精品解析：湖北省孝感市孝南区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

孝南区2024—2025学年度八年级下学期期中学业水平监测 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 若，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ） A. 8 B. 14 C. 20 D. 25 8. 学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 13米 D. 15米 9. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为、，点D在y轴上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：①；②；③．其中正确结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，已知，那么数轴上的点所表示的数是______． 12. 若是一个正整数，则正整数的最小值是 __． 13. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得______． 14. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题（共9题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 化简求值：，其中，． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 19. 已知满足． （1）求 的值； （2）试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 20. 如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． （1）试探索与之间的数量关系； （2）点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； （3）判断（2）中所画三角形的形状，说明理由，并求出这个三角形的面积． 22. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 23. 四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于F． （1）如图①，点E是边BC中点，求证：AE＝EF． （2）如图②，在（1）的条件下，AB＝4，AB上是否存在一点G，使得四边形EFDG为平行四边形？若存在，试求AG的长；若不存在，请说明理由． （3）如图③，E是BC延长线上一点，CE＝，G是直线AB上一点，试探究：当BG＝ 时，四边形EFDG为平行四边形． 24. 如图，矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是． （1）点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）点D是上一点，矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在对角线上的点E处，求点D的坐标； （3）动点P从点B出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（秒）（）． ①当点C在线段的垂直平分线上时，则t的值为______秒； ②连接，，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，并求出此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝南区2024—2025学年度八年级下学期期中学业水平监测 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件．熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键．因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故选：A． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，熟知概念是关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，含有能开尽方的数，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，不是最简二次根式，故B不符合题意； C、不含有能开尽方的数，是最简二次根式，故C符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 4. 若，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，象限内的点的符号特点，解题的关键在于根据二次根式有意义推出的值． 根据二次根式有意义的条件，推出，进而推出，再根据象限内的点的符号特点判断，即可解题． 【详解】解：， ， 解得， 将代入得， ， 点在第四象限， 故选：D． 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的意义和运算法则解答． 【详解】解：A、，正确； B、不是同类二次根式，不能合并，错误； C、，正确； D、，正确； 故选B ． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义和运算法则是解题关键． 6. 如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（     　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、 的值，求出 的值． 【详解】解：， 平分 ． 7. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5、9、6，则正方形D的面积是（ ） A. 8 B. 14 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得：，解得即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ∵正方形A、B、C的面积依次为5、9、6， ∴， ∴正方形D的面积是20． 故选：C 8. 学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 13米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点A、B的坐标分别为、，点D在y轴上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何问题，考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握性质是本题的关键． 利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：四边形是菱形， ∴，， ∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∵点D在y轴上， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：A 10. “赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成．如图，已知“赵爽弦图”中大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（），下列三个结论：①；②；③．其中正确结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①正确；根据小正方形的面积可判断②正确 根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积可判断③正确，即可． 【详解】解：设大正方形的边长为c， 根据勾股定理得： ∵大正方形面积为49， ∴，故①正确； 根据题意得：小正方形的边长为， ∵小正方形面积为4， ∴小正方形的边长为， ∴，故②正确； ∵大正方形是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼接而成， ∴，故③正确； 故选：D 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，已知，那么数轴上的点所表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】解：， 数轴上的点所表示的数是， 故答案为：． 12. 若是一个正整数，则正整数的最小值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的化简求出． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数． 最小的既是的倍数，又是平方数的数是， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断是个平方数是求解本题的关键． 13. 如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根据题意以及勾股定理算出，，的长，依此类推可知（为正整数），据此即可求解． 【详解】解：由勾股定理得 ， ， ， …… 依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题（共9题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘除，绝对值的性质，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 化简求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】先对原式进行通分，将两个分式化为同分母分式后作差，再通过因式分解对分子化简，得到最简形式；然后把、的值代入，分别计算出与的值，最后代入最简式求出结果．本题主要考查了分式的化简求值以及平方差公式的运用，熟练掌握分式的通分、因式分解和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ∵，， ∴，， ∴原式． 18. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是，的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，结合题意可得，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知满足． （1）求 的值； （2）试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），，． （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， 解得：，，． 【小问2详解】 解：∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴以为边长能构成三角形， ∴此时三角形的周长为． 20. 如图，在中，O是边上的动点，过O作，设交平分线于E，交外角的平分线于F． （1）试探索与之间的数量关系； （2）点O运动到何处时，四边形为矩形，说明理由． 【答案】（1），理由见解析； （2）当O为中点时，四边形是矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义和平行线的性质得，进而得出，同理得，则答案可得； 对于（2），先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出答案． 【小问1详解】 解：，理由： ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； 【小问2详解】 解：当O为中点时，四边形是矩形． 证明：∵O为中点， ∴． 又由（1）知，， ∴四边形是平行四边形. ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 21. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； （3）判断（2）中所画三角形的形状，说明理由，并求出这个三角形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）是直角三角形，理由见解析，． 【解析】 【分析】本题考查的是作图一应用与设计作图，勾股定理及其逆定理． （1）先求出正方形的边长，再根据勾股定理画出图形即可； （2）根据勾股定理画出图形即可； （3）先判断出三角形的形状，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：面积为5的正方形如图所示； ； 【小问2详解】 解：如图所示； ； 【小问3详解】 解：∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴． 22. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由正方形，正方形可得，，，根据证明，即可得出结论； （2）设交于M，由得，而，根据三角形内角和定理得； （3）由（1）则可得，后在中，利用勾股定理可得的长，进而求得的长； 【小问1详解】 证明：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：， 理由：设交于M， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：连接，交于O， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 23. 四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于F． （1）如图①，点E是边BC中点，求证：AE＝EF． （2）如图②，在（1）的条件下，AB＝4，AB上是否存在一点G，使得四边形EFDG为平行四边形？若存在，试求AG的长；若不存在，请说明理由． （3）如图③，E是BC延长线上一点，CE＝，G是直线AB上一点，试探究：当BG＝ 时，四边形EFDG为平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，2 （3），过程见解析 【解析】 【分析】（1）如图①中，取AB的中点K，连接EK．只要证明△AKE≌△ECF，即可解决问题； （2）存在．如图②中，取AB的中点G，连接EG、DF，设AE交DG于O，构造正方形十字架模型．由△DAG≌△ABE，推出∠ADG＝∠BAE，DG＝AE，由∠BAE+∠DAE＝90°，推出∠DAE+∠ADG＝90°，推出∠AOD＝90°＝∠AEF，推出DG∥EF，可证四边形EFDG是平行四边形，由此即可解决问题； （3）如图③中，延长AB到G，使得BG＝CE，则AG＝BE．设DG交AE于O，只要证明四边形EFDG是平行四边形即可解决问题； 【小问1详解】 证明：如图①中，取AB的中点K，连接EK． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠FEC＝∠BAE， ∵BK＝AK，BE＝EC， ∴BK＝BE，AK＝EC， ∴∠BKE＝45°， ∵CF是正方形的外角平分线， ∴∠ECF＝∠AKE＝135°， ∴△AKE≌△ECF， ∴AE＝EF； 【小问2详解】 解：存在． 理由：如图②中，取AB的中点G，连接EG、DF，设AE交DG于O． ∵AD＝AB，∠DAG＝∠ABE，AG＝BE， ∴△DAG≌△ABE， ∴∠ADG＝∠BAE，DG＝AE， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠ADG＝90°， ∴∠AOD＝90°＝∠AEF， ∴DG∥EF， ∵AE＝EF， ∴DG＝EF， ∴四边形EFDG是平行四边形， ∴AG＝AB＝2； 【小问3详解】 解：如图③中，延长AB到G，使得BG＝CE，则AG＝BE．设DG交AE于O． ∵AD＝AB，∠DAG＝∠ABE，AG＝BE， ∴△DAG≌△ABE， ∴DG＝AE，∠ADG＝∠BAE， ∵∠BAE+∠DAE＝90°， ∴∠DAE+∠ADG＝90°， ∴∠AOD＝∠AEF＝90°， ∴DG∥EF， ∵AE＝EF， ∴DG＝EF， ∴四边形DGEF是平行四边形， ∴当BG＝CE＝时，四边形DGEF是平行四边形． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 24. 如图，矩形中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是． （1）点A的坐标为______，点C的坐标为______； （2）点D是上一点，矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在对角线上的点E处，求点D的坐标； （3）动点P从点B出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（秒）（）． ①当点C在线段的垂直平分线上时，则t的值为______秒； ②连接，，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，并求出此时的度数． 【答案】（1），； （2）； （3）①；②存在，，此时 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及矩形的性质解答即可求解； （2）在中，根据勾股定理可得，再由折叠可得，，，从而得到，；设，则，，在中，由勾股定理求出a的值，即可求解； （3）①根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解；②证明，可得，，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：矩形中，轴，轴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，点B的坐标是， ∴，，， ∴在中，； 由折叠得：，，， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得：， ①∵点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得：； ②存在某一时刻t，使， 由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴存在，，此时． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 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