6.3用关系式表示变量之间的关系 课件2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“用关系式表示变量之间的关系”，通过三角形面积、圆锥体积公式的情境引入和猜牌游戏互动导入，承接变量概念，以图形变化和实际问题为支架，引导学生探索变量关系。 其亮点在于情境化与互动性结合，如猜牌游戏和低碳生活排放量计算实例，培养模型意识和应用意识。通过三角形、圆锥变化探究，发展抽象能力和符号意识。课堂小结结构化归纳关系式特征和求值方法，助力学生理解，教师可高效教学。

第六章 变量之间的关系 6.3 用关系式表示变量之间的关系 学习目标 1. 经历探索某些图形中变量之间关系的过程,进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号意识. 2. 能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想. 3. 能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系. 情境引入 (2)你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ r h 思考：(1)确定一个三角形面积的量有哪些？ D B C A 三角形的底和高. 其中的字母表示什么？ 构建动场 小游戏——猜牌的点数 游戏规则：每组找一位同学从一副没有大小王的52张扑克牌中任意抽出一张，展示给本组同学，但不要让老师看到点数。请本组同学将抽到的牌的点数乘2，然后加4，所得的和再除以2，最后减3，并告诉老师最终的结果，老师将猜出这组同学抽到的牌的点数。 构建动场 分析变化中的三角形 如图，△ABC底边BC上的高是 6 cm.当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化。 （1）当BC变化时，哪些量随之发生了变化，哪些量不变？ 如：三角形的底边BC长度发生了变化，三角形的高不变。 （2）当点C从右向左移动时，△ABC的面积如何变化？你能解释其中的原因吗？ 三角形的面积变小了，因为三角形的底边长度变小了，三角形的底边上的高没有发生变化。 新知探究 探究一：用关系式表示变量间的关系 如图，△ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的？ 解：(1)△ABC底边BC的长度是自变量，△ABC的面积是因变量. 当底边长减小时，三角形的面积减小. (2) 如果三角形的底边长为 x (单位：cm)，那么三角形的面积 y (单位：cm2) 如何表示? (3) 在这个变化过程中，取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定吗? 与同伴进行交流. A B C C C C y＝ 当 x＝9 时，y＝27. 所以取定一个底边 x 的值，面积 y 的值能确定. 新知探究 y=3x表示了上图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式． 关系式是我们表示变量之间关系的另一种常用方法，如下图，利用关系式（如y=3x），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 观察思考 如图所示，圆锥的高是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化。 (1) 自变量是圆锥的底面半径， 因变量是圆锥的体积； (1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? 底面半径增大时，圆锥的体积也增大。 解： （1）除了高不变、底边发生变化能引起三角形面积的变化外，还有怎样的 变化可以引起三角形面积的变化？ 构建动场 （2）你能根据“当底边不变，高发生变化时也可以引起三角形面积的变化”设计一个变化过程，包含一个自变量和一个因变量，并写出这两个变量之间的关系式吗？ 底边不变、高变也能引起三角形面积的变化。 如：△ABC底边BC的长为 10cm，底边BC上的高是一个不确定的值。 换个角度分析 y=3x表示了右图中 和 之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式。 D B 三角形面积 y 三角形底边长 x 注意：关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，如 y=3x，我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值（如下图）。 构建动场 成果总结 如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. 新知探究 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？ 解:(1)自变量:圆锥的底面半径,因变量:圆锥的体积. 当底面半径增大时，圆锥的体积增大. (2)如果圆锥底面半径为r(单位:cm) ,那么圆锥的体积 V(单位:cm3)如何表示？ (3)在这个变化过程中,取定一个底面半径r的值,体积 V的值能确定吗?与同伴进行交流. (3)能确定. (2)V=. 新知探究 知识归纳 用关系式表示两个变量之间的关系： 用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常用含有自变量(用字母表示)的代数式表示因变量(也用字母表示)，这样的数学式子(等式)称为关系式，这种表示两个变量之间的关系的方法称为关系式法. 关系式的基本特征： (1)等式的左边只有因变量，右边是关于自变量的代数式； (2)等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的量都是常量； (3)自变量可在允许的范围内任意取值. 尝试交流 你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 (1) 你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? 解：(1) y = 0.785x ，x表示用电量，y表示二氧化碳排放量。 自主学习，交流探究 你来出题我来做 D B （1）思考圆柱中哪些量的变化能引起体积的变化？ （2）请根据圆柱的变化设计一个变化过程，其中包含一个自变量和一个因变量，并要求同伴写出这两个变量之间的关系式。（设计完题目后与同伴交换解答，解答结束后再交换批改） 自主学习，交流探究 如图，圆锥的高度是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时， 圆锥的体积也随之发生了变化。 D （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？ 圆锥的底面半径是自变量，圆锥的体积是因变量。 当底边半径增大时，圆锥的体积也随之增大。 （2）如果圆锥底面半径为r（单位：cm），那么圆锥的体积V（单位：cm3）如何表示？ 观察·思考 新知探究 知识归纳 （1）利用公式写出变量之间的关系，例如图形的体积、面积或周长的计算公式等. （2）根据表格所列的数据写出变量之间的关系式； （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式. 求两个变量之间关系式的常见类型： 新知探究 思考：用关系式表示两个变量之间的关系有什么优点和缺点？ 优点：能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系； 缺点：在实际问题中，有些变量之间的关系不一定能用关系式表示出来. 知识归纳 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 (2) 随着耗电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的? (2) 耗电量每增加 1 kW·h，二氧化碳排放量增加0.785 kg。 新知探究 (3)当用电量为100 kW·h时，二氧化碳排放量是多少? (4)小明家本月大约用电 110 kW·h、耗油 75L、用天然气20m3、用自来水 5m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和。 (3)0.785×100=78.5kg. 110×0.785+75×2.7+20×0.19+5×0.91=86.35+202.5+3.8+4.55=297.2(kg), 即小明家这几项的二氧化碳排放量总和约为297.2kg. 观察·思考 如图，圆锥的高度是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时， 圆锥的体积也随之发生了变化。 D B （3）这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗？ 能确定。 自主学习，交流探究 自主学习，交流探究 一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表： D B 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量（单位：kW·h）×0.785 开私家车（燃油车） 耗油量（单位：L）×2.7 家用天然气 用气量（单位：m3）×0.19 家用自来水 用水量（单位：m3）×0.91 （1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗？其中的字母表示什么？ （2）随着用电量的增加，二氧化碳的排放量是如何变化的？与同伴进行交流。 （3）当用电量为100 kW·h时，二氧化碳的排放量为多少？ 如：w=0.785a，其中，a表示用电量，w表示家居用电的二氧化碳排放量。 二氧化碳的排放量随着用电量的增加而增加。 100×0.785=78.5（kg）。 尝试·交流 新知探究 根据关系式求值的方法： (1)已知自变量,利用关系式求因变量的值,实际上就是求代数式的值; (2)利用关系式求自变量的值,实际上就是求方程的解. 注意:在一些实际问题中,自变量只能取某个范围内的值. 知识归纳 课堂小结 用关系式表示变量之间的关系 关系式是用含自变量的代数式表示因变量的等式. 关系式的基本特征： (1)等式的左边只有因变量，右边是关于自变量的代数式； (2)等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的量都是常量； (3)自变量可在允许的范围内任意取值. (1)已知自变量,利用关系式求因变量的值,实际上就是求代数式的值; (2)利用关系式求自变量的值,实际上就是求方程的解. 关系式法 根据关系式求值 谢谢 $