专题10 尺规作图（5大题型专项突破）2026年中考数学第二轮专题复习

**基本信息** 以5大基础作图为核心，通过步骤拆解+原理阐释+变式应用构建系统性训练体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作等角|1例+4变式|5步作图法（SSS全等原理）|从基本作图到平行四边形判定的综合应用| |作角平分线|1例+3变式|3步弧交法（角平分线性质）|结合平行四边形、菱形性质的推理延伸| |作垂直平分线|1例+3变式|双弧交叉法（中垂线性质）|从线段垂直平分到特殊四边形证明| |过点作垂线|1例+3变式|两类情境作图（直线上/外点）|融合等腰三角形、正方形性质应用| |作等线段|1例+2变式|射线截取法（线段和差倍）|关联矩形判定与三角形全等证明|

专题10 尺规作图 （5大题型专项突破） 【题型1 作一个角等于已知角】...........................................................................................................................1 【题型2 作一个角的角平分线】.........................................................................................................................10 【题型3 作线段的垂直平分线】.........................................................................................................................17 【题型4 过一点作已知直线的垂线】.................................................................................................................23 【题型5 作一条线段等于已知线段与其他综合】.............................................................................................31 题型1 作一个角等于已知角 已知：∠AOB 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' = ∠AOB 步骤： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； 2.作射线O'A'； 3.以点O'为圆心，OC的长为半径画弧，交O'A'于点 C'； 4.以点C'为圆心，CD的长为半径画弧，与步骤3中的弧交于点D'； 5.过点O'、D'作射线O'B'，则∠A'O'B' 即为所求。 原理：SSS全等三角形判定，对应角相等。 【例1】（2026·重庆·模拟预测）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ∴①________， 是的中线， ∴②________， 在和中， ， ， ∴④________， ∴四边形是平行四边形． 【答案】第一步：见解析；第二步：，，， 【分析】第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧，与相交于两点；以点为圆心，相同长为半径画弧，与相交于一点，以该点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于一点，过点与该点作射线，与的延长线相交于点，连接，则四边形即为所求： 第二步：根据可得，根据中线的性质结合对顶角相等证明 ，得到，进而即可求证； 本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：第一步：如图所示，四边形即为所求； 第二步：证明：， ∴， 是的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，，，． 【变式1-1】（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图； （2）根据三角形的中位线得出线段之间的数量关系和位置关系，判定四边形是平行四边形，然后根据邻边相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）小华在探究“平行四边形的判定和性质”时进行了如下操作，请你完成其中的作图和填空：已知，如图为的边上一点，经过点的直线，在直线上点右侧取一点． (1)尺规作图：在直线的下方作，使边交于点，连接，作线段的垂直平分线分别交线段于点、点、点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究证明： ， ① 又 ② 四边形是平行四边形（理由： ③ ） 在和中 ④ ， 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③两组对边分别平行的四边形是平行四边形，④ 【分析】（1）根据基本作图的方法作图即可； （2）证明四边形是平行四边形和，即可完成证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明： ， ， 又 ， 四边形是平行四边形（理由：两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 在和中 ∴ ， 故答案为：①，②，③两组对边分别平行的四边形是平行四边形，④ 【变式1-3】（2026·重庆·一模）在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与、相交于点、；以点为圆心，相等长为半径画弧，与相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与前弧相交于点；过点、作射线，延长交于点，即为所求； （2）先证明，得到，从而证明，证明，从而得到，即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，，延长交于点，即为所求； （2）证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ， ， ． ， ， ， 即， ． 【变式1-4】（2025·重庆·模拟预测）如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作，交于点F，连接即可； （2）根据平行四边形的性质得到，再由，得到，利用证明，得到即可证明；画出示意图，同理证明，得到，结合菱形的性质得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． 如图，四边形是菱形， ∵四边形为菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是菱形， ∴四边形的形状为菱形． 【点睛】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键． 题型2 作一个角的角平分线 已知：∠AOB 求作：射线OP，使OP平分∠AOB 步骤： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧交于点P； 3.作射线OP，则OP即为∠AOB的平分线。 原理：SSS全等，到角两边距离相等的点在角平分线上。 【例2】（2026·重庆·二模）已知四边形是平行四边形，． (1)请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干信息逐步作图即可； （2）根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点E，在上截取，连接，如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴①． ∵平分， ， ∴②，， 又， ∴③． 又∵④， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【变式2-1】（2026·重庆铜梁·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图，即为所求， （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ∴． 平分，平分， ， ∴， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 【变式2-2】（25-26九年级下·重庆开州·期中）小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点；（只保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵，且， ∴， ∵平分，平分，∴， ① ， ∴， ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． 通过推理论证，小明得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么 ④ ． 【答案】(1)见详解 (2)①，②，③，④另一组对角的角平分线互相平行 【分析】本题考查角平分线的作图方法，四边形的内角和，平行线的判定，角平分线的定义，同角的余角相等，根据推理归纳出一般命题等知识点． （1）按照作角平分线的尺规作图方法作图即可． （2）根据四边形的内角和得到，继而根据角平分线的定义得到，根据同角的余角相等得到，证明，归纳出一般命题的结论． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，射线即为所求； （2）解：∵，且， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 通过推理论证，得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行． 【变式2-3】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． (1)用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了作角平分线，菱形的判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据题意作的角平分线交的延长线于点，连接； （2）根据平行四边形的性质得出，进而证明得出，进而证明得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：四边形是平行四边形， ，，． ∵， 在和中 ∴ ， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ∵， ． ． ， 四边形是菱形． 故答案为：；；；． 题型3 作线段的垂直平分线 已知：线段AB 求作：直线CD，使CD垂直平分AB 步骤： 1.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧； 2.两弧分别交于点C、D； 3.作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线。 原理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线。 【例13】（2026·重庆铜梁·一模）小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查作垂直平分线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）先证明，进而证明四边形为平行四边形．再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：证明∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，连接对角线． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：四边形是平行四边形， ①________ ， 又的垂直平分线为直线， ，②________， 在与中， ④________ ， 四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析 (2)，，， 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据平行四边形的性质，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，菱形的判定方法作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又的垂直平分线为直线， ，，， 在与中， ， ， ， 四边形是菱形． 【变式3-2】（2026·重庆·模拟预测）学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的一种方法．现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)画垂直平分线，构造正方形． 小明画了平行四边形，连接，其中．请你利用尺规作图，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，． (2)证明他的猜想 证明：∵，平分， ∴， ① ，， ∴在中，， ∴ ② ． 又在中， ③ ∴，． 在和中， ∴（AAS）． ∴ ⑤ ∴， 又∵ ⑥ （已证）， ∴四边形是正方形． 【答案】(1)见解析； (2)，，，，，． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，尺规作图等内容，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关基础性质． （1）根据题意，先作平行四边形，再作线段的垂直平分线，按照题意作图即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，根据全等三角形的判定方法可得，从而得到，再根据，即可求证． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下， （2）证明：∵，平分， ∴，，， ∴在中，， ∴． 又在中，， ∴，． 在和中， ∴（AAS）． ∴ ∴， 又∵（已证）， ∴四边形是正方形． 故答案为：，，，，，． 【变式3-3】（25-26八年级下·重庆·月考）在学完《尺规作图》后，李老师给同学们留下了一道课后拓展题．如图所示，四边形是一个直角梯形，，． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)小鲁同学发现，当时，有，并给出了证明，请帮他补全证明过程． 证明：， ① 垂直平分， ② 在和中 ④ 又，且 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法求解； （2）由垂直平分线的性质得到，然后证明出，得到，然后等量代换证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：证明：， ， 垂直平分， ， 在和中 ， 又，且 ． 题型4 过一点作已知直线的垂线 情况 1：过直线上一点P作直线l的垂线 步骤： 1.以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点M、N； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径，在直线 l 的一侧画弧，两弧交于点Q； 3.作直线 PQ，则 PQ⊥l，PQ 即为所求垂线。 情况 2：过直线外一点P作直线l的垂线 步骤： 1.以点P为圆心，大于点P到直线 l 距离的长为半径画弧，交直线l于点M、N； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径，在直线l的另一侧画弧，两弧交于点Q； 3.作直线PQ，则PQ⊥l，PQ即为所求垂线。 【例4】（2026·重庆·一模）如图，是的中线，交的延长线于点． (1)请用尺规作图：过点作于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证明： 是的中线 ①_____ 在和中 ③_____ ④_____ 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）通过证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）证明： 是的中线 ① 在和中 ③ ④ 四边形是平行四边形． 【变式4-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）小希和小福在学习完等腰三角形相关的知识后进行了拓展探究．如图，在中，，，点，点分别为上两点，．请你跟随她们的思路，完成以下作图与填空： (1)尺规作图．用圆规和直尺，过点作交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明猜想．求证：是等腰三角形． 证明：， ① 在和中， （）， ③ 又于交于 ④ 即是等腰三角形 【答案】(1)见图： (2)① ； ②；③ ； ④ 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图． （2）且，所以先推导底角的度数，得到①的内容．因为要利用证明，已知，，所以结合题干中，确定②的内容．因为，所以利用全等三角形对应角相等的性质，得到③的内容．因为，，且，所以通过等量代换推导与的关系，得到④的内容，进而证明是等腰三角形． 【详解】（1）解：在的另一侧取点G， 以点E为圆心，以长为半径作弧，交于两点， 分别以两点为圆心，以大于这两点之间的距离的一半的长为半径画弧，两弧交于点I， 作射线交于点F，交于点H， 则，如图． （2）证明：， ， 在和中，， （）， ， 又于交于， ， ， ，即是等腰三角形． 【变式4-2】（2026·重庆·一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据作垂线的方法画图即可． （2）根据正方形的性质以及全等三角形的判定结合证明步骤完成证明即可． 【详解】（1）解：垂线如下： （2）证明：四边形是正方形， ． ， （①垂线的定义）， 又， ②， 又， ， 在与中， ， ， ③， 为中点， ， 又④， ， 点是线段的中点． 【变式4-3】（2026·重庆·模拟预测）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； (2)证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 【答案】(1)详见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质， （1）利用基本作图．过C点作的垂线即可； （2）先根据角平分线的性质得到．再证明得到，然后利用得到； 熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：，，，． 题型5 作一条线段等于已知线段 已知：线段a 求作：线段AB，使AB = a 步骤： 1.作射线 AP； 2.以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AP于点B； 3.线段AB即为所求。 拓展：可用于作线段的和、差、倍（如作AB= 2a+b）。 【例5】（2026·重庆·二模）如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)基本尺规作图：过点B作于点E，再在上截取．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴ ． ∴四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先以B为圆心，大于B到的距离长为半径画弧，交于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离为半径画弧，得到两弧的两个交点，再过这两个交点作直线交于E，再在上截取即可； （2）由四边形是平行四边形，可得，，再证明证明可得，可得四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图：如图所作． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 【变式5-1】（25-26九年级下·重庆江津·月考）如图，已知，平分，点是上任意一点． (1)按要求，用圆规和直尺作图：作的角平分线，交于点，作射线，交于点，在上截取，连接． (2)研究发现，线段、、的长度存在关系：． 利用三角形全等证明猜想． 证明：∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴②_____ ∵ ∴ ∵，， ∴③_____ ∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴④_____ ∴ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图的方法，作角平分线和线段的方法，作图即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵平分， ∴； 在与中 ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴； 在与中 ， ∴； ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26九年级下·重庆·月考）小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的步骤以及作线段的步骤作图即可； （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 尺规作图 （5大题型专项突破） 【题型1 作一个角等于已知角】..........................................................................................................................1 【题型2 作一个角的角平分线】..........................................................................................................................5 【题型3 作线段的垂直平分线】..........................................................................................................................8 【题型4 过一点作已知直线的垂线】.................................................................................................................11 【题型5 作一条线段等于已知线段与其他综合】.............................................................................................15 题型1 作一个角等于已知角 已知：∠AOB 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' = ∠AOB 步骤： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D； 2.作射线O'A'； 3.以点O'为圆心，OC的长为半径画弧，交O'A'于点 C'； 4.以点C'为圆心，CD的长为半径画弧，与步骤3中的弧交于点D'； 5.过点O'、D'作射线O'B'，则∠A'O'B' 即为所求。 原理：SSS全等三角形判定，对应角相等。 【例1】（2026·重庆·模拟预测）学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了△ABC的中线（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ∴①________， 是△ABC的中线， ∴②________， 在△ADE和中， ， ， ∴④________， ∴四边形是平行四边形． 【变式1-1】（2026·重庆·模拟预测）如图，在△ABC中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是△ABC的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【变式1-2】（2026·重庆·模拟预测）小华在探究“平行四边形的判定和性质”时进行了如下操作，请你完成其中的作图和填空：已知，如图为的边上一点，经过点的直线，在直线上点右侧取一点． (1)尺规作图：在直线的下方作，使边交于点，连接，作线段的垂直平分线分别交线段于点、点、点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)探究证明： ， ① 又 ② 四边形是平行四边形（理由： ③ ） 在和中 ④ ， 【变式1-3】（2026·重庆·一模）在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论． 请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空： (1)如图，△ABC的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明：． 证明：，是的中线， ，． 在和中， ， ． ② ． ． ③ ， ， ④ ． 即． ． 【变式1-4】（2025·重庆·模拟预测）如图，小李在中考数学复习中，做了如下探究：在平行四边形中，对角线相交于点O，E为上一点，连接． (1)用直尺和圆规完成以下基本操作：过点C作的平行线，交于点F，连接；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ①_______ ②_______ 在和中， ③_______ 四边形为平行四边形． 从以上探究过程中，小李进一步发现：若四边形为菱形，E为延长线上一点，连接，再过点C作直线的平行线，交延长线于点F，连接，则四边形的形状为④_______． 题型2 作一个角的角平分线 已知：∠AOB 求作：射线OP，使OP平分∠AOB 步骤： 1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径，在∠AOB内部画弧，两弧交于点P； 3.作射线OP，则OP即为∠AOB的平分线。 原理：SSS全等，到角两边距离相等的点在角平分线上。 【例2】（2026·重庆·二模）已知四边形是平行四边形，． (1)请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【变式2-1】（2026·重庆铜梁·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【变式2-2】（25-26九年级下·重庆开州·期中）小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点；（只保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵，且， ∴， ∵平分，平分，∴， ① ， ∴， ∵在中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ． 通过推理论证，小明得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么 ④ ． 【变式2-3】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平行四边形中，是边上一点，连接． (1)用尺规完成以下操作：作的角平分线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①______，，． ∵， 在和中 ∴ ②______， ， ． ， ． ∵且， 四边形是平行四边形． 平分， ③______ ∵， ． ． ④______， 四边形是菱形． 题型3 作线段的垂直平分线 已知：线段AB 求作：直线CD，使CD垂直平分AB 步骤： 1.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧； 2.两弧分别交于点C、D； 3.作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线。 原理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线。 【例3】（2026·重庆铜梁·一模）小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【变式3-1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，连接对角线． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形， 证明：四边形是平行四边形， ①________ ， 又的垂直平分线为直线， ，②________， 在与中， ④________ ， 四边形是菱形． 【变式3-2】（2026·重庆·模拟预测）学习了正方形的判定和尺规作图后，小明进行了拓展性研究，他发现了画正方形的一种方法．现在你作为小明的同伴，请根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： (1)画垂直平分线，构造正方形． 小明画了平行四边形，连接，其中．请你利用尺规作图，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点O，连接，． (2)证明他的猜想 证明：∵，平分， ∴， ① ，， ∴在△BDE中，， ∴ ② ． 又在中， ③ ∴，． 在和△BFO中， ∴（AAS）． ∴ ⑤ ∴， 又∵ ⑥ （已证）， ∴四边形是正方形． 【变式3-3】（25-26八年级下·重庆·月考）在学完《尺规作图》后，李老师给同学们留下了一道课后拓展题．如图所示，四边形是一个直角梯形，，． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)小鲁同学发现，当时，有，并给出了证明，请帮他补全证明过程． 证明：， ① 垂直平分， ② 在和中 ④ 又，且 ． 题型4 过一点作已知直线的垂线 情况 1：过直线上一点P作直线l的垂线 步骤： 1.以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点M、N； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径，在直线 l 的一侧画弧，两弧交于点Q； 3.作直线 PQ，则 PQ⊥l，PQ 即为所求垂线。 情况 2：过直线外一点P作直线l的垂线 步骤： 1.以点P为圆心，大于点P到直线 l 距离的长为半径画弧，交直线l于点M、N； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN 的长为半径，在直线l的另一侧画弧，两弧交于点Q； 3.作直线PQ，则PQ⊥l，PQ即为所求垂线。 【例4】（2026·重庆·一模）如图，是的中线，交的延长线于点． (1)请用尺规作图：过点作于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证明： 是的中线 ①_____ 在和中 ③_____ ④_____ 四边形是平行四边形． 【变式4-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）小希和小福在学习完等腰三角形相关的知识后进行了拓展探究．如图，在△ABC中，，，点，点分别为上两点，．请你跟随她们的思路，完成以下作图与填空： (1)尺规作图．用圆规和直尺，过点作交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明猜想．求证：是等腰三角形． 证明：， ① 在和中， （）， ③ 又于交于 ④ 即是等腰三角形 【变式4-2】（2026·重庆·一模）在复习正方形的相关知识后，某小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，取的中点，连接，过作的垂线，交于点，交于点．则点也是线段的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形，某小组发现点也是线段的中点，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ． ， （①___________）， 又 ②___________ 又， ， 在与中， ， ． ③___________ 为中点， ， 又④___________， ， 点是线段的中点． 【变式4-3】（2026·重庆·模拟预测）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C作出的垂线，交的延长线于点F（只保留作图痕迹）； (2)证明：，， ， 和为直角三角形， 又平分，， ①_______． 在和中， ③_______． ， ． 题型5 作一条线段等于已知线段 已知：线段a 求作：线段AB，使AB = a 步骤： 1.作射线 AP； 2.以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AP于点B； 3.线段AB即为所求。 拓展：可用于作线段的和、差、倍（如作AB= 2a+b）。 【例5】（2026·重庆·二模）如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)基本尺规作图：过点B作于点E，再在上截取．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴． 在和△CDF中， ， ∴， ∴，． ∴． ∴ ． ∴四边形是 ． 【变式5-1】（25-26九年级下·重庆江津·月考）如图，已知，平分，点是上任意一点． (1)按要求，用圆规和直尺作图：作的角平分线，交于点，作射线，交于点，在上截取，连接． (2)研究发现，线段、、的长度存在关系：． 利用三角形全等证明猜想． 证明：∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴②_____ ∵ ∴ ∵，， ∴③_____ ∵平分 ∴ 在与中 ∴ ∴④_____ ∴ 【变式5-2】（25-26九年级下·重庆·月考）小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $