福建莆田第五中学九华分校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一下学期期中考数学试卷，涵盖复数、向量、解三角形、立体几何等核心知识，通过基础题巩固概念、能力题发展推理与空间想象、应用题培养数学建模，如海域救援情境题（第7题）与浮球表面积计算（第17题），体现用数学眼光观察、思维推理、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数共轭、向量平行、解三角形、斜二测直观图|基础概念辨析，如第6题直线与平面平行命题判断| |多选题|3|复数运算、空间几何体性质、向量投影|易错点辨析，如第10题棱台、圆柱母线概念判断| |填空题|3|向量模、圆锥体积、正方体中四棱锥外接球|空间想象与计算结合，第14题需线面平行性质找P点| |解答题|5|复数实部求解、向量夹角、浮球体积表面积、解三角形、直三棱柱证明与体积|综合性强，如第19题结合线面平行证明与体积计算，第17题浮球模型应用|

莆田第五中学九华分校2025-2026学年下学期期中考 高一（年级）数学 （科目）试卷 命题人：方爱平 审题人：刘伟杰 一、单选题 1．复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 3．在中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 4．在中，D为的中点，E为上一点，则（ ） A. B. C. D. 5．如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（    ） A. B. C. D. 2 第7题图 第5题图 6．下列命题中，正确的是（   ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 D．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 7．如上图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（ ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 8．在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①若，则一定为等腰三角形 ②若，则一定为锐角三角形 ③若，，则面积的最大值为 A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）= i2020，则下列说法错误的是（ ） A. 复数z的模为 B. 复数z的共轭复数为 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 10．下列关于空间几何体的论述，不正确的是（   ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线 D．圆台的轴截面不可能为直角梯形 11．已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 三、填空题 12．已知，为相互垂直的单位向量，则 . 13．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 14．如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________． 四、解答题 15．已知复数是实数，是虚数单位． （1）求复数； （2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16．已知向量，. （1）当时，求的值； （2）当，，求向量与的夹角. 17．如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． (1)求这种“浮球”的体积； (2)现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 19.如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC中点． （1）判断直线PM与的位置关系. （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 期中考高一年段数学科目试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《莆田第五中学九华分校2025-2026学年下学期期中考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D C C A B ABC ABC 题号 11 答案 AB 1.D【详解】， 因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 2.A【详解】已知向量，，若，所以，则实数. 3.A【详解】由题可知：，所以. 4.D【详解】由已知，D为的中点，所以， 所以. 5.C【详解】在直观图中，，在三角形中，过点作⊥于点，则，，故，还原直观图得原图如下， ，由得，所以的面积为. 6.C【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 对于D，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 7.A【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得（海里）． 8.B【详解】①由，根据正弦定理得，则，所以或，则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故①错误； ②由，则，所以为锐角，此时不一定为锐角三角形，故②错误； ③由余弦定理得，则，当且仅当时等号成立， 则，故③正确. 9.ABC【详解】解：复数满足，整理得． 对于A：由于，故，故A错误； 对于B：由于，故，故B错误； 对于C：复数的虚部为，故C错误； 对于D：复数在复平面内对应的点为，故该点在第一象限内，故D正确； 10．ABC【详解】         对于A，如图1利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，如图2该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误； 对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误； 对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形， 这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线形成对称的等腰梯形， 故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确． 11.AB【详解】对于，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，同向为，故B正确； 对于在上的投影向量为，故C错误； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误． 12.2 【详解】，则， 13．/ 【详解】设圆锥母线长为，底面圆半径长， 因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为， 所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和， 所以，所以，则圆锥的高， 所以. 14. 【详解】连接BD交CE于O，连接OF，则， 因为平面，平面，平面平面，所以，． ∵F是的中点，，所以， ∴三棱锥外接球直径为，所以所求表面积为． 15.（1） （2）. 【小问1详解】 因为，所以. 又因为是实数，所以，所以.所以. 【小问2详解】 因为，所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 16.（1）或 （2） 【小问1详解】 向量，，则， 由，可得， 即，即，解得或. 【小问2详解】 由，，则， 由，可得，解得， 所以，，， 又，所以. 17．(1)(2)元 【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径， 圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为， 圆柱的体积，∴该“浮球”的体积是； （2）根据题意，上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒的侧面积为，∴“浮球”的表面积； 所以共需花费（元）. 18．（1） （2） 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又，，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得，所以. 19.（1）异面 （2）证明见解析 （3） 【小问1详解】 直线PM与异面，理由如下： 由图可知，平面，平面，且，所以直线与异面. 【小问2详解】 连接，在直三棱柱中，因为为的中点，所以，且， 因为，分别，的中点，所以，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面， 故平面. 【小问3详解】 在直三棱柱中，平面平面， 因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，则点到底面的距离即为长，又因为N，P分别为AC，BC的中点，且，则. 第 2 页 共 12 页 期中考高一年段数学科目答案 学科网（北京）股份有限公司 $