专题06矩形易错必刷题型专项训练(15大题型共计45道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形高频易错点，通过15类题型系统梳理性质判定及综合应用，提炼题型特征与易错关键，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质与判定及综合应用|15类易错题型|每题型明确特征与易错点，如折叠问题强调全等关系，动点问题注重分段讨论|从性质理解（求角度/线段/面积）到判定（证明/添条件），再到综合应用（坐标系/折叠/动点/最值）的递进链条|

专题06矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.矩形性质理解 题型02,直角三角形斜边中线定理 题型03.矩形性质求角度 题型04.矩形性质求线段长 题型05.矩形性质求面积 题型06.由矩形的性质证明 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型08.矩形与折叠问题 题型09.证明四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形与动点问题 题型15.矩形与最值问题 易错必刷题型01.矩形性质理解 题型特征：辨析平行四边形与矩形专属性质，判断命题正误、区分共有性质与特有性质 易错点：混淆两类图形性质，错将矩形独有的四个直角、对角线相等，当作所有平行四边形通用性质 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 3．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02,直角三角形斜边中线定理 题型特征：直角三角形内，利用中线与斜边数量关系，计算线段长度、完成线段等量替换 易错点：忽略定理只适用于直角三角形，随意套用；混淆斜边中线、直角边中线与三角形的高 4．有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点之间的距离为______． 5．如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 6．如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点A作射线． (1)尺规作图：在射线上找一点F，连结，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）的作法，若，求的长． 易错必刷题型03.矩形性质求角度 题型特征：借助矩形直角、对角线平分且相等，构造等腰三角形，计算内角度数、对角线夹角 易错点：看不出对角线拆分形成的等腰三角形，不会用等边对等角推导角度；遗忘矩形自带90°直角条件 7．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 8．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则的大小是（     ）． A． B． C． D． 9．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 易错必刷题型04.矩形性质求线段长 题型特征：结合矩形边长关系、对角线性质，搭配勾股定理，求边长、对角线及分段线段长度 易错点：认错对角线平分后的相等线段；勾股定理代入边长对应错误，计算数值失误 10．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为（    ） A．9 B．12 C． D． 11．如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，将该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，的延长线过点．若，，，则的长为________． 12．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 易错必刷题型05.矩形性质求面积 题型特征：依据已知边长、线段条件，计算矩形总面积或分割后局部图形面积 易错点：不会选取互相垂直的邻边计算面积；底和高匹配错误，直接套用错误边长相乘 13．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 14．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 15．如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 易错必刷题型06.由矩形的性质证明 题型特征：已知图形为矩形，证明线段相等、角相等、两线平行、三角形全等类大题 易错点：证明书写缺少矩形性质依据；乱用平行四边形通用性质，推理步骤不严谨、失分严重 16．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 18．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若分米，分米，求的长． 易错必刷题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型特征：已知部分顶点坐标，利用矩形对边平行、邻边垂直特征，求解其余顶点坐标 易错点：混淆各象限坐标正负符号；不会利用平行、垂直关系推导坐标，凭直觉答题 19．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 21．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 易错必刷题型08.矩形与折叠问题 题型特征：矩形沿直线折叠，依托折叠全等关系，求折叠后线段、角度、重叠线段长度 易错点：无法准确找出折叠前后对应边、对应角；不会利用全等边长相等列方程解题 22．如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 23．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 24．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 易错必刷题型09.证明四边形是矩形 题型特征：根据边角、对角线条件，完整推理判定四边形为矩形 易错点：跳过先证平行四边形的必要步骤，直接用单一条件判定矩形，判定逻辑不成立 25．如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 26．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．添加下列条件中的一个，能够使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，分别为，的中点，过点作，垂足为，延长交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 易错必刷题型10.添条件使四边形是矩形 题型特征：给定普通四边形或平行四边形，补充一个有效条件，使其判定为矩形 易错点：所添条件重复、无效或不充分；分不清平行四边形与任意四边形的判定规则 28．要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 29．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 30．如图，点在的边上，，请从这三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，证明为矩形． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为矩形，再综合几何知识整体求解各类角度 易错点：成功判定矩形后，不会立刻套用矩形直角、对角线性质，解题思路中断卡顿 31．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 32．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 易错必刷题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定矩形，再结合线段关系、勾股定理综合计算线段长度 易错点：判定图形后遗忘对角线相等且平分的核心结论；线段等量代换过程出错 34．如图，跷跷板正中间的支撑杆垂直于地面，支撑杆高为．当跷跷板一端与地面接触时，另一端达到最高，则最高点距离地面的高度为______cm． 35．如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 36．在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 易错必刷题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型特征：综合判定与性质，计算原图形、折叠图形、分割图形的面积大小 易错点：判定矩形后误用普通四边形面积公式；折叠题型不会分析面积变化关系 37．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形各边的中点，如果，，那么四边形的面积为() A．48 B．30 C．15 D．60 38．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 39．如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 易错必刷题型14.矩形与动点问题 题型特征：矩形边上设置移动动点，探究线段、面积、图形形状随动点变化的规律 易错点：不按动点位置分段讨论；无视动点运动起止边界，造成答案漏解、多解 40．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 41．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 42．如图，中，，，垂足为，点是边上一个动点，过点分别作，，垂足分别为，，过点作交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，，则当最短时，的长为_____． 易错必刷题型15.矩形与最值问题 题型特征：在矩形范围内，利用垂线段最短、轴对称模型求解最短线段、最小周长 易错点：识别不出几何最值题型模型；不会转化折线线段，找不到最短路径位置 43．如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 44．如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 45．在矩形中，，，在上取一点，将沿直线折叠，得到． (1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长； (2)如图2，当时，若在线段上有一动点P，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.矩形性质理解 题型02,直角三角形斜边中线定理 题型03.矩形性质求角度 题型04.矩形性质求线段长 题型05.矩形性质求面积 题型06.由矩形的性质证明 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型08.矩形与折叠问题 题型09.证明四边形是矩形 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形与动点问题 题型15.矩形与最值问题 易错必刷题型01.矩形性质理解 题型特征：辨析平行四边形与矩形专属性质，判断命题正误、区分共有性质与特有性质 易错点：混淆两类图形性质，错将矩形独有的四个直角、对角线相等，当作所有平行四边形通用性质 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 2．如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】观察图形可知，阴影部分由两个三角形组成，这两个三角形的底边都在矩形的下边上，且底边之和等于矩形的长，高均等于矩形的宽，利用三角形面积公式及乘法分配律即可求解． 【详解】解：设左边阴影三角形的底为，右边阴影三角形的底为，高为， 由图可知，两个阴影三角形的底边之和等于矩形的长，即， 两个阴影三角形的顶点都在矩形的上边上，底边都在矩形的下边上， 两个阴影三角形的高均等于矩形的宽，即， ． 3．数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意； C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形，故不符合题意． 易错必刷题型02,直角三角形斜边中线定理 题型特征：直角三角形内，利用中线与斜边数量关系，计算线段长度、完成线段等量替换 易错点：忽略定理只适用于直角三角形，随意套用；混淆斜边中线、直角边中线与三角形的高 4．有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点之间的距离为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 为的中点，的长为， ． 5．如图，中，．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线交于点E．若点F为的中点，连接，则的长是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知：是的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：是的角平分线， ∵． ∴， ∵点F为的中点， ∴． 6．如图，是等腰直角三角形，是斜边上的中线，过点A作射线． (1)尺规作图：在射线上找一点F，连结，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）的作法，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点C为原点，为半径画弧交与点F，连接即可． （2）作于点H．由等腰三角形和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出， ，．再证明是等腰直角三角形，则，再由勾股定理求出，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：下图即为所作图形： （2）解：如图，作于点H． ∵是等腰直角三角形，是中线， ， ∴， ，． ∵， ∴．， ∴． ∵， 在中，， ∴． 易错必刷题型03.矩形性质求角度 题型特征：借助矩形直角、对角线平分且相等，构造等腰三角形，计算内角度数、对角线夹角 易错点：看不出对角线拆分形成的等腰三角形，不会用等边对等角推导角度；遗忘矩形自带90°直角条件 7．如图，是矩形的对角线，平分交于点E．若，则___． 【答案】/55度 【分析】首先由矩形的性质得到，，由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴． 8．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则的大小是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形折叠的性质，矩形的性质，由折叠的性质可得，根据平角的定义得到，继而得到，，根据两直线平行内错角相等得到． 【详解】解：由折叠的性质，可知：， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 9．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即证四边形是矩形； （2）根据勾股定理求得，根据平分，以及得出得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ，    平分 ， 的面积． 易错必刷题型04.矩形性质求线段长 题型特征：结合矩形边长关系、对角线性质，搭配勾股定理，求边长、对角线及分段线段长度 易错点：认错对角线平分后的相等线段；勾股定理代入边长对应错误，计算数值失误 10．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为（    ） A．9 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】先推导出，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】解：在矩形中，， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在矩形纸片中，点，分别在边，上，将该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，的延长线过点．若，，，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，得，求解即可； 【详解】解：∵矩形，，， ∴，， 该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，且， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质设，则，由作弧可得，在中，根据勾股定理列方程求解即可； （2）由作图可知是线段的垂直平分线，则，进而得到，根据矩形的性质得到，结合等腰三角形的性质得到，设，则，，进而求出，根据三角形外角和定理得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、、， 设，则， 以为圆心，长为半径作弧，交于点， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的长为5； （2）证明：由作图可知：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是矩形， ， 、， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 是的外角， ， 即． 【点睛】本题考查矩形的性质、垂直平分线的尺规作图和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、外角和定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 易错必刷题型05.矩形性质求面积 题型特征：依据已知边长、线段条件，计算矩形总面积或分割后局部图形面积 易错点：不会选取互相垂直的邻边计算面积；底和高匹配错误，直接套用错误边长相乘 13．如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 15．如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 易错必刷题型06.由矩形的性质证明 题型特征：已知图形为矩形，证明线段相等、角相等、两线平行、三角形全等类大题 易错点：证明书写缺少矩形性质依据；乱用平行四边形通用性质，推理步骤不严谨、失分严重 16．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 17．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，对角线相等，可得，推出，根据题意，求出，，根据三角形的内角和，求出，再根据，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，是对角线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形，球员林昊沿跑位，防守队员谷文杰沿拦截，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若分米，分米，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10分米 【分析】（1）利用矩形的性质以及证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：矩形， ，，， ， ， ， 又， ， ． （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， 分米． 易错必刷题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型特征：已知部分顶点坐标，利用矩形对边平行、邻边垂直特征，求解其余顶点坐标 易错点：混淆各象限坐标正负符号；不会利用平行、垂直关系推导坐标，凭直觉答题 19．在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，点，，，则这个矩形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得、的长，最后即可求解面积． 【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示， ， 根据矩形的性质得到点的位置， ∴，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置． 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 21．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，，点B在第一象限，D是长方形边上的一个动点，设，且，连接．    (1)长方形的周长为　 　． (2)若点D在长方形的边上，且线段把长方形的周长分成两部分，求点D坐标； (3)若点D在长方形的边上，将线段向下平移3个单位长度，得到对应线段（F为点D的对应点），连接，求三角形的面积（可用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）已知长度，即可求出周长； （2）由题意得：，根据此式可求出的长度，即可得出答案； （3）画出图形，根据即可求出． 【详解】（1）解：长方形的周长为：； （2）解：由题意得：， 设，则， ∴， 解得：， ∴； （3）解：如图，    由题意得：，， ∴，，， ∴； 【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练使用面积转化的方法表示三角形的面积是解题关键． 易错必刷题型08.矩形与折叠问题 题型特征：矩形沿直线折叠，依托折叠全等关系，求折叠后线段、角度、重叠线段长度 易错点：无法准确找出折叠前后对应边、对应角；不会利用全等边长相等列方程解题 22．如图，将矩形纸条如图折叠，若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】本题可利用矩形纸条对边平行的性质，结合折叠前后对应角相等的特点，通过平角的定义建立与的数量关系，进而求解的度数． 【详解】解：由图题意可得折痕为， ，令点是延长线上一点， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ． ， ， ． 23．如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，，然后可得，则有，设，则有，由勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：． 24．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 由 得 且 ，解得 ，，从而确定 ；再由矩形 的边 、 分别在 轴与 轴正半轴上，得 ，，进而确定 、 的坐标； （2） 设 ，由折叠性质得 ，，，进而 ；利用 ，，证 ，得 ，从而 ；在 中由勾股定理列方程 求出 ；再求出 、的长度，过 作 于 ，利用等面积法求出 ，进而求出 ，由 得 为等腰直角三角形，从而求出 ． 【详解】（1）解：， ，解得， ， 矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上， ， ; （2）解：设   由折叠得，，， ∴ ∵，    ∴ ∴ ， ∴    解得 ∴，   ∴   如图，过点G作于点I，    解得   ∴    ∴是等腰直角三角形 ∴ 易错必刷题型09.证明四边形是矩形 题型特征：根据边角、对角线条件，完整推理判定四边形为矩形 易错点：跳过先证平行四边形的必要步骤，直接用单一条件判定矩形，判定逻辑不成立 25．如图，在四边形中， ∵，且， ∴四边形是_______形． ， ∴四边形是_______形． 【答案】平行四边，矩 【分析】根据两组对边分别平行得到四边形是平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． 26．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．添加下列条件中的一个，能够使得四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的判定方法逐一判定即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故该选项符合题意． C、∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，但不能判定四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，但不能判定四边形是矩形，故该选项不符合题意． 27．如图，在中，，分别为，的中点，过点作，垂足为，延长交于点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理求得，结合可证得四边形是平行四边形，根据，即可得到平行四边形是矩形； （2）由三角形中位线定理求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，分别为，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：是的中位线， ， ， 四边形是矩形； ，， 在中， ． 易错必刷题型10.添条件使四边形是矩形 题型特征：给定普通四边形或平行四边形，补充一个有效条件，使其判定为矩形 易错点：所添条件重复、无效或不充分；分不清平行四边形与任意四边形的判定规则 28．要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：平行四边形中邻边相等可判定为菱形，只能说明平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则A错误； 选项B：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，则B正确； 选项C：平行四边形本身具有对角相等的性质，是平行四边形固有的性质，不能判定它是矩形，则C错误； 选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只能判定平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则D错误． 29．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 30．如图，点在的边上，，请从这三个选项①；②；③中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，证明为矩形． 【答案】(1)①或③ (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定条件，结合已知条件，判断三个选项中哪些能推出平行四边形为矩形，其中①和③可行，②不可行． （2）分别对添加条件①、③的情形进行证明，通过等腰三角形性质、平行四边形性质，推导出平行四边形的一个内角为，从而证明其为矩形；同时说明添加条件②无法证明的原因． 【详解】（1）解：添加的条件可以是：①或③． （2）证明：情形一：添加条件①， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵四边形是平行四边形， 四边形为矩形． 情形二：添加条件③ ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 说明：添加条件②无法证明， ∵， ∴恒成立（等腰三角形两底角相等）， 该条件是已知条件的直接推论，无法额外提供能推出四边形为矩形的信息，故无法证明． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为矩形，再综合几何知识整体求解各类角度 易错点：成功判定矩形后，不会立刻套用矩形直角、对角线性质，解题思路中断卡顿 31．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 32．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 33．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 易错必刷题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定矩形，再结合线段关系、勾股定理综合计算线段长度 易错点：判定图形后遗忘对角线相等且平分的核心结论；线段等量代换过程出错 34．如图，跷跷板正中间的支撑杆垂直于地面，支撑杆高为．当跷跷板一端与地面接触时，另一端达到最高，则最高点距离地面的高度为______cm． 【答案】80 【分析】过点D作于F，得四边形是矩形，推出，，，再证明，得到，进而得到． 【详解】解：如图，由题意得，， 过点D作于F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易证明四边形是矩形，进而得到，，接着利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，从而推出，当时，取得最小值，即取得最小值，在中，由勾股定理求出长，再利用“等面积法”求出长，进而求出的最小值． 【详解】解：连接， 、， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得， ， 即的最小值为． 36．在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）利用平行线的性质得，根据中点的性质可得，从而可证，进而得，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形； （2）根据已知条件先证平行四边形是矩形，再在中，运用勾股定理即可得，进而可得出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， 在中， ∴， ∴， 故的长为． 易错必刷题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型特征：综合判定与性质，计算原图形、折叠图形、分割图形的面积大小 易错点：判定矩形后误用普通四边形面积公式；折叠题型不会分析面积变化关系 37．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形各边的中点，如果，，那么四边形的面积为() A．48 B．30 C．15 D．60 【答案】C 【分析】根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为． 38．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 39．如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是正确构造三角形中位线进行求解． （1）连接，延长交于点H，可得是的中位线，是的中位线，再证明四边形为矩形，则，而，即可证明； （2）先由求出，然后证明出，即可求解，再证明，即可运用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：连接，延长交于点H， ∵四边形是矩形 ∴ 又 ∵点M、E、N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ 故； （2）解：由（1）得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的面积． 易错必刷题型14.矩形与动点问题 题型特征：矩形边上设置移动动点，探究线段、面积、图形形状随动点变化的规律 易错点：不按动点位置分段讨论；无视动点运动起止边界，造成答案漏解、多解 40．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是______． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 41．如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（  ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于点， 此时最小，即最小， ∵与关于对称， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， 则，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 42．如图，中，，，垂足为，点是边上一个动点，过点分别作，，垂足分别为，，过点作交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，，则当最短时，的长为_____． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质和垂线的定义可判断，从而证明四边形是矩形； （2）连接，由可得，结合，即可得到； （3）连接、，由矩形的性质可得，因此只需研究的最短的情况．结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，最后再一次使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）证明；∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接、， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时最短， 如图，， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 易错必刷题型15.矩形与最值问题 题型特征：在矩形范围内，利用垂线段最短、轴对称模型求解最短线段、最小周长 易错点：识别不出几何最值题型模型；不会转化折线线段，找不到最短路径位置 43．如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，得到，根据垂线段最短，可得当时，最小，再结合，即可求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 44．如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值， 此时， ∴的最大值为． 45．在矩形中，，，在上取一点，将沿直线折叠，得到． (1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长； (2)如图2，当时，若在线段上有一动点P，求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意得出，过点P作，得出，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值，过点E作，然后利用折叠的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上， ∴，，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 过点P作，如图所示： ∴， ∴， 如图，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值， 过点E作， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $