河北石家庄实验中学2026届高三考前学情自测数学试题

**基本信息** 高三数学三模卷聚焦核心素养，通过复数、函数、立体几何等知识，以新定义函数、质点移动概率等情境，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高考冲刺阶段综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、函数性质|基础题分层设计，如第6题探究函数极值与单调性| |多选|3/18|概率统计、命题逻辑、解三角形|第9题结合相关系数与正态分布，考查数据分析| |填空|3/15|解三角形应用、椭圆离心率、新定义函数|第14题以[x]与{x}定义函数，培养创新意识| |解答|5/77|数列证明、立体几何、概率递推、导数应用、圆锥曲线|第17题质点移动概率结合递推关系，第19题圆锥曲线探究位置关系与最值，体现数学建模与逻辑推理|

石家庄实验中学2026届高三年级第三次调研考试 数 学 命题：高三数学 考试时间：120分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他案标号。回答非选择题时,将案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有项是符合题目要求的。 1．已知复数，则复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．若集合，，则的真子集有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知函数 ，则 的值为 A． B． C． D． 4．已知，则（       ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（    ） A． B． C． D．5 6．利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数,，下列说法正确的是（ ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 7．已知抛物线的焦点为，为上的动点，点，则取最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．在正三棱柱中，，，点是平面上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好 D．某人在次答题中，答对题数为，，则答对题的概率最大 10．下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 11．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（   ） A． B． C．当最小时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图,要在相距200 km的A,B两地各放置一个地动仪,B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下,B地东南方向的铜丸落下,则地震的位置C在A地正东________km.  13．已知椭圆的离心率为，则实数 ． 14．定义：是不大于x的最大整数，是不小于x的最小整数，设函数.在定义域上值域为，记元素个数为，则________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列，满足()，且． （1）证明：数列与均为等比数列； （2）求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如) 16．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． （1）求和； （2）设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 18．（15分） 已知,,其中. （1） 若恒成立,求的取值范围; （2） 判断方程解的个数,并说明理由. 19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． （1）求的标准方程； （2）为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄实验中学2026届高三年级第三次调研考试 数学参考答案 一．选择题： 1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.D 7.A 8.B 二．选择题： 9．BCD 10．ABD 11．ABC 三．填空题： 12．100(+1) 13．10 14． 四．解答题： 15．（1） （1）由，可得， 又， 所以与均为等比数列； （2）由（1）知，，所以， 则，， . 16．（1）由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 17．（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C）， 第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是. 所以. 当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为. 从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以. 故，. （2）（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到三点的概率相同，都为； 第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为； 第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为， 则， 即， 再由，即． 于是存在常数，使得． （ii）由可知， 由可知， 于是——①，——②，——③，——④. 由①②得，即——⑤， 再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥ ，化简得. 因为， 则． 由，于是．所以. 所以当为奇数时，，，……， ，上述个式子相乘得． 又由，即可知． 所以，解得， 即当为奇数时，，所以当为偶数时， 当为偶数时，，， ，上述个式子相乘得,即. 又由可知．解得，即当为奇数时，． 因此，当为奇数时，；当为偶数时，． 当时，， 则． 当时，， 即． 所以存在常数，使得． 18． （1） 由，得，则在上恒成立. 令（提示:在讨论函数的单调性时一定要考虑函数的定义域），则， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. （2） 易知是原方程的解，对于，原方程等价于 记（提示:方程解的个数问题，可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题），则 由得或 当时，， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减 又，所以此时有1个零点，即方程解的个数为1 当时，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 又，所以，且时， ， 所以有2个零点，即方程解的个数为2 当时，，此时且不恒为0，所以在上单调递减. 因为，所以有1个零点，即方程解的个数为1 当时，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，，且 时， ， 所以有2个零点，即方程解的个数为2 综上，当或时，原方程解的个数为1；当或时，原方程解的个数为2. 19．（1）因为，所以，由题得，联立，解得， 所以的标准方程为． （2）①当直线的斜率为0时，不合题意. 当直线的斜率不为0时，设，的方程为， 由得， 所以 所以， 所以， 因为，所以直线的方程为， 代入的标准方程中得，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为． 因为，所以的最小值为. ②当直线的斜率为0时，重合，不合题意。 当直线的斜率不为0时，直线的方程设为， 因为为中点，所以， 又，所以， 所以，所以直线方程为， 令，得， 由①可知， 所以 ， 所以为锐角，所以点在以为直径的圆外． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $