专题07菱形易错必刷题型专项训练(14大题型共计42道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形高频易错点，以14类题型构建“性质应用-判定证明-综合拓展”递进训练体系，提炼易错关键与解题策略，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|3题/题型|邻角互补、对角线性质、面积公式|从边角关系到对角线特性，构建性质应用逻辑链| |判定证明|3题/题型|先证平行四边形再证菱形，对角线垂直判定|判定定理与性质互逆，形成推理闭环| |综合拓展|8题/题型|动态问题分类讨论、折叠全等性质、坐标系对称|从静态计算到动态探究，衔接中考综合考法|

专题07菱形易错必刷题型专项训练 本专题汇总菱形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.补充条件使四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求角度 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与折叠问题 题型12.菱形与坐标系综合 题型13.菱形与最值问题 题型14.菱形存在性问题 易错必刷题型01.利用菱形的性质求角度 典题特征：已知菱形边角条件，直接计算内角度数。 易错点：① 忽略菱形邻角互补的性质；② 误用对角线平分内角的规律； ③ 邻角、对角的位置判断错误。 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 3．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 易错必刷题型02.利用菱形的性质求线段长 典题特征：依据菱形边、对角线性质，计算线段长度。 易错点：① 混淆半对角线与边长的关系；② 不会结合勾股定理进行计算；③ 多解题型容易遗漏答案。 4．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点E，，．则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，对角线、交于点，且平分，，垂足为点E． (1)求证：是菱形． (2)若，求的长． 易错必刷题型03.利用菱形的性质求面积 典题特征：已知边长、对角线、高，求解菱形面积。 易错点：① 用对角线求面积时忘记除以2；② 错把边长当作菱形的高使用； ③ 两种面积公式混用出错。 7．如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是______． 8．如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 9．如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的周长． 易错必刷题型04.利用菱形的性质证明 典题特征：利用菱形的性质，证明角相等、线段相等或平行关系。 易错点：① 误用菱形性质（如混淆对角线与边的关系）；② 证明过程跳步，逻辑链断裂；③ 未利用菱形对称性，导致证明过程冗余。 10．如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 11．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是______． 12．如图，菱形，过点，分别作，交，的延长线于点，． (1)求证：四边形为矩形． (2)连接，交于点，若，求菱形的周长． 易错必刷题型05.证明四边形是菱形 典题特征：根据已知条件，推理证明图形为菱形。 易错点：① 未先证平行四边形，直接判定菱形；② 仅凭对角线垂直就判定菱形； ③ 与矩形判定定理相互混淆。 13．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 14．如图，四边形中，E，F，G，H分别是边的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（    ）． A． B． C． D． 15．如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)已知平行四边形的面积为36，，，求． 易错必刷题型06.补充条件使四边形是菱形 典题特征：给定基础四边形，添加条件使其成为菱形。 易错点：① 补充条件与题干重复，属于无效条件；② 条件不充分，无法推出菱形； ③ 几何条件表述不严谨。 16．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 17．如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 18．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 易错必刷题型07.由菱形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定菱形，再综合性质计算线段长度。 易错点：① 判定错误，导致后续计算全部出错；② 不会利用菱形等边关系进行等量代换；③ 复杂图形中看错对应边与对角线。 19．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 20．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 21．如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 易错必刷题型08.由菱形的性质与判定求角度 典题特征：证出菱形后，综合推导各类夹角、内角。 易错点：① 判定失误，套用错误的角度规律；② 复合图形中角度推导逻辑混乱； ③ 内外角换算出现偏差。 22．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 23．如图所示，E，F分别在和上，，则________． 24．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 易错必刷题型09.由菱形的性质与判定求面积 典题特征：判定菱形后，求解整体或分割图形的面积。 易错点：① 判定错误，用错面积计算公式；② 分割图形时找错底边长与高；③ 等面积转换思路不清晰 25．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为______． 26．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 27．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是36，求与之间的距离． 易错必刷题型10.菱形与动点问题 典题特征：菱形边上的动点，随时间求解相关几何量。 易错点：① 不划分运动阶段，直接列式计算；② 忽略动点取值范围，出现无效解； ③ 动态线段的代数式列写错误。 28．如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 29．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 30．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 易错必刷题型11.菱形与折叠问题 典题特征：菱形沿直线折叠，求线段、角度、面积。 易错点：① 不会利用折叠前后图形的全等性质；② 折痕位置判断出现偏差；③ 折叠直角模型不会使用勾股定理。 31．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 32．如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对 33．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 易错必刷题型12.菱形与坐标系综合 典题特征：平面直角坐标系内，结合菱形求坐标、边长、面积。 易错点：① 坐标正负符号书写错误；② 距离与中点公式运用失误；③ 不会借助菱形的对称性解题。 34．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 35．在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，且垂直于y轴，，点P是坐标平面内一点，，则满足条件的点P的坐标为________． 36．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 易错必刷题型13.菱形与最值问题 典题特征：定点搭配动点，求解最短距离、最小周长。 易错点：① 不会作对称点构造最短路径；② 混淆“垂线段最短”与“两点之间线段最短”的适用场景；③ 忽视菱形边界限制，找错最值点。 37．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 38．在菱形中，，，P为对角线上的一个动点（不与B、D重合），连接，则的最小值是_______． 39．如图1，在四边形中，对角线相交于点O且互相垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，点E和点F分别为上的动点，则的长为 ，菱形的面积为 ，的最小值为 ． 易错必刷题型14.菱形存在性问题 典题特征：已知定点，探究四点构成菱形的情况。 易错点：① 不分“已知线段为边/对角线”两类情况讨论，易漏解；② 列方程计算过程中出现运算错误；③ 得出结果后不检验是否符合题意。 40．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 41．已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 42．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形易错必刷题型专项训练 本专题汇总菱形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.补充条件使四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求角度 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与折叠问题 题型12.菱形与坐标系综合 题型13.菱形与最值问题 题型14.菱形存在性问题 易错必刷题型01.利用菱形的性质求角度 典题特征：已知菱形边角条件，直接计算内角度数。 易错点：① 忽略菱形邻角互补的性质；② 误用对角线平分内角的规律； ③ 邻角、对角的位置判断错误。 1．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【答案】 【分析】先连接，再根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，得出，最后根据全等三角形的判定和性质，得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，． 垂直平分， ， ， ． ，，， ， ， ． 3．如图，在菱形中，，E是边上的动点，作交于点F，在上取点G，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明是等边三角形，即可求解； （2）根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， ； （2）证明：由（1）知，， 四边形为菱形， ，， ． ， ， ，． 是等边三角形， ，， ． ， ， ， ， ． 易错必刷题型02.利用菱形的性质求线段长 典题特征：依据菱形边、对角线性质，计算线段长度。 易错点：① 混淆半对角线与边长的关系；② 不会结合勾股定理进行计算；③ 多解题型容易遗漏答案。 4．如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点E，，．则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质可得，，再在中，由勾股定理解得，然后根据进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∴． 6．如图，在中，对角线、交于点，且平分，，垂足为点E． (1)求证：是菱形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，则，根据平分，得出，则 ，证出，即可证明平行四边形是菱形． （2）根据菱形的性质得出 ，，，在中，由勾股定理得 ，又，，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ ， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵平行四边形是菱形， ， ∴ ，，， 在中，由勾股定理得： ， 又，， ∴ ， 解得（或）． 易错必刷题型03.利用菱形的性质求面积 典题特征：已知边长、对角线、高，求解菱形面积。 易错点：① 用对角线求面积时忘记除以2；② 错把边长当作菱形的高使用； ③ 两种面积公式混用出错。 7．如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是______． 【答案】 4 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ． 8．如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，解题关键是利用中位线定理求出对角线长度，由勾股定理求出另一条对角线的长度，再结合菱形面积公式求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， E，F分别是，边上的中点， ， 在中，， ， ． 9．如图，四边形是菱形，，点，在上，，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长为． 【分析】（）连接，交于点，由菱形的性质可得，，，从而得，所以四边形是平行四边形，又，故平行四边形是菱形，从而求证； （）连接，交于点，由四边形是菱形，得，，，通过勾股定理求得，因为四边形是菱形，所以，，由勾股定理得，即可求出四边形的周长． 【详解】（1）证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的周长为． 易错必刷题型04.利用菱形的性质证明 典题特征：利用菱形的性质，证明角相等、线段相等或平行关系。 易错点：① 误用菱形性质（如混淆对角线与边的关系）；② 证明过程跳步，逻辑链断裂；③ 未利用菱形对称性，导致证明过程冗余。 10．如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 11．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质可得，，求得，，求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，菱形，过点，分别作，交，的延长线于点，． (1)求证：四边形为矩形． (2)连接，交于点，若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可； （2）设，（），则，再根据勾股定理得出，，列出方程，再解方程进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ． ，， ，， ， ∴四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ． 设，（）， ∵四边形是矩形． ∴， 在中，， ∵ ∴ 解得： ∴菱形的周长是． 易错必刷题型05.证明四边形是菱形 典题特征：根据已知条件，推理证明图形为菱形。 易错点：① 未先证平行四边形，直接判定菱形；② 仅凭对角线垂直就判定菱形； ③ 与矩形判定定理相互混淆。 13．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 14．如图，四边形中，E，F，G，H分别是边的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理∶ 且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 15．如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)已知平行四边形的面积为36，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程可得：，平分，即，根据平行四边形的性质得到，得到，进而得到，根据等角对等边得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，进而根据证明四边形为菱形即可； （2）设，可知，分别根据菱形的性质和平行四边形的性质得到，，根据平行四边形与菱形同高可知，进而得到，根据菱形面积公式求出，根据菱形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：由作图过程可得：，平分，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：设，由可知， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形与菱形同高， ∴， ∵平行四边形的面积为36， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 易错必刷题型06.补充条件使四边形是菱形 典题特征：给定基础四边形，添加条件使其成为菱形。 易错点：① 补充条件与题干重复，属于无效条件；② 条件不充分，无法推出菱形； ③ 几何条件表述不严谨。 16．已知四边形是平行四边形，要添加一个条件，使它成为一个菱形．在下列所给的条件中，不能添加的条件是（  ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】结合菱形、矩形的判定定理逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形 对于A选项，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于B选项，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于C选项，如图， 平分， ， 又∵， ， 可得， ，可知平行四边形是菱形，不符合要求； 对于D选项，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知平行四边形是矩形，不能成为菱形，符合要求. 17．如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 18．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，证明，得，，即可推出，则，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接，由或得是菱形，则、互相垂直平分，由得，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当或时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，（或）， ∴四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相垂直平分， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 易错必刷题型07.由菱形的性质与判定求线段长 典题特征：先判定菱形，再综合性质计算线段长度。 易错点：① 判定错误，导致后续计算全部出错；② 不会利用菱形等边关系进行等量代换；③ 复杂图形中看错对应边与对角线。 19．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 21．如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析． (2) (3)， 【分析】（1）由可证，可得，由菱形的判定可求解； （2）由平行四边形的性质可得，由菱形的性质可求，即可求解； （3）由面积关系可求，由勾股定理可求m的长，由面积关系可求的长，由勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： 在中， ∵， ∴． ∵为中垂线， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∴； （3）解：在中， ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ，即， ∴， ∴设，则，， 在中：，即， 在中：， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， 过点A作于点H， ， 解得， 在中，，， ， ， 在Rt中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 易错必刷题型08.由菱形的性质与判定求角度 典题特征：证出菱形后，综合推导各类夹角、内角。 易错点：① 判定失误，套用错误的角度规律；② 复合图形中角度推导逻辑混乱； ③ 内外角换算出现偏差。 22．如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 23．如图所示，E，F分别在和上，，则________． 【答案】80 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果． 【详解】解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 24．如图，在中，，D是中点，，是的角平分线，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质与判定定理是解题的关键． （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，进而可证明结论； （）先证明是等边三角形，则，由菱形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 易错必刷题型09.由菱形的性质与判定求面积 典题特征：判定菱形后，求解整体或分割图形的面积。 易错点：① 判定错误，用错面积计算公式；② 分割图形时找错底边长与高；③ 等面积转换思路不清晰 25．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的面积，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解中根据直角三角形的性质，求出，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，如图所示： 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 26．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 27．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是36，求与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到；由直角三角形的性质得到，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可求出的长，进而求出的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵在中，，是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 易错必刷题型10.菱形与动点问题 典题特征：菱形边上的动点，随时间求解相关几何量。 易错点：① 不划分运动阶段，直接列式计算；② 忽略动点取值范围，出现无效解； ③ 动态线段的代数式列写错误。 28．如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接交于点O，延长交于点N，连接，根据菱形的性质以及勾股定理可得，证明，可得，从而得到为的中位线，进而得到当最小时，最小，当时，最小，此时点N与点O重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点N与点O重合， 即的最小值为15， ∴的最小为． 29．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 30．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由判定菱形为正方形，根据得为中点，连接，通过等角推导证得，再利用线段和代换得出； （2）先由得为等边三角形，求出；作、，由角平分线性质得，证得；再由直角三角形性质得，分两种位置情况推导，得出恒为； （3）先作，利用等边三角形性质求出、的长度；设，在中用勾股定理列方程解得或；代入（2）的结论，结合已知，计算出的两个值，检验均符合题意． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 当时，菱形为正方形， ∴，平分，， ∵，即， ∴为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵菱形边长为，， ∴为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 如图，过作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，同理得， 分两种情况： ①当点在、之间时，点在、之间， ； ②当点在、之间时，点在、之间， ； 综上，； （3）解：如图，过点作于点， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵，， ∴， 解得或， 由（2）知， ∵， ∴当时，； 当时，； 经检验，两种情况均符合题意， ∴的长为或． 【点睛】本题是菱形中“定角夹定角”的经典定值与动点综合题，其核心是角平分线上的动点定角截两边的通用模型，菱形对角线天然是角平分线，在对角线上任取一点作与菱形内角相等的定角，该角与菱形两边相交形成的两条动线段之和为定值，解题的核心通法是过动点作角两边的双垂线，利用角平分线性质得等距，再证全等，实现动线段向定线段的转化． 易错必刷题型11.菱形与折叠问题 典题特征：菱形沿直线折叠，求线段、角度、面积。 易错点：① 不会利用折叠前后图形的全等性质；② 折痕位置判断出现偏差；③ 折叠直角模型不会使用勾股定理。 31．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 32．如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对 【答案】D 【分析】按照“四条边相等的四边形为菱形”定理判断；连接，过点C作，根据勾股定理求出即可求出的长度. 【详解】解：由折叠可知，，， 若， ∵， ∴， ∴，即四边形是菱形， 故结论I正确； 连接，过点C作，如下图所示，    ∵是平行四边形，， ∴， ∴， ∴ 又∵M是边的中点， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴的长度为， ∴Ⅱ正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行四边形的性质，掌握判定方法和性质是解题的关键. 33．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得，根据折叠的性质得出，则，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，根据菱形的性质可得，结合，即可证明，从而得证； （3）先求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形， ，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴，则 ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 在中， 设，则， 又∵ ∴ 解得： ∴． 易错必刷题型12.菱形与坐标系综合 典题特征：平面直角坐标系内，结合菱形求坐标、边长、面积。 易错点：① 坐标正负符号书写错误；② 距离与中点公式运用失误；③ 不会借助菱形的对称性解题。 34．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 35．在平面直角坐标系中，菱形的对角线交于原点O，且垂直于y轴，，点P是坐标平面内一点，，则满足条件的点P的坐标为________． 【答案】或或 【分析】根据菱形的性质，证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出菱形的面积，设与y轴交于E，求出的长，设，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 设与y轴交于E， ∵轴，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或0， ∵， ∴或或． 故答案为∶或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 36．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． (1)填空：点的坐标为 ， 度． (2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】(1)， (2)① ②见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． （2）①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 易错必刷题型13.菱形与最值问题 典题特征：定点搭配动点，求解最短距离、最小周长。 易错点：① 不会作对称点构造最短路径；② 混淆“垂线段最短”与“两点之间线段最短”的适用场景；③ 忽视菱形边界限制，找错最值点。 37．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，是对角线上的动点，若，，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、利用轴对称求最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是利用轴对称将折线段转化为直线段，再结合垂线段最短的性质确定最小值的位置，通过构造直角三角形求解线段长度． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴平分，，． 作点关于的对称点， ∵是的角平分线， ∴点落在上，连接，则由轴对称的性质得， ∴， ∴当点、、三点共线时，取得最小值为， 而当时，的长度为最小的线段长，即此时取得最小值． 过点作于点， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 由勾股定理得， ∴(舍去负根)， ∴，即的最小值为． 故选：D． 38．在菱形中，，，P为对角线上的一个动点（不与B、D重合），连接，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】以为斜边，在对角线下方构造等腰直角三角形，过点A作交直线于H，根据勾股定理求出，根据垂线段最短可知的最小值是，根据菱形的性质得到，进而得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边，在对角线下方构造等腰直角三角形，过点A作交直线于H， 可知，，， ∵， ∴（负值舍去）， ∵， ∴的最小值是， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 39．如图1，在四边形中，对角线相交于点O且互相垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若，点E和点F分别为上的动点，则的长为 ，菱形的面积为 ，的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)5，24， 【分析】（1）利用垂直平分线的性质以及等量代换可得即可证明结论； （2）由菱形的性质以及勾股定理可得；根据菱形的面积等于对角线积的一半列式计算即可；如图：连接，由菱形的性质可得点B关于对角线的对称点为 D，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可知当 D、E、F 三点共线且时，取得最小值，即点 D到的距离为最小值；然后用面积法求得的长即可解答． 【详解】（1）证明：∵对角线相交于点O且互相垂直平分， ∴是的垂直平分线， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴； ； 如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴点B关于对角线的对称点为 D， ∴， ∴， ∴当 D、E、F 三点共线且时，取得最小值，即点 D到的距离为最小值， ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 易错必刷题型14.菱形存在性问题 典题特征：已知定点，探究四点构成菱形的情况。 易错点：① 不分“已知线段为边/对角线”两类情况讨论，易漏解；② 列方程计算过程中出现运算错误；③ 得出结果后不检验是否符合题意。 40．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【答案】 【分析】结合题意得：，，当时，而，可得四边形为平行四边形，求解，当时，四边形为菱形，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 当时，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， 当时，四边形为菱形， 如图， 过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 41．已知如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上．以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．在第一象限内，线段上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？写出点Q的坐标__________ 【答案】或 【分析】分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴轴，，， ∵点D是的中点， ∴， 当O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， ∴； ②当四边形为菱形时，则， ∴， ∴； 综上：或． 42．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)当t时，四边形为菱形，此时菱形的面积是 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． （1）根据直角三角形的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ． ， ． ，， ． ∴四边形为平行四边形． （2）解：在中，， ， ． ， ． ． ． 若使平行四边形为菱形，则需， 即，解得t． 即当t时，四边形为菱形． 此时， ， ， ， ∴菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $