，其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）4a2﹣1因式分解的结果是　 　 ． 12．（3分）若（x+1）2+|y﹣2026|＝0，则xy＝　 　 ． 13．（3分）将直线yx+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝　 　 ． 14．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件：　 　 ，使四边形AECF是菱形． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 　 　 cm． 16．（3分）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸： 用代数式表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数 　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（5分）计算：． 18． （5分）解方程组： 19．（5分）先化简，，再在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值． 20．（5分）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE且AB＝DE，求证：BC＝EF． 21．（8分）为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同． （1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？ （2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？ 22．（8分）从2025年春季学期开始，海南全省义务教育学校课间休息时间调整为不少于15分钟．东方市某校为了落实“课间十五分钟”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个项目：A．呼啦圈；B．青蛙跳；C．跳绳；D．吹号鼓．为了解学生对每个项目的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　 　 名学生，抽到“C．跳绳”　 　 人； （2）跳绳项目所对应扇形的圆心角为　 　 度； （3）吹号鼓项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率是　 　 ； （4）为了增强学生的体质，请你向学校负责人提一条合理的建议． 23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 24．（8分）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30m到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为40°，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，，） （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度．（结果精确到1m） 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为10，，求BD的长． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，对称轴直线l为x＝1． （1）求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． （2）设点C关于直线l的对称点为点D，P是直线l上的一个动点，是否存在点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由． （3）M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若，求点M的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 西藏自治区林芝市2026年学考自编模拟卷 数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在π，，，0这四个数中，最小的实数是（　　） A．π B． C． D．0 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵0π， ∴最小的数是：． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2．（3分）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 3．（3分）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长d＝0.0000000142cm，将0.0000000142用科学记数法表示为（　　） A．1.42×10﹣6 B．1.42×10﹣7 C．1.42×10﹣8 D．1.42×10﹣9 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000000142＝1.42×10﹣8． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．3x2﹣x2＝2 B．x2•x3＝x5 C．（﹣2x2）3＝8x8 D．（x+1）（x﹣1）＝x2+1 【分析】分别依据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方法则以及平方差公式逐一计算即可． 【解答】解：A、3x2﹣x2＝2x2≠2，故本选项不符合题意； B、x2•x3＝x2+3＝x5，故本选项符合题意； C、（﹣2x2）3＝﹣8x6≠8x8，故本选项不符合题意； D、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1≠x2+1，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查幂的运算，平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 5．（3分）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（　　） A．200° B．230° C．250° D．270° 【分析】过B作BK∥CD，得到BK∥AE，推出∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，得到∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，由垂直的定义得到∠BAE＝90°，即可求出∠ABC+∠BCD的度数． 【解答】解：过B作BK∥CD， ∵CD∥AE， ∴BK∥AE， ∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°， ∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°， ∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°． 6．（3分）在下列叙述中，错误的是（　　） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作（n﹣2）条对角线 【分析】根据多边形内角与外角及对角线进行作答即可． 【解答】解：A．多边形的外角和恒为360°，如果内角是锐角（小于90°），则对应的外角大于90°， 若有4个这样的外角，它们的和就会超过360°， 因此，最多只能有3个内角为锐角，故本选项不符合题意； B．若内角是直角，则对应的外角为90°，4 个这样的外角和为 4×90°＝360°，刚好等于外角和， 如果超过4个，外角和就会超过360°，故本选项不符合题意； C.， 解得：n＝10，对角线总条数等于其边数的多边形是五边形，故本选项不符合题意； D．从n边形一个顶点出发可以作（n﹣3）条对角线，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m B．m且m≠1 C．m D．m且m≠1 【分析】根据二次项系数不为0，根的判别式△≥0，构建不等式求解即可． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0有实数根， 所以， 解得m且m≠1． 故选：D． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是学会构建不等式组解决问题． 8．（3分）在⊙O中，直径CD⊥弦AB，连接OA、BC，且∠AOD＝54°，则∠C为（　　） A．18° B．27° C．54° D．108° 【分析】由垂径定理得，从而根据圆心角、弧、弦的关系得∠BOD＝∠AOD＝54°，进而由圆周角定理得∠C∠BOD＝27°． 【解答】解：如图，连接OB． ∵直径CD⊥弦AB， ∴， ∴∠BOD＝∠AOD＝54°， ∴∠C∠BOD54°＝27°． 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝13，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，得到四边形NMEF，且点A恰好为边NF的中点，则ED的长为（　　） A．7.2 B．7.5 C．8 D．8.4 【分析】设FC＝2x，则，进而得出BF＝13﹣2x，进而在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，根据勾股定理建立方程解方程，得出AF＝5，进而根据折叠的性质以及平行线的性质得出∠AFE＝∠AEF则AE＝AF＝5，进而即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC， 依题意，FN＝FC， 设FC＝2x，则， ∴BF＝BC﹣FC＝13﹣2x， 在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2， 即x2＝（13﹣2x）2+42， 解得：x＝5， ∴AF＝5， ∵折叠， ∴∠AFE＝∠CFE， ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴∠AFE＝∠AEF， ∴AE＝AF＝5， ∴DE＝AD﹣AE＝13﹣5＝8， 故选：C． 【点评】本题考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，⑤若方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0的解是﹣7或﹣1，其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】依据题意，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x2，结合二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①正确． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）． ∴2，a+b+c＝0， ∴b＝4a， ∴a+b+c＝a+4a+c＝0，则5a+c＝0，故②正确． ∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值， ∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|， ∴y1＜y2，故④正确． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点为（﹣5，0）． ∴方程ax2+bx+c＝0的解是﹣5或1． ∴方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0的解满足，x+2＝﹣5或1． ∴方程a（x+2）2+b（x+2）+c＝0的解是﹣7或﹣1，故⑤正确． 综上，正确的有①②④⑤，共4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）4a2﹣1因式分解的结果是　（2a+1）（2a﹣1）　 ． 【分析】根据平方差公式进行解答即可． 【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a+1）（2a﹣1）． 故答案为：（2a+1）（2a﹣1）． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 12．（3分）若（x+1）2+|y﹣2026|＝0，则xy＝　1　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（x+1）2+|y﹣2026|＝0， ∴x+1＝0，y﹣2026＝0， ∴x＝﹣1，y＝2026， ∴xy＝（﹣1）2026＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 13．（3分）将直线yx+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝　16　 ． 【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解平移后的函数的解析式，然后求出OA、OB的值，根据三角形面积公式求出即可． 【解答】解：直线yx+6向下平移2个单位，所得平移后的直线为yx+6﹣2x+4， 把x＝0代入yx+4得：y＝4， 把y＝0代入yx+4得：x＝8， 即OA＝8，OB＝4， ∴S△AOBOA×OB8×4＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征的应用，关键是求出OA、OB的值． 14．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别延长AD，CB至点F、E，使BE＝DF，连接AE、CF，请再添加一个条件：AE＝EC（答案不唯一）　 ，使四边形AECF是菱形． 【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝EC，然后由平行四边形的判定即可得出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定可得出结论． 【解答】解：AE＝EC（答案不唯一）． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴CE＝AF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE＝EC， ∴四边形AECF是菱形， 故答案为：AE＝EC（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 　8　 cm． 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC＝AG，即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中， ∵∠C＝90°， ∴FC⊥AC， ∵FG⊥AB， 由作图方法可得：AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG， 在Rt△ACF和Rt△AGF中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AG， ∵AC＝BC， ∴AG＝BC， ∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键． 16．（3分）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸： 用代数式表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数 　3n+2　 ． 【分析】分别表示出前面几个图形中〇的个数，根据发现的规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形得， 第1个图形中〇的个数为：5＝1×3+2； 第2个图形中〇的个数为：8＝2×3+2； 第3个图形中〇的个数为：11＝3×3+2； …， 所以第n个图形中〇的个数为：3n+2； 故答案为：3n+2． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现〇的个数依次增加3是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（5分）计算：． 【分析】先计算特殊角三角形值，零指数幂，负整数指数幂和化简绝对值，再计算加减法即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了求特殊角三角形值，零指数幂，负整数指数幂和化简绝对值，熟练掌握以上知识点是关键． 18．（5分）解方程组： 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：方程组整理得：， ①×4﹣②×3得：7x＝42， 解得：x＝6， 把x＝6代入①得：y＝4， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19．（5分）先化简，，再在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值． 【分析】先把除法变成乘法，再算乘法和加法，最后取适当的数代入，即可求出答案． 【解答】解：原式• ， ∵分式的分母≠0， ∴x≠﹣2、﹣1、0、1， 又∵x在﹣2、0、1、2， ∴x＝2， 当x＝2时， 原式． 【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20．（5分）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE且AB＝DE，求证：BC＝EF． 【分析】根据SAS证明△ABC≌△DEF，便可得出结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC， 即AC＝DF， ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质，解题的关键是证明三角形全等． 21．（8分）为了响应国家发展科技的号召，某公司计划对A、B两类科研项目投资研发．已知研发1个A类科研项目比研发1个B类科研项目少投资75万元，且投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同． （1）研发一个A类科研项目所需的资金是多少万元？ （2）该公司今年计划投资研发A、B两类科研项目共40个，且该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，则该公司投资研发A类科研项目至少是多少个？ 【分析】（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元，根据投资1200万元研发A类科研项目的个数与投资1500万元研发B类科研项目的个数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目，根据该公司投入研发A、B两类科研项目的总资金不超过1亿3200万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设研发一个A类科研项目所需的资金是x万元，则研发一个B类科研项目所需的资金是（x+75）万元， 根据题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意． 答：研发一个A类科研项目所需的资金是300万元； （2）设该公司投资研发y个A类科研项目，则资研发（40﹣y）个B类科研项目， 根据题意得：300y+（300+75）（40﹣y）≤13200， 解得：y≥24， ∴y的最小值为24． 答：该公司投资研发A类科研项目至少是24个． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．（8分）从2025年春季学期开始，海南全省义务教育学校课间休息时间调整为不少于15分钟．东方市某校为了落实“课间十五分钟”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个项目：A．呼啦圈；B．青蛙跳；C．跳绳；D．吹号鼓．为了解学生对每个项目的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了　40　 名学生，抽到“C．跳绳”　8　 人； （2）跳绳项目所对应扇形的圆心角为　72　 度； （3）吹号鼓项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率是　　 ； （4）为了增强学生的体质，请你向学校负责人提一条合理的建议． 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数；求出C组的人数，补全条形统计图即可； （2）用360°乘以本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案； （4）根据题意提出合理化的建议即可． 【解答】解：（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人）， “C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人）．故答案为：40，8； （2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°72°； 故答案为：72； （3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为； （4）建议学校增加课外活动中项目． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验． 23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点C坐标得到线段OC长，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（1，2），B（n，﹣1）两点， ∴m＝1×2＝n×（﹣1）， ∴n＝﹣2，m＝2， ∴反比例函数解析式为：y， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）在一次函数y＝kx+b的图象上， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：y＝x+1． （2）在一次函数y＝x+1中，令y＝0，则x＝﹣1， ∴OC＝1， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式kx+b的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 24．（8分）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30m到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为40°，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，，） （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度．（结果精确到1m） 【分析】（1）在Rt△AMB中，根据求解即可； （2）连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，先证明四边形AHBM是矩形，得到，BH＝30m，然后在Rt△BHC中，根据可求出CH的长，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵∠AMB＝90°， ∴， ∴无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离； （2）连接AC，过点B作BH⊥AC于点H， ∵AC是水平线， ∴AM⊥AC， ∵AM⊥BM， ∴四边形AHBM是矩形， ∴BH＝AM＝30m，MN∥AC，， ∴∠C＝∠NBC＝40°， ∵BH⊥AC， ∴， ∴， ∴， ∴峡谷AC的宽度约为53m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为10，，求BD的长． 【分析】（1）由OC＝OA得∠OCA＝∠A，由角平分线的定义以及圆周角定理可得∠OCA＝∠OCD、∠A＝∠D，则∠OCD＝∠D，所以OC∥DE，则∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，即可证明结论； （2）由⊙O的半径为10，AB是⊙O的直径得AB＝20，∠ACB＝90°，由，求得，再证明∠BCE＝∠A，则，求得则，而，所以，求得，然后根据线段的和差即可解答． 【解答】（1）证明：∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A， ∵CO平分∠ACD， ∴∠OCA＝∠OCD， ∵， ∴∠A＝∠D， ∴∠OCD＝∠D， ∴OC∥DE， ∵CE⊥DB，交DB延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵⊙O的半径为10，AB是⊙O的直径， ∴AB＝2×10＝20，∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠D， ∴， ∴， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠BCE+∠OCB＝∠OCE＝90°，∠A+∠OBC＝90°， ∴∠BCE＝∠A， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴BD的长为． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定定理、解直角三角形等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形是解题的关键． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，对称轴直线l为x＝1． （1）求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． （2）设点C关于直线l的对称点为点D，P是直线l上的一个动点，是否存在点P，使PA﹣PD有最大值？若存在，求出PA﹣PD的最大值；若不存在，请说明理由． （3）M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【分析】（1）先根据抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，求出b，再根据抛物线经过点（2，3），求出c，然后代回b，c，写出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点坐标； （2）先求出A，B，C的坐标，再利用轴对称的性质说明P′C＝P′D，PC＝PD，然后分“点P′不与点P重合”、“点P′与点P重合”说明PA﹣PD最大值为AC，利用勾股定理求出AC即可； （3）先求出点K的纵坐标，再设M（m，﹣m2+2m+3），可得出点T的横坐标为m，然后证明△MNT∽△CMK，列出比例式结合三角函数求出，从而可得N的横坐标为1，再利用，得到关于m的方程求解，求出M点的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+c． 又∵此抛物线经过点（2，3）， ∴3＝﹣4+2×2+c， ∴c＝3， ∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3． 由于y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标是（1，4）． （2）存在点P，使PA﹣PD有最大值；理由如下： 如图1，连接AC并延长，交直线l于点P，在直线l上任取一点P′，连接CP′． 已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， 当x＝0时，得y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴， ∵点C关于直线l的对称点为点D， ∴P′C＝P′D，PC＝PD． 当点P′不与点P重合时，P′A﹣P′D＝P′A﹣P′C＜AC， 当点P′与点P重合时，PA﹣PD＝PA﹣PC＝AC，此时PA﹣PD的值最大，即为AC的长． ∴PA﹣PD的最大值为； （3）如图2，过点M作KT∥y轴，过点C作CK⊥KT于点K，过点N作NT⊥KT于点T，则点K的纵坐标为3． 设M（m，﹣m2+2m+3），则点T的横坐标为m， ∵MN⊥CM， ∴∠NMT＝90°﹣∠CMK＝∠KCM， 又∵∠T＝∠K＝90°， ∴△MNT∽△CMK， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点N在直线l（即直线x＝1）上， ∴点N的横坐标为1， ∴，即， ∴或， 解得m＝3或或m＝﹣1或， ∴点M的坐标为（3，0）或或（﹣1，0）或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $