专题05平行四边形易错必刷题型专项训练(14大题型共计42道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形14类高频易错题型，通过题型特征剖析与易错点归纳，构建从基础判定到综合应用的解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形易错题型突破|14类题型（含数图形、判定、中位线等）|分类讨论（三点定平行四边形）、定理辨析（避免性质判定混淆）、动态问题分段分析|从概念辨析（等腰梯形与平行四边形）到性质应用（折叠/动点），形成“判定-性质-综合”递进链条|

专题05平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.数图形中平行四边形的个数 题型02.三点确定平行四边形找点个数 题型03.证明四边形是平行四边形 题型04.补充条件判定平行四边形 题型05.三角形中位线求解问题 题型06.三角形中位线证明问题 题型07.全等三角形拼接平行四边形 题型08.平行四边形性质证明 题型09.判定能否构成平行四边形 题型10.平行线间距离应用问题 题型11.等腰梯形定义辨析 题型12.平行四边形与折叠问题 题型13.平行四边形与最值问题 题型14.平行四边形与动点问题 易错必刷题型01.数图形中平行四边形的个数 题型特征：由多个小平行四边形（或基础图形）拼接成大图形，统计图中所有平行四边形的总数 易错点：①只数单个小图形，漏数由2个及以上小图形拼成的大平行四边形②无固定计数顺序，重复数同一个图形③误把普通四边形当成平行四边形计数 1．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 2．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 3．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 易错必刷题型02.三点确定平行四边形找点个数 题型特征：已知平面内/直角坐标系中3个固定顶点，求所有能构成平行四边形的第4个顶点的位置或坐标 易错点：①不会以三条线段分别为对角线分类讨论，只找到1种情况②点位判断偏差、坐标计算错误③漏解，只写出部分符合条件的顶点 4．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 5．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 6．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 易错必刷题型03.证明四边形是平行四边形 题型特征：给出四边形的边、角、对角线条件，要求证明该四边形是平行四边形 易错点：误用“一组对边平行，另一组对边相等”这个错误判定；证明时缺少关键推导步骤，逻辑不完整；混淆平行四边形的性质和判定，用性质当判定用。 7．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 8．如图，在四边形中，，，．老师让同学们利用没有刻度的直尺和圆规在四边形上找一点，使得四边形是平行四边形．甲、乙两同学的作法如下所示，下列判断正确的是（   ）    甲：在上截取，使，连接； 乙：以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接 A．甲、乙的作法都一定可行 B．甲、乙的作法都不一定可行 C．只有甲的作法不一定可行 D．只有乙的作法不一定可行 9．在中，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 易错必刷题型04.补充条件判定平行四边形 题型特征：给出四边形的部分条件，要求补充一个条件使四边形成为平行四边形 易错点：补充的条件不是充分条件，无法判定；补充多余限制条件，不符合题目要求 10．如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 11．如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 易错必刷题型05.三角形中位线求解问题 题型特征：给出三角形的边、中点，利用中位线定理求线段长度、周长等 易错点：①混淆中位线和中线，用错定理②记错中位线长度是对应底边的，算错倍数③漏看中点条件，无法应用定理 13．如图，在四边形中，对角线，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的周长是______． 14．如图，点D、点E分别是线段、的中点，是的高，若，，则的长度为（   ） A．6 B．5 C． D． 15．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 易错必刷题型06.三角形中位线证明问题 题型特征：利用中位线定理证明线段平行、线段相等、四边形是平行四边形 易错点：证明时不标注“中点”这个定理使用前提；推理步骤残缺，逻辑不严谨；混淆中位线定理的逆定理，错误应用。 16．如图，在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，则四边形的周长为（    ）    A．6 B．9 C．11 D．13 17．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 18．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 易错必刷题型07.全等三角形拼接平行四边形 题型特征：用一对全等三角形拼接，求能拼成的平行四边形的个数或相关边长 易错点：只会1种拼接方式，漏数另外2种有效拼法；拼接时对应边找错，导致图形判断错误。 19．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 21．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 易错必刷题型08.平行四边形性质证明 题型特征：利用平行四边形的边、角、对角线性质证明线段相等、角相等 易错点：①误记“对角线相等”为平行四边形的性质（仅矩形满足）②混淆对角和邻角的关系，用错角度等量关系③证明时跳过关键性质推导，逻辑不完整 22．如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为______．    23．如图，在中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中，一定正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 易错必刷题型09.判定能否构成平行四边形 题型特征：给出四边形的边长、角度、对角线条件，判断能否构成平行四边形 易错点：仅凭视觉直观判断，不对照判定定理验证；忽略“对边平行且相等”的核心条件，误判；混淆平行四边形和梯形的判定条件。 25．如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 27．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 易错必刷题型10.平行线间距离应用问题 题型特征：求两条平行线之间的距离，或利用距离求平行四边形的面积/高 易错点：①把斜线段长度当成平行线间的距离（距离特指垂线段长度）②计算平行四边形面积时，高和底不对应③漏看“距离是垂线段”的条件，用错长度 28．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 29．如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为________，四边形 的面积为________． 30．如图，在梯形中，，，，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 易错必刷题型11.等腰梯形定义辨析 题型特征：结合图形边、角特征，区分平行四边形与等腰梯形两类四边形，进行概念判定与辨析 易错点：①混淆两类图形核心定义，分不清一组对边平行与两组对边平行的区别②判定梯形时，忽略另一组对边不平行的关键条件③错将等腰梯形性质套用在平行四边形判定当中 31．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 32．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 33．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 易错必刷题型12.平行四边形与折叠问题 题型特征：将平行四边形沿某条直线折叠，求折叠后线段长度、角度、面积 易错点：找错折叠前后的对应边、对应角，用错等量关系；忽略折叠后图形的全等性，无法建立等式。 34．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 35．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 36．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 易错必刷题型13.平行四边形与最值问题 题型特征：求平行四边形中线段最短、周长最小、面积最大等极值 易错点：不会用“垂线段最短”“轴对称”找最值位置；混淆最值的求解条件，算错极值。 37．如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 38．如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 39．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 易错必刷题型14.平行四边形与动点问题 题型特征：平行四边形边上有动点，求动点运动过程中线段、面积、图形形状的变化 易错点：①不按动点的分界点分段讨论，漏解②忽略动点在不同位置时图形的状态变化 ③计算时用错平行四边形的性质，导致结果错误 40．如图，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值______． 41．如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 42．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05平行四边形易错必刷题型专项训练 本专题汇总平行四边形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.数图形中平行四边形的个数 题型02.三点确定平行四边形找点个数 题型03.证明四边形是平行四边形 题型04.补充条件判定平行四边形 题型05.三角形中位线求解问题 题型06.三角形中位线证明问题 题型07.全等三角形拼接平行四边形 题型08.平行四边形性质证明 题型09.判定能否构成平行四边形 题型10.平行线间距离应用问题 题型11.等腰梯形定义辨析 题型12.平行四边形与折叠问题 题型13.平行四边形与最值问题 题型14.平行四边形与动点问题 易错必刷题型01.数图形中平行四边形的个数 题型特征：由多个小平行四边形（或基础图形）拼接成大图形，统计图中所有平行四边形的总数 易错点：①只数单个小图形，漏数由2个及以上小图形拼成的大平行四边形②无固定计数顺序，重复数同一个图形③误把普通四边形当成平行四边形计数 1．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 2．如图①，在中，，则图①中的平行四边形有_____个；如图②，作，则图②中的平行四边形有_____个． 【答案】 3 9 【分析】本题考查了平行四边形的判定与有序计数．掌握“两组对边分别平行”的判定定理，并能有条理、不重不漏地识别图形中的所有平行四边形是解题的关键． 在已知平行四边形中，增加条件．利用平行四边形对边平行的性质，可推导出，由此，图形中被分割出的三个四边形、以及原四边形均满足两组对边分别平行，因此都是平行四边形，共有3个．在①的基础上，再作，此条件与原有平行关系结合，产生了更多平行线组，从而划分出更多小的平行四边形．计数时，需从不同大小、不同位置系统性地识别，包括由新交点G产生的小平行四边形（如）、原有的大平行四边形（如）以及新组合成的平行四边形（如）．通过有序枚举，共得到9个平行四边形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴, ∴四边形、、均为平行四边形， 故图①中的平行四边形有3个． 设线段与线段交于点G， ∵， ∴， ∴四边形、、、、、、、、均为平行四边形， 故图②中的平行四边形有9个． 故答案为：3；9． 3．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________． 【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 即平行四边形，平行四边形，平行四边形； 故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形． 易错必刷题型02.三点确定平行四边形找点个数 题型特征：已知平面内/直角坐标系中3个固定顶点，求所有能构成平行四边形的第4个顶点的位置或坐标 易错点：①不会以三条线段分别为对角线分类讨论，只找到1种情况②点位判断偏差、坐标计算错误③漏解，只写出部分符合条件的顶点 4．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 6．如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 易错必刷题型03.证明四边形是平行四边形 题型特征：给出四边形的边、角、对角线条件，要求证明该四边形是平行四边形 易错点：误用“一组对边平行，另一组对边相等”这个错误判定；证明时缺少关键推导步骤，逻辑不完整；混淆平行四边形的性质和判定，用性质当判定用。 7．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 8．如图，在四边形中，，，．老师让同学们利用没有刻度的直尺和圆规在四边形上找一点，使得四边形是平行四边形．甲、乙两同学的作法如下所示，下列判断正确的是（   ）    甲：在上截取，使，连接； 乙：以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接 A．甲、乙的作法都一定可行 B．甲、乙的作法都不一定可行 C．只有甲的作法不一定可行 D．只有乙的作法不一定可行 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对两种方法进行判断． 【详解】解：甲：由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以甲的做法可行； 乙：由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以乙的做法不一定可行． 故选：D． 9．在中，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别在上，且， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形． 易错必刷题型04.补充条件判定平行四边形 题型特征：给出四边形的部分条件，要求补充一个条件使四边形成为平行四边形 易错点：补充的条件不是充分条件，无法判定；补充多余限制条件，不符合题目要求 10．如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加，使得，得到，，可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证，同理，可添加，，，等，答案不唯一． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． （答案不唯一）． 11．如图，已知，下列结论中不能说明是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据平行四边形的判定定理逐个证明即可． 【详解】解：当时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以A符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，所以C不符合题意； 当时，可得，由，可知，可得，则四边形是平行四边形，所以D不符合题意． 12．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题型05.三角形中位线求解问题 题型特征：给出三角形的边、中点，利用中位线定理求线段长度、周长等 易错点：①混淆中位线和中线，用错定理②记错中位线长度是对应底边的，算错倍数③漏看中点条件，无法应用定理 13．如图，在四边形中，对角线，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【答案】40 【分析】先利用三角形中位线的性质求得，再求的周长即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边的中点， ∴， ∴四边形的周长是． 14．如图，点D、点E分别是线段、的中点，是的高，若，，则的长度为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，三角形中位线求解即可； 【详解】解：因为点D、点E分别是线段、的中点，， 所以；， 因为是的高， 所以， 因为， 所以， 故； 15．探究解题 【知识再现】 (1)如图1，在中，点，分别是边，的中点，则和的关系为___________； 【性质应用】 (2)如图2，在四边形中，点，，分别是，，的中点，，的延长线交于点，若，求的度数； 【拓展证明】 (3)如图3，在四边形中，与相交于点，点，分别为，的中点，分别交于点，且．求证：． 【答案】(1)且 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得结论． （2）证明，，可得，进一步结合角的和差运算与三角形的外角的性质求解即可． （3）取中点，连接，，证明，证明且，且，证明，进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，点，分别是边，的中点， ∴，． （2）解：点，，分别是，，的中点， ∴，， ， ， ． （3）解：取中点，连接，． ， 点分别是的中点， ∴且，且， ． ， ， 又 ． 易错必刷题型06.三角形中位线证明问题 题型特征：利用中位线定理证明线段平行、线段相等、四边形是平行四边形 易错点：证明时不标注“中点”这个定理使用前提；推理步骤残缺，逻辑不严谨；混淆中位线定理的逆定理，错误应用。 16．如图，在中，，，，点D，E，F分别是，，的中点，连接，，则四边形的周长为（    ）    A．6 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】由中位线的性质定理，得，，，，可证四边形是平行四边形，由，求得四边形周长． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 四边形周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质；由中位线性质确定线段间的位置和数量关系是解题的关键． 17．在中，，对角线与相交于点O．已知点E，F分别在边，上，且，连接与．若点M，N分别为，的中点，连接，则=_______． 【答案】 / 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得出点为中点，再根据三角形中位线定理求出，的长及，与，的位置关系，进而求出的度数，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ，， 点在边上， ， 同理可得是的中位线， ，， 点在边上， ， ，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 18．在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知，，据此即可证明结论； （2）容易证明，，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中，， ∴． 易错必刷题型07.全等三角形拼接平行四边形 题型特征：用一对全等三角形拼接，求能拼成的平行四边形的个数或相关边长 易错点：只会1种拼接方式，漏数另外2种有效拼法；拼接时对应边找错，导致图形判断错误。 19．直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】因为直角边不等，直角三角形三条边长度均不同，每种对应边重合可得到不同平行四边形，统计个数即可． 【详解】解：分别将两条不同直角边、斜边依次重合拼接，共得到3种不同的平行四边形，如图： ∴能拼成的不同平行四边形的个数是3． 20．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 21．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 易错必刷题型08.平行四边形性质证明 题型特征：利用平行四边形的边、角、对角线性质证明线段相等、角相等 易错点：①误记“对角线相等”为平行四边形的性质（仅矩形满足）②混淆对角和邻角的关系，用错角度等量关系③证明时跳过关键性质推导，逻辑不完整 22．如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为______．    【答案】/6厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得，进而由点是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 23．如图，在中，，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中，一定正确的结论个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．由在平行四边形中，，是的中点，易得，继而证得①；分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ， 若成立，则应当有，从现有条件无法得出这个结论， 故③错误； ④设，则， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：C 24．如图，在中，对角线、交于点O，，经过点O且与，相交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)108 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而证明，即可推导出； （2）根据平行四边形的性质得，再用勾股定理计算出，最后根据平行四边形面积公式求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，对角线、交于点O， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：中，， ， ，， ， ． 易错必刷题型09.判定能否构成平行四边形 题型特征：给出四边形的边长、角度、对角线条件，判断能否构成平行四边形 易错点：仅凭视觉直观判断，不对照判定定理验证；忽略“对边平行且相等”的核心条件，误判；混淆平行四边形和梯形的判定条件。 25．如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 26．如图，点，，，在同一平面内．有下列条件：①；②；③；④．从中任意选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（   ）    A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 根据平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形为平行四边形； ∴能推出四边形为平行四边形的有种． 故选：B． 27．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 易错必刷题型10.平行线间距离应用问题 题型特征：求两条平行线之间的距离，或利用距离求平行四边形的面积/高 易错点：①把斜线段长度当成平行线间的距离（距离特指垂线段长度）②计算平行四边形面积时，高和底不对应③漏看“距离是垂线段”的条件，用错长度 28．已知直线，点、、在直线上，点、、在直线上，．若的面积为7，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】根据和是等底等高的两个三角形，其面积相等，计算即可； 【详解】直线，点、、在直线上， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ， 和是等底等高的两个三角形， ． 29．如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为________，四边形 的面积为________． 【答案】 8 4 【分析】本题考查三角形中线的性质以及平行线之间三角形面积的等量关系，掌握相关知识点是解题的关键． 由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 30．如图，在梯形中，，，，，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，即可求证； （2）过点A作于点F，根据两平行线间的距离可得，再证明，即可求证． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即； （2）证明：如图，过点A作于点F， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 易错必刷题型11.等腰梯形定义辨析 题型特征：结合图形边、角特征，区分平行四边形与等腰梯形两类四边形，进行概念判定与辨析 易错点：①混淆两类图形核心定义，分不清一组对边平行与两组对边平行的区别②判定梯形时，忽略另一组对边不平行的关键条件③错将等腰梯形性质套用在平行四边形判定当中 31．如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形的面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 32．在如图的几何体中，上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与平行的线段有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，梯形的性质，平行公理的推理，根据平行四边形和梯形的性质可得，，，进而由平行公理的推理可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵几何体的上、下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴图形中与平行的线段有，，，共条， 故选：． 33．为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是梯形，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明，且与不平行，即可判断四边形是梯形； （2）作于点E，作于点F．在求出，，得出．在求出，，得出，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 同理可求：， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∴四边形只有一组对边平行， ∴四边形是梯形； （2）解：如图，作于点E，作于点F． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 易错必刷题型12.平行四边形与折叠问题 题型特征：将平行四边形沿某条直线折叠，求折叠后线段长度、角度、面积 易错点：找错折叠前后的对应边、对应角，用错等量关系；忽略折叠后图形的全等性，无法建立等式。 34．如图，将沿对折，使点落在点处，若，，，则的面积为______． 【答案】19 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质求出的度数，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列出方程求出的值，再根据平行线的性质和折叠的性质证得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】过点作交的延长线于点． 在中，，，，． ， ， ． 在中，， ． 由勾股定理可知：． 由折叠的性质可知，． 设，则，， ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． ， ． 由折叠可知， ， ． ． 35．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 36．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、． (1)证明：平分； (2)当时，求的长； (3)当等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据折叠的性质，以及同角的余角相等证明即可； （2）令与的交点为，利用平行四边形的性质和勾股定理，先求出，再结合折叠的性质，推出，进而证明，设，利用等面积法列方程求解即可． （3）当等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点作于点，证明，得到，即可得解；②当时，得出，结合垂线段最短，可得出不符合题意；③当时，结合斜边大于直角边，可得出不符合题意． 【详解】（1）证明：， ，， 由折叠的性质可得，， ， 平分； （2）解：如图，令与的交点为， 在中，， ，，， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：，即的长为； （3）解：分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， ，， 由折叠的性质可知，， 由（1）可知，平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ，不符合题意； ③当时， ，， ，不符合题意， 综上可知，的长为2． 易错必刷题型13.平行四边形与最值问题 题型特征：求平行四边形中线段最短、周长最小、面积最大等极值 易错点：不会用“垂线段最短”“轴对称”找最值位置；混淆最值的求解条件，算错极值。 37．如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 【答案】28 【分析】先将平行四边形的面积转化为两倍的面积，问题随之转化为求面积的最小值；再根据，确定点D的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆；接着在中用勾股定理算出的长，再通过面积法求出点C到的高；根据垂线段最短，点D到的最短距离为该高减去圆的半径；最后将最短距离代入，即可算出平行四边形面积的最小值． 【详解】解：如图，过点C作，以C为圆心，2为半径画一段弧分别交于G，交于H， 设h是的边上的高． 由勾股定理得， 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C，D，F三点共线， ， ． 38．如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】连接交于点，作于点，作于点，根据平行四边形的性质，得到，，进而得到当最小时，的值最小，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小为的长，根据平行线间的距离处处相等，得到，进而求出的长即可. 【详解】解：连接交于点，作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴点为的中点，当最小时，的值最小，， ∴当点与点重合时，最小为的长， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为. 39．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)7 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点A作交于点Q，利用等腰三角形三线合一的性质和平行四边形的性质得到相关线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质可求得的长度，从而利用三角形面积即可得出结果； （2）连接，，先证明，设，则，利用等腰直角三角形的性质证得，从而证得，和是等腰直角三角形，进而证得结论； （3）利用轴对称的性质，解的直角三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点Q， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，连接，， ∵，四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点A作交于点S， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， 过点G作交延长线于点R， ∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别是、上的动点， 作点C关于的对称点，连接交于点L，连接，过点作交于点N，交于， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 将绕点G顺时针旋转得射线，过点N作交于点P，与交点K， 在中，， ∴， ∴， 当点N，K，P三点共线时，有最小值，即， 过点N作于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型14.平行四边形与动点问题 题型特征：平行四边形边上有动点，求动点运动过程中线段、面积、图形形状的变化 易错点：①不按动点的分界点分段讨论，漏解②忽略动点在不同位置时图形的状态变化 ③计算时用错平行四边形的性质，导致结果错误 40．如图，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值______． 【答案】2或6 【分析】分两种情况：当点P从点B向点C运动时，当点P从点C向点B运动时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴当时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 当点P从点B向点C运动时，根据题意得： ， 解得：， 当点P从点C向点B运动时，根据题意得： ， 解得：， 综上分析可知：以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为2或6． 41．如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质和已知推导出，再根据等角对等边得到，则，然后利用平行四边形的性质得到，进而列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， 点是的中点， ， 以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ， ，或， 或5． 42．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为秒或秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点坐标得出，即可求出，根据点速度即可得答案； （2）点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别表示出和，利用平行四边形的性质列方程求出的值即可； （3）分、和三种情况，分别利用等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒， ∴， ∴． （2）解：∵，点运动到点时，点随之停止运动， ∴， ∵点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动， ∴， ①如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点在点左侧时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是或． （3）解：如图，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴此种情况不存在； 综上所述：的值为秒或秒． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $