精品解析：山西吕梁市孝义市2025～2026学年第二学期八年级期中质量监测试题（卷） 数学

2025~2026学年第二学期八年级期中质量监测试题（卷）数学 说明：1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑每小题2分，共20分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，根据二次根式有意义得到，求出不等式解集即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义 ， ， 故选：D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、 ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、 是最简二次根式，故此选项符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 3. 高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到以上．图1是一种高铝拱角砖的实物图，其形状为直五棱柱，图2是其横截面示意图，形状为五边形，已知，则两个外角与和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据五边形得出，再由图形求解即可． 【详解】解：∵五边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 下列二次根式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，不符合题意； B、，，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 5. 欧阳修在《醉翁亭记》中写道：“射者中，弈者胜”，其中“射”指投壶，是古人宴饮时的一种游戏，如图所示，现有一圆柱形投壶，内部底面直径为，内壁高为，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度可能为． 6. 如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理得到的长，然后由作图步骤可知，再结合数轴即可得解． 【详解】解：，， ， 由作图步骤可知，， 点表示的数为． 7. 如图，已知，分别以C，A为圆心，，的长为半径作弧，两弧交于点D，连接，，则四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方式可知：，即可得出结论． 【详解】解：由作图方式可知：， ∴判定四边形是平行四边形的根据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 8. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，1， B. ，， C. 6，12，13 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】若三角形中，两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.、， ， ∴，1，能作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、， ∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、， ∴6，12，13不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、，，， ， ∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 9. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．添加下列条件中的一个，能够使得四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐一判定即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴，故该选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故该选项符合题意． C、∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，但不能判定四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，但不能判定四边形是矩形，故该选项不符合题意． 10. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图为平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的_____，可以自由伸缩，改变角度． 【答案】不稳定性 【解析】 【详解】解：平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的不稳定性，可以自由伸缩，改变角度 ． 12. 正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角都相等，据此列式计算即可求解． 【详解】解：根据正多边形外角和为，可得该正多边形的边数为． 13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件（不再添加辅助线和字母），使得平行四边形ABCD变成菱形，你添加的条件是：_____________ ． 【答案】AB=BC 【解析】 【分析】菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 利用菱形的判定方法可得答案． 【详解】解： AB=BC．平行四边形ABCD， 是菱形． 故答案为：AB=BC． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，熟练地掌握菱形的判定定理是解决问题的关键． 14. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 【答案】101 【解析】 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，，点E为边上一点，，于点E，交对角线于点F，连接，，G，H分别是，的中点，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点M，连接，根据正方形的性质得出，，再由三角形中位线的性质确定，得出，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：取线段的中点M，连接，如图所示： ∵正方形，， ∴，， ∵G，H分别是，的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． ． 【小问2详解】 解： ． ． 17. 下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 任务： （1）以上步骤中，从第____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____． （2）正确的结果为_____． （3）除纠正上述错误外，请你结合平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项，给其他同学提一条合理建议． 【答案】（1）一，没有将带分数化为假分数再化简 （2） （3）在二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）第一步在化简二次根式时，没有把带分数化为假分数再化简，导致化简结果错误； （2）先根据完全平方公式去括号，以及把带分数化为假分数，再化简二次根式和计算加法即可得到答案； （3）言之合理即可． 【小问1详解】 解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是化简二次根式时没有将带分数化为假分数后再进行化简； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：在二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式（答案不唯一）． 18. 项目化学习 佳琪同学在数学活动课上进行项目式学习实践探究，相关信息如下： 课题 测量放风筝时风筝离地面的垂直高度 抽象模型 测量数据 ①水平距离米； ②风筝线米； ③手到地面的距离米； 说明 点A，B，C，D在同一平面内，； 若想要风筝沿方向再上升11米，且长度不变，佳琪同学应再放出多少米的线？ 【答案】佳琪同学应该再放出7米的线 【解析】 【分析】过点D作于点E，假设风筝沿方向再上升11米到达点F，连接，根据题意可知：四边形为矩形，米，米，米，米，结合图形利用勾股定理求解即可 【详解】解：过点D作于点E，假设风筝沿方向再上升11米到达点F，连接， 根据题意可知：四边形为矩形，米，米，米，米． 在中， 根据勾股定理可得： 米． 米． 在中， 根据勾股定理可得： 米． 米 答：佳琪同学应该再放出7米的线． 19. 如图，在矩形中，，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：在线段上找点，在线段上找点，使得四边形为菱形．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母． （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）菱形的边长为5 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，作线段的垂直平分线，分别交、于点、，即可得到满足条件的菱形． （2）设菱形的边长为，利用菱形四边相等的性质表示出的长度，再结合矩形的直角，在中应用勾股定理列方程求解边长． 【小问1详解】 解：如图，菱形即为所求． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， 设菱形的边长为，则，， 在中，，， 根据勾股定理可得：，即， 解得， ∴菱形的边长为． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：； （2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）矩形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到平行线，根据平行线的性质，角平分线的定义，得到∠AFE=∠FBC=∠FED=∠ABE即可． （2）利用平行四边形的性质，证明△DEF≌△CEB，得到FD=BC=AD，证明四边形AEFG是平行四边形，结合DE=DF得证EG=AF，得证四边形AEFG是矩形． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC，AB∥DC， ∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBC=∠ABE， ∴∠AFE=∠FED， ∴DE=DF． 【小问2详解】 四边形AEFG是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥BC，AB∥DC，AD=BC， ∴∠AFE=∠FBC，∠FED=∠ABE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBC=∠ABE， ∴∠AFE=∠FED， ∴DE=DF． ∵E为CD边的中点， ∴DE=EC， ∴△DEF≌△CEB， ∴FD=BC=AD， ∵ED=DG， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∵DE=DF， ∴EG=AF， ∴四边形AEFG是矩形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，平行四边形的判定性质是解题的关键． 21. 阅读与思考 认真阅读材料，并完成相应的任务． 勾股定理的拓展探究 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，…… 任务： （1）在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____； （2）在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明； （3）在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____． 【答案】（1） （2）．证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及正方形面积即可求解； （2）连接，根据勾股定理及正方形面积即可求解； （3）延长交于点，过点作于点，延长交于点O，利用全等三角形的判定和性质得出 ，， 同理得：，，设，然后结合图形，利用勾股定理及正方形的面积即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． ∴，且， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 连接，如图所示： 在和中，，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图，延长交于点，过点作于点，延长交于点O， ∴，四边形为矩形， 根据题意可得，即， ， ∵, ， ， 同理得：， ， 设， ， 根据勾股定理可得，即， ，即， ∵， 即， ∴ ∴． 22. 综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． （1）特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； （2）深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； （3）拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）不发生变化，理由见解析； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）由四边形是矩形，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）延长交直线于点，由四边形是矩形，则，，，所以，，再证明，故有，即有，再由直角三角形的性质可得，从而求解； （）分当在延长线上时，当在线段上时两种情况，然后通过中位线定理，勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为的中点，点与点重合， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：与的数量不会发生变化，理由如下， 如图，延长交直线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在延长线上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期八年级期中质量监测试题（卷）数学 说明：1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑每小题2分，共20分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到以上．图1是一种高铝拱角砖的实物图，其形状为直五棱柱，图2是其横截面示意图，形状为五边形，已知，则两个外角与和为（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 欧阳修在《醉翁亭记》中写道：“射者中，弈者胜”，其中“射”指投壶，是古人宴饮时的一种游戏，如图所示，现有一圆柱形投壶，内部底面直径为，内壁高为，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，分别以C，A为圆心，，的长为半径作弧，两弧交于点D，连接，，则四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 8. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，1， B. ，， C. 6，12，13 D. ，， 9. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．添加下列条件中的一个，能够使得四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 10. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图为平行四边形伸缩尺，又称活动尺、连杆尺，它的原理是利用四边形的_____，可以自由伸缩，改变角度． 12. 正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为______． 13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件（不再添加辅助线和字母），使得平行四边形ABCD变成菱形，你添加的条件是：_____________ ． 14. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是_____寸． 15. 如图，在正方形中，，点E为边上一点，，于点E，交对角线于点F，连接，，G，H分别是，的中点，连接，则的长为_____． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 任务： （1）以上步骤中，从第____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____． （2）正确的结果为_____． （3）除纠正上述错误外，请你结合平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项，给其他同学提一条合理建议． 18. 项目化学习 佳琪同学在数学活动课上进行项目式学习实践探究，相关信息如下： 课题 测量放风筝时风筝离地面的垂直高度 抽象模型 测量数据 ①水平距离米； ②风筝线米； ③手到地面的距离米； 说明 点A，B，C，D在同一平面内，； 若想要风筝沿方向再上升11米，且长度不变，佳琪同学应再放出多少米的线？ 19. 如图，在矩形中，，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：在线段上找点，在线段上找点，使得四边形为菱形．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母． （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：； （2）当E为CD边的中点时，判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 21. 阅读与思考 认真阅读材料，并完成相应的任务． 勾股定理的拓展探究 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中就有“勾三、股四、弦五”的记载．如图1，在中，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，其面积分别为，，． 在此基础上，同学们作了进一步探究： 佳琪同学的探究思路：如图2，在四边形中，，分别以，，，为边向外作正方形，其面积分别为，，，，探究这四个面积之间的等量关系． 知夏同学的探究思路：如图3，在如图1的基础上，分别以，为边向外作正方形，其面积分别为， ，探究，，的等量关系．为探究它们的关系，过点G作于点Q，结合全等三角形的有关知识和勾股定理，计算出，即可求出，…… 任务： （1）在图1中，直接写出，，之间的等量关系：_____； （2）在图2中，写出，，，之间的等量关系，并证明； （3）在图3中，直接写出，，之间的等量关系：_____． 22. 综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． （1）特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； （2）深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； （3）拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $