精品解析：江苏南京市金陵汇文学校2025-2026学年下学期八年级数学第11周反馈练习

初二数学第11周反馈练习 一、选择题 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 将多项式加上一项，使它能化成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若为整数，则代数式的值一定可以（ ） A. 被9整除 B. 被6整除 C. 被3整除 D. 被2整除 8. 已知是的三边长，则的取值为（ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 非负数 二、填空题 9. 分解因式：________． 10. 对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 11. 因式分解：____． 12. 因式分解的结果是____． 13. 分解因式：____． 14. 若，则的值是_____． 15. 已知，且，则的值为______． 16. 多项式的一个因式为，则m的值为______． 17. 如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 18. 设，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”号连接） 三、解答题 19. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 20. 因式分解： （1）； （2）； （3） （4）． 21. 用简便方法计算： （1） （2） 22. 因式分解： （1）； （2） 23. 已知k是正整数，求证：能被4整除． 24. 先分解因式，然后计算求值：，其中，． 25. 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） （1）第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A.提公因式法B.公式法） （2）该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； （3）请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 26. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值 （3）②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　cm．（直接写出结果） 27. 我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； （2）已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 28. 【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 （1）当______时，多项式，所以可以因式分解为______； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学第11周反馈练习 一、选择题 1. 下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】多项式因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，A不是多项式因式分解； B选项：，左边是多项式，右边是整式的乘积形式，符合定义，B是多项式因式分解. C选项：，等式右边是整式和差形式，不是乘积，C不是多项式因式分解. D选项：，左边是单项式，而多项式因式分解一般是对两个或两个以上项的多项式进行变形，D不是多项式因式分解． 2. 多项式中各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 4. 下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能用平方差公式分解因式的多项式需满足：是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可． 【详解】解：因为A选项是三项式，不符合平方差公式，不符合题意； 因为，所以B选项符合题意； 因为C选项中不是平方项，不符合平方差公式，不符合题意； 因为D选项中两项符号相同，不符合平方差公式，不符合题意． 5. 下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式； B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解； C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 6. 将多项式加上一项，使它能化成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行分解因式，即可解答．本题考查了整式的加减，因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、不能化成的形式，故D符合题意； 故选：D． 7. 若为整数，则代数式的值一定可以（ ） A. 被9整除 B. 被6整除 C. 被3整除 D. 被2整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【详解】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 8. 已知是的三边长，则的取值为（ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 小于0 D. 非负数 【答案】C 【解析】 【分析】将原式因式分解，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断各因子的正负，从而得出表达式的符号． 本题考查了因式分解，三角形三边关系定理，有理数的乘法，熟练掌握因式分解，三边关系定理是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是的三边长， ∴ ，，，， ∴， ∴， 故， 故选：C． 二、填空题 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，直接提取公因式求解即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式即可． 【详解】解：系数的最大公约数， 相同字母的最低次幂：多项式中各项都含有的相同字母是，的最低次幂是，仅在第二项出现，不纳入公因式， 因此，应提取的公因式是． 11. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 12. 因式分解的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，因式分解即可． 【详解】解：． 13. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 若，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可． 利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 15. 已知，且，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练应用平方差公式是解题关键． 将已知关系式利用平方差公式分解因式，进而求出即可． 【详解】解：，且， ． 故答案为：4． 16. 多项式的一个因式为，则m的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】 本题主要考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．设分解后的另一个因式为，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 17. 如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知，大长方形的面积等于各个小长方形和正方形面积之和，同时也等于大长方形的长乘以宽，利用面积相等建立等式即可求解． 【详解】解：由图可知，大长方形的面积可以表示为， 又大长方形的长为，宽为， 根据长方形的面积公式可得，大长方形的面积还可表示为， 所以． 18. 设，，，则a，b，c的大小关系为________．（用“<”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，用平方差公式分解因式得到，，再由即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解： ． 21. 用简便方法计算： （1） （2） 【答案】（1）41200 （2）3200 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 已知k是正整数，求证：能被4整除． 【答案】 见解析 【解析】 【分析】先展开化简原式，合并同类项后，进行因式分解，结合k是正整数的条件，即可证明结论 【详解】证明： ， ∵k是正整数， ∴是正整数， ∴ 能被4整除， ∴能被4整除． 24. 先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当，时，原式 25. 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） （1）第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A.提公因式法B.公式法） （2）该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； （3）请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）B （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，可判断出该步骤的因式分解方法为公式法； （2）观察其结果，还可以进行公式法因式分解，故分解不彻底； （3）设，利用公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，从变为， 采用了完全平方公式的逆运用， 故选B． 【小问2详解】 解：不彻底， ， 故答案为：不彻底；． 【小问3详解】 解：设 原式 ． 26. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值 （3）②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　cm．（直接写出结果） 【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）7；（3）42 【解析】 【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式 2m2+5mn+2n2因式分解即可； （2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10平方厘米，得出等式求出m+n， （3）根据m+n的值，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可． 【详解】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）， 故答案为（2m+n）（m+2n）； （2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49， ∴m+n＝7， 故答案为7． （3）图中所有裁剪线段之和为7×6＝42（cm）． 故答案为42． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确用两种方法表示图形面积是解题的关键． 27. 我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； （2）已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 【答案】（1），， （2）12 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，解题的关键是对式子正确配方． （1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【小问1详解】 解： ； ∵ ∴ ∴当时，多项式的最小值是； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴，，， ∴，，， 该三角形的周长为：． 28. 【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 （1）当______时，多项式，所以可以因式分解为______； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $