精品解析：安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第六次联考数学试题

安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第六次联考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 命题单位：怀远一中 审题单位：蚌埠二中 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则 A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是，则（ ） A. B. 8 C. D. 3. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A 24 B. 48 C. 60 D. 72 4. 已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ） A 398 B. 388 C. 189 D. 199 5. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶(或箬叶.簕古子叶等)包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”.由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味；从口味上分，粽子有咸粽和甜粽两大类.某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C D. 8. 关于下列命题，正确的是（ ） A. 若点在圆外，则或 B. 已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C. 已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D. 已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处的切线方程是，则______． 13. 设随机变量，其中且，若，，则________________. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则__________.（注：） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且． （1）若，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 16. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 17. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. （1）求点的轨迹的方程. （2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由. 18 已知． （1）试判断的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 19. 错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利—欧拉的装错信封问题．现在定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为）．容易得到，．另外，规定． （1）计算：； （2）记的前项和为，证明：； （3）定义错排概率为随机将共个元素排列在共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第六次联考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 命题单位：怀远一中 审题单位：蚌埠二中 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【详解】∵集合A＝{1，3，5，7}， B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}， ∴A∩B＝{5，7}． 故选：C． 【点睛】本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 抛物线的准线方程是，则（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程，求准线方程，列等式求. 【详解】由抛物线方程，知，所以，所以，所以. 故选:A 3. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A. 24 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D. 【考点】排列、组合 【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置． 4. 已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ） A. 398 B. 388 C. 189 D. 199 【答案】C 【解析】 【分析】数列是等差数列，，其中公差，由 是和的等比中项，可得，解得即可得出． 【详解】解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项， ， 化为，． 所以， 则． 故选：C． 5. 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性 【详解】当时，不成等比数列，所以不是充分条件； 当成等比数列时，则，所以是必要条件. 综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件 故选B. 【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 6. 粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶(或箬叶.簕古子叶等)包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”.由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味；从口味上分，粽子有咸粽和甜粽两大类.某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,当肉丸的体积最大时,肉丸所成的球是该正四面体的内切球,再根据空间几何体求解即可. 【详解】当肉丸的体积最大时,肉丸所成的球是该正四面体的内切球, 设正四面体的边长为高为内切球的半径为 所以，，所以 正四面体的表面积为， 所以根据等体积法得，即，解得 所以，所以. 故选：C 【点睛】本题考查数学文化与空间几何体的内切球问题，考查运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题解题的关键在于利用等体积法求得几何体的内切球的半径. 7. 已知，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小. 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 8. 关于下列命题，正确的是（ ） A. 若点在圆外，则或 B. 已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C. 已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D. 已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由圆的一般方程可判断；求出到直线的距离，可判断B与C；求出圆心C到直线的距离，即可求出的最小值，从而四边形的面积的最小值可求. 【详解】对于A：若点在圆外， 所以或，故A错误； 对于B：圆心，所以圆心到直线距离为， 当时，，所以， 即此时不存在使直线与圆相切，故B错误； 对于C：对于任意的，令， 所以，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确； 对于D：圆心，半径，圆心到直线的距离为， 即的最小值，由，所以的最小值为， 四边形的面积最小值为，故D错误， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数a，b均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，由作差法可判断选项正误；对于C，由指数函数单调性可判断选项正误； 对于D，由对数函数单调性结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因函数R上单调递减，又，则，故C错误； 对于D，函数在R上单调递增，但由题不能判断与1的大小，则D错误. 故选：AB 10. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由二项式定理即可判断；对于BC，赋值即可判断；对于D，先求导，再赋值即可判断. 【详解】对于A，由题意，展开式的通项公式为， 所以，故A正确； 对于B，设， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算出的值，与比较大小即可；对于B．利用导数推出的最小值，由此判断得到即可；对于C．根据与1的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将其等价转化为，即可推出结论. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因，当时，，则在上单调递增， 故，因，故，所以，故B正确； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，令，则，则在上单调递增， 故，即，故，从而， 即，也即，故得.故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处的切线方程是，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由图像和切线方程可得与的值，代入可得答案. 【详解】解：∵函数的图象在点处的切线方程是， ， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考察运算能力，属于基础题. 13. 设随机变量，其中且，若，，则________________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用期望的性质及，求出，再根据二项分布的期望，方差的公式求出，再利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，， 又因为，所以，解得. 因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得 . 故答案为： 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则__________.（注：） 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】因为，令，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 因为函数的图象关于点对称， 设，则， 即，即， 令，则，故函数为奇函数， 所以，则， 故函数是周期为的周期函数， 则，当时，，则，可得， 即当时，，所以，，， ，， 所以， . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且． （1）若，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量去证明平面； （2）利用空间向量先求得二面角的余弦值，进而求得其正弦值. 【小问1详解】 ∵在四棱锥中，平面， ∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ∵点M是棱上一点，，，． ∴， ， 设平面的法向量， 则，取，得， ∵平面，∴平面． 【小问2详解】 ， 设平面的法向量， 则，取，得， 又为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则 则，则 ∴二面角的正弦值为． 16. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）为了进一步了解年轻人阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 【答案】（1）74 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算方法，即可求得答案； （2）根据分层抽样的比例确定各组中人数，进而确定的取值，结合超几何分布的概率计算即可求得分布列，从而求出数学期望. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得： 【小问2详解】 由题意可知和的频率之比为：1:2:2， 故抽取的10人中和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为0，1，2，3， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. （1）求点的轨迹的方程. （2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可知的轨迹是以、为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），从而求出椭圆方程； （2）设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再求出直线、的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程. 【小问1详解】 解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6， 所以， 故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且，所以， 所以的轨迹的方程为； 【小问2详解】 解：设直线方程为：，，， 联立方程得：， 则，， 所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：， 联立方程，解得， 把代入上式得：， 所以当点运动时，点恒在定直线上 18. 已知． （1）试判断的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，验证能否恒成立，由此可得出实数的取值范围； （3）由（2）得当时，故只需证明，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出其函数值的符号变化，由此可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，该函数的定义域为，. 当时，，则在上是增函数； 当时，令，得， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，在上是增函数； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 即恒成立，则， 且函数在上为增函数，故， 当时，，则在是增函数，成立，合乎题意； 当时，，由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以不合题意． 所以． 【小问3详解】 由（2）得当时，， 所以要证，只要，即证：， 设，，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在是增函数， 因为，，所以存在，使． 故时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数， 因为，， 所以时，，故命题成立． 19. 错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利—欧拉的装错信封问题．现在定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为）．容易得到，．另外，规定． （1）计算：； （2）记的前项和为，证明：； （3）定义错排概率为随机将共个元素排列在共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上概率，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据分类加法和分步乘法计数原理即可求解； （2）得到的通项，转化为要证明的等式，根据（1）的提示，寻找递推关系，进而运算可得结论； （3）由定义得到与之间的关系，寻找与的关系，变形并求的表达式，运算可得结论． 【小问1详解】 可以排在上，有种排法． 当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法． 所以． 可以排在上，有种排法． 不妨设排在上，接下来讨论． 当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）． 当不排在上时，可以排在上，有种情况． 若排在上，剩下两个元素只有1种排法． 所以． 【小问2详解】 当时，，满足． 当时，要证明，只需证明， 所以只需证明． 当时，，成立． 回到定义，当时，对于，不妨从开始排列， 设排在上，有种排法．接下来讨论， ①当排在上时，剩下共个元素 分别不在上， 共有种排法． ②当不排在上时， 因为分别不在上， 所以共个元素 分别不在上， 共有种排法． 所以． 所以， 即． 综上，成立． 【小问3详解】 根据定义，， 先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上， 所以． 所以． 不妨记，则，且， 得， 则， 故是等比数列，且公比为， 又，所以， 变形得， 则当时，， 累加得， 经检验也符合上式，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$