2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科全真模拟试卷(十)

**基本信息** 立足初中数学学业水平考试要求，以真实情境与跨学科素材为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，梯度设计凸显抽象能力、几何直观、推理意识等核心素养的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|科学记数法、概率（元素周期表）、几何计算（量角器）、函数图像（铁球下落）|结合化学、物理情境，考查数学眼光观察现实世界| |填空题|4/12|函数自变量取值、统计众数（扇形图）、阴影面积（圆与半圆）、规律探究|注重基础与抽象能力，体现数据意识| |解答题|6/64|计算化简、统计分析（黄河文化竞赛）、方程应用（研学租车）、圆的证明与计算、抛物线应用（拱桥）、几何综合（矩形）|融合文化传承与实际问题，如租车问题考查模型意识，拱桥抛物线强化数学建模，矩形综合题提升推理能力|

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科全真模拟试卷（十) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.某网站消息：2025年12月1日至21日，全国乘用车市场零售量为130万辆，较上月同期增长5% 数据“130万”用科学记数法表示为() A.1.3×106 B.13×105 C.1.3×107 D.0.13×107 2.如图是化学元素周期表的元素，从中随机选取两种元素，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金 属元素的概率为( 11 12 13 14 15 Na Mg Al Si P 钠 镁 铝 硅 磷 A品 B c D 3.如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P 若量角器上显示∠BOQ的读数为130°，则∠QPD的度数为( Q D A.130° B.100° C.60° D.50 第1页，共8页 4你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔 上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度ⅴ随时间t变化的函数图象如图2所示，下落的路程s随时 间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是( 4v/(m/s) s/m 20-- 20 t/s 02 t/s 图 图2 图3 A.当t=2s时，v=20m/s B.当t=2s时，g=20m C.v和s均随t的增大而增大 D.t每增加1s,路程s的增加量相同 5.己知一次函数y=kx+bk≠0)的图象与x轴交于点(-1,0)，且不经过第四象限，则-2k+b的值 ( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 6.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90得到线段AB',那么A(一2,5)的 对应点A的坐标是( A.(2,5) B.(5,2) C.(2,-5) D.(5,-2) 7.对于二次函数y=4(&-1)x-5),下列说法正确的是( A.图象开口向下 B.对称轴是直线x=3 C.与x轴的交点是(-1,0)和(-3,0) D.当x>0时，y随x的增大而增大 8.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E在OB F 上，且BE=2OE,连接CE并延长，交AB于点H,交DA的延长线 H EXO 于点F,则哈的值为( ) A月 B c. D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.函数y=中自变量x的取值范围是 x-3 第2页，共8页 10.某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校1000名学生中随机抽取了100名，统计 这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图.这100名学生 4道 1道 会炒的菜品数量的众数为 3道 36 2道 11.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1,以点A为圆心，以AB的长为半径作BC, 45% 已知BC=5,以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 A 12.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基 础图形组成，，第nn是正整数)个图案中由 个基础图形组成。 B (1) (2) (3) 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：1-√2-2cos45°+； 2化简：号÷(-1. 第3页，共8页 14.(本小题7分) 2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行 黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均 为不低于6分的整数.为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计 信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分678910 人数 11ab2 已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分.根据信息，回答下列问题： (1)依据题意，可得a=一，b=一； (2)已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成 绩的中位数： (3)若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高， 并说明理由. 八年级10名学生成绩条形统计图 人数 67 8910成绩/分 第4页，共8页 15.(本小题10分) 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下 列材料，并完成相关问题 材 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆 料 B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 材 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 料 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆： 租用B型客车，租车费用打八折 材 租车公司最多提供8辆A型客车： 料 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆. (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 第5页，共8页 16.(本小题12分) 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD, CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. (1)求证：PD是⊙O的切线： (2)求证：△ABD∽△DCP; (3)当AB=12,AC=16时，求CP的长. A D P 第6页，共8页 17.(本小题12分) 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式： (2)求支柱EF的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由. 10m om 20m A 0 图1 图2 第7页，共8页 18.(本小题13分) 在矩形ABCD中，AB=nAD,E,F分别在AB,BC上，AF,DE相交于点O A D A A D 0 0 E E E B G B 图1 图2 图3 (1)若n=1,AF1DE. ①如图1，求证：△ADE≌△BAF; ②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证： AG=AE+BG; ③在②的结论下，若AG=13,BG=5,求OA的长； (2)如图3，若E为AB的中点，∠ADE=∠EDP,请直接用含n的式子表示的值. 第8页，共8页2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学学科全真模拟试卷（十） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.某网站消息：2025年12月1日至21日，全国乘用车市场零售量为130万辆，较上月同期增长5%. 数据“130万”用科学记数法表示为( A.1.3×106 B.13×10 C.1.3×107 D.0.13×107 【答案】A 【解析】解：130万=1300000=1.3×105 故选：A. 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤a<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变 成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正 数；当原数的绝对值<1时，n是负数. 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤al<10,n为整 数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值， 2如图是化学元素周期表的元素，从中随机选取两种元素，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金 属元素的概率为( 11 12 13 14 15 Na Mg Al Si 钠 镁 铝 硅 磷 A品 B品 c D 【答案】D 【解析】解：根据题意列表得： 钠 楼 铝 硅 磷 钠 (钠，镁) (钠，) (钠，硅) (钠，磷) 镁 (镁，钠) (镁，) (镁， 硅) (镁，磷) 铝 (铝，钠) (铝，镁) (铝，硅) (铝，磷) 硅 (硅，钠) (硅，镁) (硅，) (硅，磷) 磷 （磷，钠) (磷，镁) (磷，) (磷，硅) 第1页，共19页 由表格知一共有20种等可能出现的结果，恰好一个是金属元素一个是非金属元素的情况有12种， :两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为号- 故选：D 列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可· 本题考查用列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关概念的意义，以及列表法和树状图法求 等可能事件的概率的方法是解题的根据。 3如图，O是量角器的中心，直尺ABCD的一边BC与量角器的零刻度线重合，OQ与AD相交于点P. 若量角器上显示∠BOQ的读数为130°，则∠QPD的度数为( D A.130° B.100° C.60° D.50° 【答案】D 【解析】解：∠B0C=180°，∠B0Q=130°， .∠Q0C=180°-∠B0Q=180°-130°=50°， 直尺ABCD的对边ADBC, ∴若量角器上显示∠B0Q的读数为130°，则∠QPD=∠Q0C=50° 故选：D 由题意可得∠QOC=50°，然后通过平行线的性质即可求解. 本题考查对顶角、邻补角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 4.你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔 上抛出一个铁球（如图1），铁球下落的速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，下落的路程s随时 间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是() ◆v/(m/s) ◆s/m 20- 20 t/s 2 t/s 图1 图2 图邵 第2页，共19页 A.当t=2s时，v=20m/s B.当t=2s时，s=20m C.v和s均随t的增大而增大 D.t每增加1s,路程s的增加量相同 【答案】D 【解析】解：根据二次函数性质结合函数图象逐项分析判断如下： 对于选项A:由图2可知，当t=2时，v=20,故A正确，不符合题意： 对于选项B:由图3可知，当t=2时，s=20,故B正确，不符合题意； 对于选项C:结合图2和图3可知，ⅴ和s均随t的增大而增大，故C正确，不符合题意： 对于选项D:由图3可知，s与t的关系不是线性的，因此t每增加1，s的增加量都是不同的，故D 错误，符合题意： 故选：D 结合函数图象逐项判断即可. 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是关键， 5.己知一次函数y=kx+bk≠0)的图象与x轴交于点(-1,0)，且不经过第四象限，则-2k+b的值 ( A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 【答案】B 【解析】解：一次函数y=kx+bk≠0)的图象与x轴交于点(-1,0)， -k+b=0,即b=k, 一次函数图象不经过第四象限， ∴.k>0 ∴.-2k+b=-2k+k=-k, k>0, -k<0,即-2k+b<0. 故选：B, 先将交点坐标代入一次函数解析式得到b与k的关系，再根据图象不经过第四象限确定k的符号，代 入所求代数式即可判断结果. 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键。 第3页，共19页 6.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB',那么A(-2,5)的 对应点A的坐标是() B B A.(2,5) B.(5,2) 0 C.(2,-5) D.(5,-2) 【答案】B 【解析】解：线段AB绕点O顺时针旋转90得到线段AB', △ABO≌△ABO,∠AOA'=90°， ..AO=A'O. 作AC1y轴于C,A'C1x轴于C', ∴∠AC0=∠A'C0=90. B .∠COC'=90°， ·∠AOA'-∠COA'=∠COC'-∠COA', ∴∠AOC=∠A'OC. 在△AC0和△A'CO中， (LACO=∠A'C'O ∠AOC=∠A'OC', AO-AO ∴△ACO≌△A'C'O(AAS), ∴.AC=A'C,CO=CO. A(-2,5): .AC=2,C0=5, A'C=2,0C=5, .A'(5,2): 故选：B. 由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段AB'可以得出△ABO≌△AB'O,∠AOA'=90°，作AC1 y轴于C,A'C'1x轴于C,就可以得出△ACO≌△A'CO,就可以得出AC=A'C,CO=C'O,由A 的坐标就可以求出结论. 本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运 用，解答时证明三角形全等是关键， 第4页，共19页 7.对于二次函数y=48-1)8-5),下列说法正确的是() A.图象开口向下 B.对称轴是直线x=3 C.与x轴的交点是(-1,0)和(-3,0) D.当x>0时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】解：y=4x-1)x-5)=4(x2-6x+5)=4&-3)2-16,二次项系数a=4>0, 抛物线开口向上，选项A错误： 整理后可得顶点式为y=4(x-3)2-16, 图象的对称轴是直线x=3,选项B正确： 令y=0,得4x-1)区-5)=0，解得x1=1,x2=5, 抛物线与x轴交点坐标是(1,0)和(5,0)，选项C错误： 抛物线开口向上，对称轴为直线x=3, 当x>3时，y随x的增大而增大，当0<x<3时，y随x的增大而减小，选项D错误， 故选：B. 先整理二次函数为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断开口方向、对称轴、与x轴交点和增减 性，即可得到正确结果。 本题主要考查了抛物线与×轴的交点，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键. 8.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E在OB上，且BE=2OE,连接CE并延 长，交AB于点H,交DA的延长线于点E,则的值为( ) A月 B ag EXO D B 【答案】A 【解析】解：由题意得AD=BC,AD/BC,OB=OD, .BE=20E, ∴.OB=OE+BE=3OE, .DE=OE+OD=OE+OB=40E, 是 第5页，共19页 又AD/BC, ∴△DFE∽△BCE, 器器- 架 -D0-1-0- FD FD 故选：A 先求出=子再证出△BCE∽△DPE,利用相似三角形的性质求解即可. DE 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.函数y=霄中自变量x的取值范围是 【答案】x≥-1且x≠3 【解析】解：根据题意得：x+1≥0且x-3≠0， 解得：x≥-1且x≠3. 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知：×+1≥0：分母不等于0，可知： x-3≠0，所以自变量x的取值范围就可以求出， 本题考查使得分式和根号有意义的知识.函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数： (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0： (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数. 10.某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校1000名学生中随机抽取了100名， 4道 1道 统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图这 3道 36 100名学生会炒的菜品数量的众数为 2道 45% 【答案】3. 【解析】解：由扇形统计图可知：学会炒1道菜品的人数所占比例为：品×100%=259%， 学会炒2道菜品的人数所占比例为：品×100%=106： 学会炒3道菜品的人数所占比例为45%： 第6页，共19页 学会炒4道菜品的人数所占比例为：1-25%-10%-45%=20%： 学会炒3道菜品的人数最多， 这100名学生会炒的菜品数量的众数为3. 故答案为：3. 根据扇形统计图求出各部分所占的百分比，占比最大的数据即为众数. 本题考查了扇形统计图、众数，熟练掌握以上知识点是关键， 11.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1,以点A为圆心，以AB的长为半径作 B BC,已知BC=,以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 【答案】 【解析】解：~AB=AC=1,以点A为圆心，以AB的长为半径作BC,BC= 亚=卫x1 2180 解得n=90. 在△ABC中，AB=AC=1,∠A=90°， ..BC=AB2+AC2=2. S扇形AC阳=0=】 360=4π， S*圆c=×(92=, S△ABc=号×1X1= 六S阴影=S半预cBe+SAABC-Sm形AC阳=+片= 故答案为： 先根据弧长公式求出∠A=90,再由勾股定理求出BC=V2,从而求得S形A0-- 360 , S半圆cBr=X()?=,SAABG=X1×1=片即可由阴影面积=S半圆cBr十SAABC-S佩形AcB求 解。 本题考查的是弧长公式，扇形的面积，等腰三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键. 第7页，共19页 12.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组 成，，第nn是正整数)个图案中由 个基础图形组成。 (1) (2】 (3) 【答案】3n+1 【解析】解：观察图形可发现： 第一个图案中基础图形的个数：3×1+1=4： 第二个图案中基础图形的个数：3×2+1=7： 第三个图案中基础图形的个数：3×3+1=10： 所以，第n个图案中基础图形的个数为：3n+1, 故答案为：3n+1。 观察图形会发现每增加一个图案就增加3个基础图形，以此类推，发现规律，便可求出结果。 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目应要找出哪些部分发生了 变化，是按照什么规律变化的。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：1-√2-2cos45°+m; ②化筒：安（色-） 【解析】解：(1)原式=V2-1-2×2+1 =V2-1-√2+1 =V2-V2+1-1 =0: (2)原式=+1)g-÷x2++1-x -+18-1).x2+2x+1 X =+1)8-1) (x+1)2 1 +11 (1)根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 第8页，共19页 (2)先把括号里的1化成分母是x的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法 化成乘法，然后化简即可. 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和 零指数幂的性质。 14.(本小题7分) 2025年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行 黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按10分制进行评分，成绩均 为不低于6分的整数.为了解活动效果，现从两个年级各抽10名学生的成绩作为样本进行整理，统计 信息如下： 七年级10名学生成绩统计表 成绩/分678910 人数 已知七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分.根据信息，回答下列问题： (1)依据题意，可得a= ,b= (2)已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成 绩的中位数： (3)若认定成绩不低于8分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高， 并说明理由. 八年级10名学生成绩条形统计图 人数 8 10 成绩/分 第9页，共19页 八年级10名学生成绩条形统计图 人数 【答案】3；3 中位数为8.5优秀率高的年级平均成绩不一定高， 67 8910 成绩/分 七年级的优秀率为：50×(1+86)(50-m)+80×0.9n≤3260，八年级的优秀率为：50×(1+ 86(50-1m)+80×0.9m≤3260， 此时七年级的优秀率高；七年级的平均成绩：6x17x1+8×3#9x10x2=8.4,八年级的平均成绩： 10 6×1+7×2+8×2+9x2+10x3=84, 10 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高 【解析】解：(1)1+1+a+b+2=10, a+b=6, 七年级10名学生的成绩的中位数为8.5分， ∴第5个和第6个数据的平均数为8.5， ∴第5个数据为8，第6个数据为9 ·a=3,b=3; 故答案为：3,3： (2)已知样本中七年级得9分的人数比八年级多1人， 由题意得，八年级得9分的人数为3-1=2， 八年级得8分的人数为10-1-2-2-3=2， 补全条形统计图为： 第10页，共19页 八年级10名学生成绩条形统计图 人数 3 6 78910成绩/分 由条形统计图可得第5个数据为8，第6个数据为9， 故中位数为=8.5： (3)优秀率高的年级平均成绩不一定高，理由如下： 若认定成绩不低于8分为优秀， 七年级的优秀率为：50×(1+8%(50-m+80×0.9≤3260，八年级的优秀率为：50×(1+ 8%(50-m)+80×0.9m≤3260， 此时七年级的优秀率高： 七年级的平均成绩：6x1+7x1+8x39x3+10x2=8.4:八年级的平均成绩：x17x2+8x2+9x2410x3=8.4, 10 10 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高。 (1)根据中位数的定义求解即可； (2)先求出八年级得分9分和8分的人数，即可补全条形统计图，再由中位数的性质求解中位数： (3)分别计算两个班级的优秀率和平均成绩，即可判断. 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键 第11页，共19页 15.(本小题10分) 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下 列材料，并完成相关问题， 材 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆 料 B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 材 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆. 料 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3200-50m)元/辆： 租用B型客车，租车费用打八折. 材 租车公司最多提供8辆A型客车： 料 学校参加研学活动师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆. 三 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（区-15）人， 根据题意得：6四=450 x-15 解得：x=60, 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意， .x-15=60-15=45(人). 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人： (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10一m)辆， 根据题意得：60m+45(10-m)≥530， 解得：m≥号 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w=(3200-50m)m+3000×0.8(10-m)=-50m2+ 800m+24000, 800 抛物线的对称轴为直线m=-x0=8, ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， m取正整数，且m≥号 第12页，共19页 当m=6时，w取得最小值，最小值为-50×62+800×6+24000=27000（元）. 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 【解析】(1)设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（区一15）人，根据用A型客车载 客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出 x的值（即A型客车每辆载客量），再将其代入x一15)中，即可求出B型客车每辆载客量： (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10一m)辆，根据租用的两种客车的总载客量不少于530 人，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设本次研学活动学校的租车总费 用为w元，利用租车总费用=每辆A型客车的租金×租用A型客车的数量+每辆B型客车的租金×租用 B型客车的数量，可找出w关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等 量关系，正确列出分式方程：(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式. 16.(本小题12分) 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD, CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. (I)求证：PD是⊙O的切线： (2)求证：△ABD∽△DCP; (3)当AB=12,AC=16时，求CP的长. B D P 【解析】(I)证明：如图，连接OD, D P BC是⊙O的直径， 第13页，共19页 .∠BAC=90°， AD平分∠BAC, ∠BAC=2LBAD, .∠BOD=2∠BAD, ∠BOD=∠BAC=90°， DP//BC. ∴.∠ODP=∠BOD=90°， .PD⊥OD, OD是⊙O半径， .PD是⊙O的切线： (2)证明：DP/BC, LACB=∠P, .·∠ACB=∠ADB, LADB=∠P, 四边形ABDC是圆内接四边形， ∠ABD+∠ACD=180°， .∠ACD+∠DCP=180°， ∴.∠ABD=∠DCP, ∴△ABD∽△DCP; (3)解：BC是⊙0的直径，AB=12,AC=16, ∠BDC=∠BAC=90°， ..BC=AB2+AC2=20, .·AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴.∠BOD=∠COD, ∴.BD=CD, ..BC=2CD, CD=号BC=号×20=10W2, .△ABD∽△DCP, 第14页，共19页 铝品即品 10√万-CP Cp- (1)先得出∠BAC=2∠BAD,进而得出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD1OD即可得出结论； (2)先说明∠ADB=P,再推出∠DCP=∠ABD,即可得出结论： (3)先求出BC,再推出BD=CD,利用勾股定理求出CD的长，最后利用相似比即可得解. 本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判 定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等， 平行线的性质等知识点.判断出△ABD∽△DCP、掌握圆的基本性质是解题的关键. 17.(本小题12分) 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），求抛物线的解析式： (2)求支柱EF的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由. C 20m 0 8 图1 图2 【答案】解：(1)根据题目条件A,B,C的坐标分别是(-10,0)，(10,0)，(0,6， 设抛物线的解析式为y=ax2+c, 将B,C的坐标代入y=ax2+c, 得61O0a+c,解得a3 50. (c=6 所以抛物线的表达式y=一品x+6。 (2)可设F6,y.于是y:=-×52+6=45, 从而支柱F的长度是10-4.5=5.5米 (3)如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 第15页，共19页 GB 则G点坐标是(7,0) 过G点作GH垂直AB交抛物线于H, 则yH=0×72+6=3.06>3. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车， 18.(本小题13分) 在矩形ABCD中，AB=nAD,E,F分别在AB,BC上，AF,DE相交于点O. D A E B C B E B F 图1 图2 图3 (1)若n=1,AF1DE, ①如图1，求证：△ADE2△BAF; ②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证： AG=AE+BG: ③在②的结论下，若AG=13,BG=5,求OA的长； (Q)如图3，若E为AB的中点，∠ADE=∠EDP,请直接用含n的式子表示器的值， 【答案】①四边形ABCD是矩形，AB=nAD,n=1, ..AD=AB, 矩形ABCD是正方形， ∴.∠DAB=90°=∠ABC, .∠DAF+∠BAF=90°， .AF⊥DE: ∠DAF+∠ADE=90°， 第16页，共19页 ∴.∠ADE=∠BAF,且AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， △ADE≌△BAF(ASA);②由(I)可知AE=BF, .AH=AD,AF 1 HD, ∴.∠HAF=∠DAF, .AD//BC, ·∠DAF=∠AFG, .∠HAF=∠AFG, ..AG=GF, ·AG=GB+BF=GB+AE:③AG=13,BG=5,AG=GB+AE, ..AE=8,AD=AB=VAG2-BG=V132-52=12, .DE=VAD2+AE匣=√122+82=4V13, .AO 1 DE, SAADE=号AD XAE-DEx OA, 0A=器-沿，®0A=9g=学 41厉- 13 BF n2 【解析】(1)证明：①四边形ABCD是矩形，AB=nAD,n=l, ..AD=AB, 矩形ABCD是正方形， ∴∠DAB=90°=∠ABC, ·∠DAF+∠BAF=90°， .AF 1 DE, .∠DAF+∠ADE=90°， ·∠ADE=∠BAF,且AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°， △ADE≌△BAF(ASA): ②由(1)可知AE=BF, .AH=AD,AF⊥HD: ∴.∠HAF=∠DAF, ..AD//BC, .∠DAF=∠AFG, ∴.∠HAF=∠AFG, 第17页，共19页 ..AG=GF, ∴.AG=GB+BF=GB+AE: 3.AG=13,BG=5,AG=GB+AE, ·AE=8,AD=AB=√AG2-BG=√132-52=12， DE=VAD2+AE2=V122+82=4v13, .AO 1 DE, S△ADE=AD XAE=DEX OA, 0A=12x8=24y厘 4V1-13 (2)解：如图，过点E作EH1DF于H,连接F, D E C 四边形ABCD是矩形， .∠A=B=90°， E为AB的中点， .AE=BE=AB, .∠ADE=∠EDF,∠A=90°，EH⊥DF, ∴.AE=EH ∴Rt△AED≌Rt△HEDL), AD=DH=台AB, .AE=BE,AE=EH, ∴BE=EH, .EF=EF, ·Rt△BEF≌Rt△HEF(HL), .BF FH, 设BF=x=FH,则FC=BC-BF=1AB-x, 第18页，共19页 ..DF2=FC2+CD2, .(AB+x)2=(-AB-x)2+AB2, X=A吧=BF, 4 FC=AB-AB-若AB, 42AB=4- n2 4 (I)①由“ASA”可证△ADE≌△BAF; ②过点A作AF 1 HD交BC于点F,由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠HAF=LAFG= ∠DAF,可得AG=FG,即可得结论： ③由②的结论求得AE=8,由勾股定理求得AD=AB=12,再利用等积法求解即可： (2)过点E作EH1DF于H,连接EF,由角平分线的性质可得AE=EH=BE,由“HL”可证Rt△ BEF2Rt△EF,可得BF=FH,由勾股定理可求解. 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线 的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键 第19页，共19页 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科全真模拟试卷（十） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某网站消息：年月日至日，全国乘用车市场零售量为万辆，较上月同期增长数据“万”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 2.如图是化学元素周期表的元素，从中随机选取两种元素，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为(     ) A. B. C. D. 3.如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点若量角器上显示的读数为，则的度数为(     ) A. B. C. D. 4.你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球如图，铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图所示，则下列结论错误的是(     ) A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 5.已知一次函数的图象与轴交于点，且不经过第四象限，则的值(     ) A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法判断 6.如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是(     ) A. B. C. D. 7.对于二次函数，下列说法正确的是(     ) A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 8.如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.函数中自变量的取值范围是          ． 10.某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图这名学生会炒的菜品数量的众数为      ． 11.如图所示，在中，，以点为圆心，以的长为半径作，已知，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为      ． 12.如图是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，，第是正整数个图案中由       个基础图形组成。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分 年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按分制进行评分，成绩均为不低于分的整数为了解活动效果，现从两个年级各抽名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级名学生成绩统计表 成绩分 人数 已知七年级名学生的成绩的中位数为分根据信息，回答下列问题： 依据题意，可得______，______； 已知样本中七年级得分的人数比八年级多人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； 若认定成绩不低于分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 15.本小题分 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客人；用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同． 材料二 型客车租车费用为元辆；型客车租车费用为元辆． 优惠方案：租用型客车辆，租车费用元辆； 租用型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供辆型客车； 学校参加研学活动师生共有人，租用，两种型号客车共辆． (1) ，两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 16.本小题分 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 求证：∽； 当，时，求的长． 17. 本小题分 一座拱桥的轮廓是抛物线型如图，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． 将抛物线放在所给的直角坐标系中如图，求抛物线的解析式； 求支柱的长度； 拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽的隔离带，其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计？请说明你的理由． 18.本小题分 在矩形中，，，分别在，上，，相交于点． 若，． 如图，求证：≌； 如图，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； 在的结论下，若，，求的长； 如图，若为的中点，，请直接用含的式子表示的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学学科全真模拟试卷（十） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某网站消息：年月日至日，全国乘用车市场零售量为万辆，较上月同期增长数据“万”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：万． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.如图是化学元素周期表的元素，从中随机选取两种元素，两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据题意列表得： 钠 镁 铝 硅 磷 钠 钠，镁 钠，铝 钠，硅 钠，磷 镁 镁，钠 镁，铝 镁，硅 镁，磷 铝 铝，钠 铝，镁 铝，硅 铝，磷 硅 硅，钠 硅，镁 硅，铝 硅，磷 磷 磷，钠 磷，镁 磷，铝 磷，硅 由表格知一共有种等可能出现的结果，恰好一个是金属元素一个是非金属元素的情况有种， 两种元素恰好一个是金属元素一个是非金属元素的概率为． 故选：． 列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 本题考查用列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握相关概念的意义，以及列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的根据． 3.如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点若量角器上显示的读数为，则的度数为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，， ， 直尺的对边， 若量角器上显示的读数为，则． 故选：． 由题意可得，然后通过平行线的性质即可求解． 本题考查对顶角、邻补角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4.你有没有这样的疑问：为什么从古塔上抛掷的铁球会加速下落，而不是匀速运动呢？某同学从古塔上抛出一个铁球如图，铁球下落的速度随时间变化的函数图象如图所示，下落的路程随时间变化的函数图象如图所示，则下列结论错误的是(     ) A. 当时， B. 当时， C. 和均随的增大而增大 D. 每增加，路程的增加量相同 【答案】D  【解析】解：根据二次函数性质结合函数图象逐项分析判断如下： 对于选项A：由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 对于选项B：由图可知，当时，，故B正确，不符合题意； 对于选项C：结合图和图可知，和均随的增大而增大，故C正确，不符合题意； 对于选项D：由图可知，与的关系不是线性的，因此每增加，的增加量都是不同的，故D错误，符合题意； 故选：． 结合函数图象逐项判断即可． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是关键． 5.已知一次函数的图象与轴交于点，且不经过第四象限，则的值(     ) A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法判断 【答案】B  【解析】解：一次函数的图象与轴交于点 ， ，即， 一次函数图象不经过第四象限， ， ， ， ，即． 故选：． 先将交点坐标代入一次函数解析式得到与的关系，再根据图象不经过第四象限确定的符号，代入所求代数式即可判断结果． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 6.如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：线段绕点顺时针旋转得到线段， ≌，， ． 作轴于，轴于， ． ， ， ． 在和中， ， ≌， ，． ， ，， ，， ． 故选：． 由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出≌，，作轴于，轴于，就可以得出≌，就可以得出，，由的坐标就可以求出结论． 本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键． 7.对于二次函数，下列说法正确的是(     ) A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B  【解析】解：，二次项系数， 抛物线开口向上，选项A错误； 整理后可得顶点式为， 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得，， 抛物线与轴交点坐标是和，选项C错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误， 故选：． 先整理二次函数为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断开口方向、对称轴、与轴交点和增减性，即可得到正确结果． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 8.如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意得，，，  ，  ，  ，  ，  又，  ∽，  ，  ，    故选：． 先求出，再证出∽，利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.函数中自变量的取值范围是           ． 【答案】且  【解析】解：根据题意得：且， 解得：且． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，可知：；分母不等于，可知：，所以自变量的取值范围就可以求出． 本题考查使得分式和根号有意义的知识．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为； 当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 10.某校开展“烹饪小能手”评比活动，在全校名学生中随机抽取了名，统计这些学生在寒假期间学会炒的菜品数量，并绘制成如图所示的扇形统计图这名学生会炒的菜品数量的众数为         ． 【答案】  【解析】解：由扇形统计图可知：学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数所占比例为； 学会炒道菜品的人数所占比例为：； 学会炒道菜品的人数最多， 这名学生会炒的菜品数量的众数为． 故答案为：． 根据扇形统计图求出各部分所占的百分比，占比最大的数据即为众数． 本题考查了扇形统计图、众数，熟练掌握以上知识点是关键． 11.如图所示，在中，，以点为圆心，以的长为半径作，已知，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为        ． 【答案】．  【解析】解：，以点为圆心，以的长为半径作，， ， 解得． 在中，，， ． ， ， ． ． 故答案为：． 先根据弧长公式求出，再由勾股定理求出，从而求得，，即可由阴影面积求解． 本题考查的是弧长公式，扇形的面积，等腰三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 12.如图是一组有规律的图案，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，，第是正整数个图案中由       个基础图形组成。 【答案】  【解析】解：观察图形可发现： 第一个图案中基础图形的个数：； 第二个图案中基础图形的个数：； 第三个图案中基础图形的个数：； 所以，第个图案中基础图形的个数为：， 故答案为：。 观察图形会发现每增加一个图案就增加个基础图形，以此类推，发现规律，便可求出结果。 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目应要找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 【解析】解：原式 ； 原式 ． 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号里的化成分母是的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法化成乘法，然后化简即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质． 14.本小题分 年河南省开展“传承黄河文化、争做时代新人”主题教育活动，某中学组织七、八年级学生进行黄河历史、黄河故事、黄河诗词等内容的知识竞赛，对学生的竞赛情况按分制进行评分，成绩均为不低于分的整数为了解活动效果，现从两个年级各抽名学生的成绩作为样本进行整理，统计信息如下： 七年级名学生成绩统计表 成绩分 人数 已知七年级名学生的成绩的中位数为分根据信息，回答下列问题： 依据题意，可得______，______； 已知样本中七年级得分的人数比八年级多人，请补全条形统计图，并求出样本中八年级学生成绩的中位数； 若认定成绩不低于分为优秀，根据样本数据判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】 中位数为  优秀率高的年级平均成绩不一定高，七年级的优秀率为：，八年级的优秀率为：， 此时七年级的优秀率高；七年级的平均成绩：；八年级的平均成绩：， 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高  【解析】解：， ， 七年级名学生的成绩的中位数为分， 第个和第个数据的平均数为， 第个数据为，第个数据为 ，； 故答案为：，； 已知样本中七年级得分的人数比八年级多人， 由题意得，八年级得分的人数为， 八年级得分的人数为， 补全条形统计图为： 由条形统计图可得第个数据为，第个数据为， 故中位数为； 优秀率高的年级平均成绩不一定高，理由如下： 若认定成绩不低于分为优秀， 七年级的优秀率为：，八年级的优秀率为：， 此时七年级的优秀率高； 七年级的平均成绩：；八年级的平均成绩：， 此时七年级和八年级的平均成绩相同， 因此优秀率高的年级平均成绩不一定高． 根据中位数的定义求解即可； 先求出八年级得分分和分的人数，即可补全条形统计图，再由中位数的性质求解中位数； 分别计算两个班级的优秀率和平均成绩，即可判断． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 15.本小题分 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客人；用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同． 材料二 型客车租车费用为元辆；型客车租车费用为元辆． 优惠方案：租用型客车辆，租车费用元辆； 租用型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供辆型客车； 学校参加研学活动师生共有人，租用，两种型号客车共辆． ，两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ 本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】解：设型客车每辆载客量为人，则型客车每辆载客量为人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 人． 答：型客车每辆载客量为人，型客车每辆载客量为人； 设租用型客车辆，则租用型客车辆， 根据题意得：， 解得：， 设本次研学活动学校的租车总费用为元，则， 抛物线的对称轴为直线， 时，随着的增大而增大， 取正整数，且， 当时，取得最小值，最小值为元． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是元．  【解析】设型客车每辆载客量为人，则型客车每辆载客量为人，根据用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即型客车每辆载客量，再将其代入中，即可求出型客车每辆载客量； 设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据租用的两种客车的总载客量不少于人，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设本次研学活动学校的租车总费用为元，利用租车总费用每辆型客车的租金租用型客车的数量每辆型客车的租金租用型客车的数量，可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 16.本小题分 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 求证：∽； 当，时，求的长． 【解析】证明：如图，连接，    是的直径，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是半径，  是的切线；  证明：，  ，  ，  ，  四边形是圆内接四边形，  ，  ，  ，  ∽；  解：是的直径，，，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽，  ，，即，  ． 先得出，进而得出，得出即可得出结论；  先说明，再推出，即可得出结论；  先求出，再推出，利用勾股定理求出的长，最后利用相似比即可得解． 本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出∽、掌握圆的基本性质是解题的关键． 17.本小题分 一座拱桥的轮廓是抛物线型如图，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． 将抛物线放在所给的直角坐标系中如图，求抛物线的解析式； 求支柱的长度； 拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽的隔离带，其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计？请说明你的理由． 【答案】解：根据题目条件，，的坐标分别是，，， 设抛物线的解析式为， 将，的坐标代入， 得，解得． 所以抛物线的表达式． 可设，于是， 从而支柱的长度是米． 如图，设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和， 则点坐标是． 过点作垂直交抛物线于， 则． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．  18.本小题分 在矩形中，，，分别在，上，，相交于点． 若，． 如图，求证：≌； 如图，点为延长线上一点，的延长线交于，若，求证：； 在的结论下，若，，求的长； 如图，若为的中点，，请直接用含的式子表示的值． 【答案】四边形是矩形，，， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ，且，， ≌；由可知， ，， ， ， ， ， ， ；，，， ，， ， ， ， ；   【解析】证明：四边形是矩形，，， ， 矩形 是正方形， ， ， ， ， ，且，， ≌； 由可知， ，， ， ， ， ， ， ； ，，， ，， ， ， ， ； 解：如图，过点作于，连接， 四边形是矩形， ， 为的中点， ， ，，， ， ≌， ， ，， ， ， ≌， ， 设，则， ， ， ， ， ． 由“”可证≌； 过点作交于点，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，可得，即可得结论； 由的结论求得，由勾股定理求得，再利用等积法求解即可； 过点作于，连接，由角平分线的性质可得，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解． 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $