第4单元 比例 解决问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 以比例关系判定为核心，通过24道题构建“概念-判断-应用”逻辑链，覆盖正反比例、比例尺等8类场景，提炼“定关系-列比例-解应用”三步法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正比例应用|8题（如1/3/12题）|判断速度/效率等不变量，建立路程/工作量与时间的正比例关系|从比例定义延伸到不变量识别，形成正比例判定准则| |反比例应用|3题（如13/15/16题）|判断总量不变，建立每次运量与次数的反比例关系|通过乘积一定特征，构建反比例应用模型| |比例尺|3题（如5/6/19题）|利用图实距比值不变，转化单位列比例|结合几何直观，实现比例尺与实际距离互化| |综合应用|10题（如2/4/7/21题）|复杂情境中分离比例关系，多步建立比例式|融合经济、工程等跨领域问题，提升应用意识|

第4单元 比例 解决问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版 1．中国航天器神舟二十号与十九号成功“太空会师”，神舟二十号每分钟飞行474千米。照这样计算，它飞行45秒，能飞行多少千米？（用正比例知识解答） 2．商店卖一种书包，如果每个售价为150，那么售价的60%是进价，售价的40%就是赚的钱，现在要搞促销活动，为保证一个书包赚的钱不少于30元，应该确定怎样折扣？（用比例解决） 3．某工程队修一条公路，15天共修960米，还剩下512米没修，照这样的速度，修完这条公路，共需要多少天？（用比例解） 4．为了2019年全国军运会赛事在黄陂的顺利进行，需要对长的黄土公路段进行拓宽，由甲乙两个工程队同时合修，原计划各修一半。当甲队完成自己任务的时，乙队已修与未修的比是。 （1）照这样计算，当甲队完成任务时，乙队还剩多少千米没有修完？ （2）剩下的任务由甲队与乙队共同完成，修完整条公路时，甲队和乙队实际各修多少千米？ 5．周日，林南从家出发，先朝西偏北30°方向走了300米到图书馆看书，从图书馆出来后又朝正南方向走了200米到超市买东西。请按下面比例尺画出林南周日行走的路线，并标出地点名称。 6．在一幅地图上，量得甲、乙两地的直线距离是20厘米，甲、丙两地的直线距离是12厘米。如果甲、乙两地的实际距离是160米，那么甲、丙两地的实际距离是多少米？（用比例解） 7．、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承担。三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？ 8．服装厂要加工2080套校服,4天加工了640套．照这样计算,完成任务需要多少天?(用比例知识来解．) 9．一列火车和一辆汽车的速度比是13∶4，已知这辆汽车每小时行驶80千米，这列火车每小时行驶多少千米？（用比例解） 10．峄城区某小学参加“小手拉大手、共创卫生城”活动，计划带领30名学生志愿者清理宏学路沿线张贴的小广告，每名志愿者需要清理15处，活动当天5人有事没有参加此次活动，那么剩下的志愿者每人需清理多少处小广告？（用比例解） 11．如图1所示，小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，一种是长方形的。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些如图2所示的竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 12．小冬和小丁是乐于探究和实验的一对好朋友。为了测量一座教学楼的高度，在天气晴朗的一天，他们带着尺子来到教学楼旁边，做了以下试验，并收集了一些信息。 步骤1：小冬测得小丁的身高是150厘米； 步骤2：小冬让小丁站在教学楼旁边，测得小丁的影子的长度是30厘米； 步骤3：小冬测得教学楼的影子的长度是2.7米。 根据以上信息，请你计算这座教学楼的实际高度。（用比例解） 13．一辆运货汽车从甲地到乙地，平均每小时行72千米，10小时到达.回来时空车原路返回，每小时可行90千米，多少小时能够返回原地？（用比例解） 14．一个圆柱形容器中装有水，先把一个棱长为6厘米的正方体铁块浸没在水中，水面上升了5厘米，再把一个圆锥形铅锤浸没在水中，水面又上升了3厘米，这个铅锤的体积是多少？（浸没过程中水均没有溢出） 15．一方有难八方支援。瑞丽疫情期间，某市向瑞丽捐献了大量生活物资。一辆汽车每次运6.8吨，5辆汽车可以运完，如果每辆汽车每次运8.5吨，需要多少辆汽车才能运完？（用比例知识解答） 16．用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页，可以装订225本．如果每本18页，可以装订多少本？（用比例解） 17．我国自行研制的“神舟”六号载人飞船于2005年10月12日9时顺利发射成功，它在太空绕地球转了77圈．已知绕地球5圈大约需要7.5小时，那么神舟“六号”载人飞船在太空大约运行了多长时间？（用比例知识解答）． 18．一种稀释消毒液，用药液和水按1∶200配制而成。要配制这种稀释消毒液603千克，需要药液多少千克？（用比例知识解答） 19．在一幅1∶5000000的地图上，量得甲地到乙地的铁路长3.5厘米，一列火车从甲地到乙地用了2.5小时，这列火车平均每小时行多少千米？ 20．世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上。据悉，它的树干大约需要40个身高1.35m的小学生伸开双臂才能围住，换成身高1.8m的成年人，大约需要多少个成年人伸开双臂才能围住？（人双臂展开的长度约等于人的身高）（用比例知识解答） 21．甲齿轮有60齿，乙齿轮有48齿，为了使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动13圈，须在甲、乙齿轮之间连接一个齿轮丙。齿轮丙是由固定在一起的大、小两个齿轮组成的复合齿轮（丙轮上大、小两个齿轮转的圈数始终相同）。丙轮上大齿轮与甲轮咬合，小齿轮与乙轮咬合。求丙轮上大、小齿轮齿数之比是多少？若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有多少齿？ 22．为备战学校“百年党史竞赛”，老师给莉莉准备了习题册。如果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 23．黄岗山公园健康步道全长750米，小明从起点出发，步行8分钟行了300米，照这样的速度，剩下的路程还要几分钟走完？（用比例解） 24．按计划，中国空间站将于2022年底完成建造，可支持3名航天员长期在轨驻留，据测算，空间站在轨飞行时间与路程的关系如下表。 时间/秒 1 2 3 4 … 路程/千米 7.8 15.6 23.4 31.2 … （1）根据表中的数据填空并描点，再顺次连接。 （2）中国空间站的在轨飞行路程与时间（    ）成（    ）比例，写出你判断的理由。 参考答案 1．355.5千米 【分析】因为神舟二十号飞行的速度是一定的，根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。这里路程和时间是相关联的量，速度（路程与时间的比值）一定，所以路程和时间成正比例关系。题目中速度的单位是每分钟飞行的千米数时间给的是45秒，需要先统一时间单位。1分钟等于60秒，设神舟二十号飞行45秒能飞行x千米，由于路程和时间成正比例关系，所以路程与时间的比值相等。已知每分钟（60秒）飞行474千米，45秒飞行x千米，可列出比例式474：60＝x：45。据此解答。 【详解】解：设神舟二十号飞行45秒能飞行x千米。 1分钟＝60秒 474∶60＝x∶45 60x＝474×45 60x＝21330 60x÷60＝21330÷60 x＝355.5 答：能飞行355.5千米。 2．最多8折 【分析】可设进价是x元，根据等量关系：每个售价为150，售价的60%是进价，售价的40%就是赚的钱，列出比例求解；为保证一个书包赚的钱不少于30元，那么书包的实际售价必须大于进价＋30元，求出最低的实际售价，再除以原来的售价，得出实际售价是原来售价的百分之几，进而根据打折的含义求解。 【详解】解：设进价是x元。 x∶150＝60%∶1 x＝150×60% x＝90 90＋30＝120（元） 120÷150×100%＝80%，即8折。 答：应该确定最多8折。 【点睛】首先根据比例的意义求出进价，进而求出打折后的售价是完成本题的关键。 3．23天 【分析】每天修的米数（即工作效率）一定，说明修的总米数和天数成正比例关系，据此列比例式解答即可。 【详解】解：设剩下的512米需要x天修完； 512∶x＝960∶15 960x＝512×15 960x÷960＝512×15÷960 x＝8； 15＋8＝23（天） 答：修完这条公路，共需要23天。 【点睛】正确判断修的总米数和天数两个相关联的量成什么比例是解答本题的关键。 4．（1）12千米；（2）37.5千米；22.5千米 【分析】（1）可设当甲队完成任务时，乙队还剩x千米没有修完；原计划各修一半，即各修30千米；根据乙队已修与未修的比是可知，乙队已修；据此列比例求解即可； （2）由“当甲队完成自己任务的时，乙队已修与未修的比是”可算出甲乙两队的工作效率比，再根据（1）已知一共还剩下12千米没修，按比例分配即可。 【详解】（1）解：60÷2＝30（千米） 设当甲队完成任务时，乙队还剩x千米没有修完； 20∶12＝30∶（30－x） 600－20x＝360 20x＝240 x＝12 答：乙队还剩12千米没有修完。 （2）＝5∶3 12×＝7.5（千米），甲队实际修30＋7.5＝37.5（千米） 乙队实际修：30－7.5＝22.5（千米） 答：甲队实际修37.5千米；乙队实际修22.5千米。 【点睛】巧妙利用工作效率比是解答本题的关键。 5．见详解 【分析】根据实际距离与比例尺的关系确定图上距离，再根据“上北下南，左西右东”确定方位关系，进而作图。 【详解】如图： 300×＝1.5（厘米） 200×＝1（厘米） 【点睛】能够将线段比例尺转化为数值比例尺，再结合用方向、角度及距离来表示位置的方法确定林南行走的路线。 6．96米 【分析】比例尺＝，同一幅地图的比例尺相同，即图上距离与实际距离成正比。依此可列出正比例方程。 【详解】解：设甲、丙两地的实际距离是米。 20厘米＝0.2米，12厘米＝0.12米 0.2＝160×0.12 0.2＝19.2 ＝19.2÷0.2 ＝96 答：甲、丙两地的实际距离是96米。 【点睛】本题考查用比例解题。根据题意找出数量之间的比例关系是列比例方程的关键。 7．4∶6∶3 【分析】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－。丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－，于是有、、，解方程组即可。 【详解】设三个队的工作效率分别为、、，三项工程的工作量分别为1、2、3，若干天为k天，则k天后，甲完成的工作量为，未完成的工作量为1－，乙完成的工作量为，未完成的工作量为2－，丙完成的工作量为，未完成的工作量为3－。 由此可得： 从而可得：即： 进而得：，即 所以，4∶6∶3 答：甲、乙、丙队的工作效率的比是4∶6∶3。 【点睛】解答此题的关键是利用假设法，然后列方程组计算。 8．13天 【详解】解：设完成任务需要X天． X:4=2080:640                   X=13 9．260千米 【分析】设这列火车每小时行驶x千米，根据火车的速度∶汽车的速度＝13∶4，据此列出比例，并求解即可。 【详解】解：设这列火车每小时行驶千米。 ∶80＝13∶4 4＝80×13 4＝1040 ＝1040÷4 ＝260 答：这列火车每小时行驶260千米。 10．18处 【分析】可以设剩下的志愿者每人需清理x处小广告，那么题中存在的组成的比例式是：计划每名志愿者需要清理小广告的处数∶剩下每名志愿者需要清理小广告的处数＝剩下的志愿者的人数∶计划清理的志愿者的人数，据此代入数字和字母作答即可。 【详解】解：设剩下的志愿者每人需清理x处小广告。 15∶x＝（30－5）∶30 （30－5）x＝15×30 x＝18 答:剩下的志愿者每人需清理18处小广告。 【点睛】本题主要考查了比例的应用，关键是要认真分析题意，找出题目中存在的比例关系。 11．1∶2 【分析】做一个竖式纸盒要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒要3个长方形纸板和2个正方形纸板。假设做成的竖式纸盒为a个，做成的横式纸盒为b个。根据正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2列方程解决。 【详解】解：设竖式纸盒为a个，横式纸盒为b个。 （a＋2b）∶（4a＋3b）＝1∶2 2×（a＋2b）＝4a＋3b 2a＋4b＝4a＋3b 4a－2a＝4b－3b 2a＝b a∶b＝1∶2 答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2。 【点睛】先分析做一个竖式纸盒和一个横式纸盒各自需要的长方形纸板和正方形纸板，再假设它们的个数，用正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2列方程解决。 12．13.5米 【分析】在同一时间、同一地点，物体的高度与其影长成正比例关系。根据1米＝100厘米，低级单位化高级单位除以进率，所以150厘米＝1.5米，30厘米＝0.3米；设教学楼的实际高度是x米，列比例为：x∶2.7＝1.5∶0.3，解比例求出教学楼的实际高度是多少米。 【详解】解：设教学楼的实际高度是x米。 150厘米＝1.5米 30厘米＝0.3米 x∶2.7＝1.5∶0.3 0.3x＝2.7×1.5 0.3x＝4.05 0.3x÷0.3＝4.05÷0.3 x＝13.5 答：教学楼的实际高度是13.5米。 13．8小时 【详解】解：设小时能够返回原地。 答：8小时能够返回原地。 14．129.6立方厘米 【详解】解：设圆锥的体积为x立方厘米，则 （6×6×6）：5＝x：3 5x＝648 x＝129.6 答：圆锥的体积为129.6立方厘米。 15．4辆 【分析】由题意可知：这批生活物资的总数量是一定的，即汽车每次运货量与汽车的数量的乘积是一定的，则汽车每次运货量与汽车的数量成反比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设需要x辆汽车才能运完， 6.8×5＝8.5×x 34＝8.5x x＝34÷8.5 x＝4 答：需要4辆汽车才能运完。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 16．可以装订200本 【分析】据题意知道一批纸的总数量一定，即每本的页数和装订的本数的乘积一定，所以每本的页数和装订的本数成反比例，由此列出比例解答即可。 【详解】解：设可以装订x本。 18x＝225×16 x＝ x＝200 答：可以装订200本。 【点睛】解答此题的关键是，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答。 17．神舟“六号”载人飞船在太空大约运行了115.5小时的时间 【详解】试题分析：根据题意知道，速度一定，路程与时间成正比例，由此列出比例解决问题． 解：设神舟“六号”载人飞船在太空大约运行了x小时的时间， 7.5：5=x：77， 5x=7.5×77， x=， x=115.5； 答：神舟“六号”载人飞船在太空大约运行了115.5小时的时间． 点评：解答此题的关键是，根据路程、速度与时间的关系，判断路程与时间成正比例，由此列出比例解决问题． 18．3千克 【分析】根据比例的意义，药液和水的比是不变的，设需要药液x千克，则水的重量是（603－x），列出比例，再根据比例基本性质解比例。 【详解】解：设需要药液x千克。 x∶（603－x）＝1∶200 200x＝603－x 200x＋x＝603 201x＝603 x＝603÷201 x＝3 答：需要药液3千克。 19．70千米 【分析】图上距离和比例尺已知，首先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出甲、乙两地的距离，然后根据数量关系式：速度＝路程÷时间，即可解答。 【详解】3.5÷＝17500000（厘米） 17500000厘米＝175千米 175÷2.5＝70（千米） 答：这列火车平均每小时行70千米。 【点睛】在根据比例尺求实际距离时不要忘记进行单位的换算。 20．30个 【分析】根据“百骑大栗树”的树干总米数是不变的，可得伸开双臂人的身高与人的个数成反比例，即人双臂展开的长度乘人数的乘积是相等的，设大约需要x个成年人伸开双臂才能围住，列式即可解答。 【详解】解：设大约需要x个成年人伸开双臂才能围住。 答：大约需要30个成年人伸开双臂才能围住。 【点睛】本题主要考查了反比例应用题，关键是得出伸开双臂人的身高与人的个数成反比例。 21．85∶52；52齿 【分析】根据题意可知，丙轮上的大齿轮齿数×丙轮转动圈数＝甲轮的齿数×甲轮转动的圈数，丙轮上的小齿轮齿数×丙轮转动圈数＝乙轮的齿数×乙轮转动的圈数，根据比的意义和基本性质，可知丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数＝（甲轮的齿数×甲轮转动的圈数）∶（乙轮的齿数×乙轮转动的圈数），也就是（60×17）∶（48×13），再根据比的基本性质化简即可，也就是85∶52；已知甲齿轮、丙齿轮不变，则丙轮上的大齿轮齿数∶丙轮上的小齿轮齿数还是85∶52，设乙轮有x齿，据此列比例为（60×17）∶（12x）＝85∶52，然后解出比例即可。 【详解】（60×17）∶（48×13） ＝（60×17÷12）∶（48×13÷12） ＝85∶52 解：设要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有x齿。 （60×17）∶（12x）＝85∶52 （60×17÷12）∶（12x÷12）＝85∶52 （5×17）∶x＝85∶52 85∶x＝85∶52 85x＝85×52 x＝85×52÷85 x＝52 答：丙轮上大、小齿轮齿数之比是85∶52；若甲齿轮、丙齿轮不变，要使甲齿轮转动17圈带动乙齿轮转动12圈，则乙轮有52齿。 【点睛】解答本题的关键是明确齿数和圈数之间的关系，然后利用比和比例的知识进行解答。 22．18题 【分析】根据题意，习题册的题目总数一定，也就是每天做题数量与所用天数的积一定，因此每天做题数量与所用天数成反比例；设每天应该做题，根据“实际每天做题数量×天数＝计划每天做题数量×天数”进行列式解答即可。 【详解】解：设每天应该做题。 10×＝12×15 10＝180 ＝180÷10 ＝18 答：每天应该做18题。 23．12分钟 【分析】根据题意知道，速度一定，时间和路程成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设剩下的路程还要x分钟走完，则可列出比例： 300∶8＝（750－300）∶x 300x＝8×450 x＝12 答：剩下的路程还要12分钟走完。 【点睛】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，再列比例解答。 24．（1）见详解； （2）是；正；见详解 【分析】（1）折线统计图的绘制方法是：整理数据；用一个长度单位表示一定的数量；根据统计表中数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。因为路程÷时间＝速度，所以先计算出飞行路程与时间的比值，然后判断这两个相关联的量成什么比例即可。 【详解】（1）作图如下： （2）7.8÷1＝7.8（千米/秒） 15.6÷2＝7.8（千米/秒） 23.4÷3＝7.8（千米/秒） 31.2÷4＝7.8（千米/秒） 可得（一定），比值一定，符合正比例的意义，所以中国空间站的在轨飞行路程与时间是成正比例。 【点睛】此题的解题关键是掌握折线统计图的画法及特征，另外辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 学科网（北京）股份有限公司 $