精品解析：湖北孝感市孝南区2025—2026学年下学期期中学业水平监测八年级数学试卷

2025—2026学年度下学期期中学业水平监测 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 对于A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于D选项：的被开方数不含分母，且5不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 故选：D． 2. 下列二次根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加法，乘法与除法运算．本题需根据二次根式的性质、加法以及乘除法运算法则，逐一判断选项运算的正确性，即可求解． 【详解】解：，故A选项错误． ∵与不是同类二次根式，不能直接合并，故B选项错误． ∵二次根式乘法法则为（）， ∴，故C选项正确． ∵二次根式除法法则为（）， ∴，故D选项错误． 故选：C． 3. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D． 【详解】解：A、， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，，， ， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； C、， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D、，， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，平行四边形的判定，根据错误的命题是假命题，正确的命题是真命题，以及平行四边形的判定方法进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或者是等腰梯形，原说法是假命题，故该选项符合题意； C、两组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 7. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，从而得到的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 9. 勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查“赵爽弦图”的性质，平面直角坐标系的坐标与线段长度转化，掌握“赵爽弦图”的组成图形是解题关键． 根据“赵爽弦图”的全等性质，由点、的坐标算出线段、、的长度，再结合线段间的对应关系推导出点的坐标． 【详解】解：如图所示， 根据“赵爽弦图”，可知大正方形由个全等的直角三角形和个小正方形组成， 点坐标为，点坐标为， ，，， ，， ∴， ， 故点的坐标为． 故选：． 10. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 12. 化简_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握二次根式的性质化简是关键，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法求解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 13. 用同一种正六边形铺满地面时，围绕一顶点拼在一起的有______个正六边形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的原理，解题的关键是明确围绕一点拼在一起的多边形内角之和必须为，并结合正六边形的内角度数进行计算． 先根据多边形内角和公式求出正六边形每个内角的度数，正六边形内角和为，每个内角为其除以6；再用除以正六边形每个内角的度数，得到围绕一顶点拼在一起的正六边形个数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 则每个内角的度数为． 因为围绕一点拼在一起的多边形内角和需为， 所以围绕一顶点拼在一起的正六边形个数为． 故答案为：3． 14. 如图，在菱形中，，，E，F分别是边和上的点，于点F，则线段的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定以及勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．过点E作交于点G，先运用菱形的性质求出，结合直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，求出的长度，最后在中，运用勾股定理求出线段的长度． 【详解】解：过点E作交于点G， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 即． 15. 如图，点在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点．若，，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④． 其中正确的结论是 __．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】由正方形的性质可知，，得出，结合题意可得出，即证明，从而可用“”证明，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得出，结合全等的性质可得，进而即可求出，故②正确；过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离．根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，故③正确；由全等的性质可得，结合三角形的面积公式即可求出，故④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，过点B作，交延长线于点G，则的长即为点B到直线的距离． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故④错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式的运算等知识．熟练掌握上述知识，并能够正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（共9题，75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的减法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据分式的减法法则把原式变形，代入计算即可． 本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ∴， ． 18. 已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积等知识点，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 如图：连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】（1）见解析； （2）36． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 20. 在图1中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形． （1）在图1中，每个小正方形的边长为a，求出的长度； （2）在图2中，每个小正方形的边长为a，请在此网格上画出一个三边长分别为、、的格点三角形． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算即可； （2）取格点，由勾股定理可得、、，故即为所求； 本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 21. 如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，即可得出结论； （2）由三角形中位线定理和勾股定理，求出和的长，再由勾股定理即可得到的长． 【小问1详解】 证明：点E为的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 是边的中点，， ， 四边形是菱形： 【小问2详解】 解：，E分别是边的中点， ， ， ， ，四边形是菱形， ， ， ， ，即的长是． 22. 如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【小问1详解】 解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 23. 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【解析】 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点A的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段，动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． （1）用t的代数式表示：_______，_______； （2）若以为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （3）若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）6或 （3）4或6或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形、等腰三角形的定义以及勾股定理，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）由平行四边形的性质结合题意得到，，，，进而可求解； （2）根据平行四边形的性质，结合题意，分点P在A的右侧时和点P在A的左侧时两种情况，分别列方程求解即可； （3）先利用勾股定理求得，再根据等腰三角形的定义分，，三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，点A的坐标是， ∴，， ∵线段， ∴， 由题意，，，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴以为顶点的四边形是平行四边形时，， 当点P在A的右侧时，， ∴，解得； 当点P在A的左侧时，， ∴，解得， 综上，满足题意的t值为6或； 【小问3详解】 解： ∵点的坐标是， ∴，则， 若为等腰三角形，分三种情况：如图， 当时，，则； 当时，，则； 当时，， 在中，由勾股定理得， 解得，则， 综上，满足题意的t值为4或6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中学业水平监测 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 4. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 两组对角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 8. 如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 12. 化简_________． 13. 用同一种正六边形铺满地面时，围绕一顶点拼在一起的有______个正六边形． 14. 如图，在菱形中，，，E，F分别是边和上的点，于点F，则线段的长度为_____． 15. 如图，点在正方形外，连接、、，过点A作的垂线交于点．若，，则下列结论： ①； ②； ③点B到直线的距离为； ④． 其中正确的结论是 __．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（共9题，75分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 已知，． （1）求的值． （2）求的值． 18. 已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 20. 在图1中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形． （1）在图1中，每个小正方形的边长为a，求出的长度； （2）在图2中，每个小正方形的边长为a，请在此网格上画出一个三边长分别为、、的格点三角形． 21. 如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 22. 如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 23. 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，为坐标原点，点A的坐标是，线段交轴于点，点的坐标是，线段，动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，运动时间为秒． （1）用t的代数式表示：_______，_______； （2）若以为顶点的四边形是平行四边形时，求的值； （3）若为等腰三角形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $