精品解析：河北石家庄二中教育集团2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

石家庄二中教育集团2025—2026学年度高一年级下学期 期中考试数学学科 （时间：120分钟，分值：150分，命题人 崔星邦，审题人 马燕） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知化简可得，，然后根据共轭复数求出，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：B. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 3. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则与一定相交 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则与是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面位置关系的定义和判定定理，逐一分析每个选项. 【详解】对于A，当时，因为，，可得，即与不相交，A错误； 对于B，因，，则与没有公共点，则有，B正确； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，若，则无公共点，即或与是异面直线，故D错误. 4. 若向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 13 D. 52 【答案】B 【解析】 【详解】两边同时平方得， 则， 所以， ， 所以. 5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系，原图转化为直观图时，平行关系保持不变，平行于轴的长度不变，平行于轴长度变成原来的一半，轴与轴成，即可求解. 【详解】把直观图转化为原图四边形，如图所示， 由作图可知四边形为平行四边形，， ， , 故周长为. 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念直接求解即可. 【详解】因为满足，且， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 7. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】连接，取中点，连接，则且， 所以， 所以． 8. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理得到，进而可求解. 【详解】因为三角形中， 所以由，可得， 即， 所以， 即， 又在锐角三角形中，， 则或，即或（舍去）. 因为. 由正弦定理可得， 则 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数,满足，则 C. 在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数为实数的充要条件判断A，举反例排除B，根据实系数方程虚根的共轭性判断C，结合复数模的几何意义（圆上点到定点的距离）判断D， 【详解】选项A：设，若，则，此时，，故A正确； 选项B：取反例，令，，则，但，，显然，故B错误； 选项C：实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，若一根为，则另一根为其共轭复数，而非，故C错误； 选项D：表示复平面内z对应的点在以原点为圆心、半径为1的单位圆上， 表示圆上的点到点的距离， 点到原点的距离为，故圆上点到该点的最大距离为，故D正确. 10. 已知的内角所对边分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，满足条件的三角形有且只有一个，则实数的取值范围为 C. 点是所在平面内一点，若 ，则点的轨迹必过的内心 D. 在中，若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理，将角转化为边，再根据三角形大边对大角的性质可判断A；根据三角形有且只有一个的条件分类讨论即可判断B；根据向量加法的平行四边形法则得到的方向，进而可判断C；首先根据已知条件可得与同号，再通过两角和的正切公式可得到的符号，进而可判断D. 【详解】选项A：根据正弦定理 （为外接圆的半径），可得，由三角形大边对大角的性质得，故A正确. 选项B：已知，，所以边上的高为，又满足条件的三角形有且只有一个，则有两种情况： 当时，为直角三角形，满足条件的三角形有且只有一个； 当时，，满足条件的三角形有且只有一个， 故实数a的取值范围是，故B错误. 选项C：因为分别为方向上的单位向量， 所以二者的和向量在的角平分线上， 由 得， 即在的角平分线上，而三角形内心是三条角平分线的交点，故的轨迹必过的内心，故C正确. 选项D：由可知与同号，三角形中最多一个钝角，故，， 即均为锐角，此时 ，故为钝角， 因此为锐角，所以三个角均为锐角，是锐角三角形，故D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 正三棱柱的外接球表面积为 B. 周长的最小值为 C. 棱上总存在点，使得直线平面 D. 为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，先求出正三棱柱底面正三角形的外接圆半径，根据外接球球心在上下底面中心连线的中点求出外接球半径，代入球表面积公式计算验证结论；对B，将正三棱柱两个相邻侧面展开为平面，利用两点之间线段最短得到的最小值，结合固定边长计算的最小周长验证结论；对C，在侧面中作，交于，在侧面过作的平行线交于，则点满足平面；对D，先计算正三棱柱总体积，再用割补法求出平面截得的较大部分体积，最终计算验证结论. 【详解】对于A：正三棱柱外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点， 底面正三角形边长为4，其外接圆半径​​； 正三棱柱高，球心到底面距离，因此外接球半径满足：， 外接球表面积，A正确； 对于B： 中，为定值，周长最小时最小， 将侧面与侧面翻折到同一平面内，连接，则的最小值为， ，因此周长最小值为 ，B错误； 对于C：在侧面内，过作，交于， 在侧面内，过作交于，， 所以平面平面，平面，所以平面 ，C正确； 对于D：正三棱柱总体积 ，是中点，取中点， 连接，则是边长为的等边三角形，取中点，则， 又由平面可知，，所以平面， 较小体积 ， 因此：，​ D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得. 13. 某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 所以，设，所以， 又，所以，即， 化简得：，解得或（舍去）， 所以圆锥的表面积为：. 14. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，为线段上一点（包含端点），则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，结合三角形内角和范围知，故可得，再利用余弦定理可得，然后利用反证法可得，从而可求得各边长和各角的正弦值和余弦值，建立平面直角坐标系，利用坐标运算即可求解. 【详解】，整理得， ，，则， ，，则， ， 由正弦定理边角互化可得，，， 若，则， ，，， 又三角形中至多一个钝角，，， 、、均为锐角， 又，则，因为正弦函数在上单调递增， 则，. 从而，这与矛盾，所以， 从而，，，， ，解得， 因为，所以，， 所以，，， ，， ，， 以为原点，如图所示建立平面直角坐标系， 则，，，设，，则， 则，， ， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将已知三角函数等式转化为边的关系，结合余弦定理求解角；（2）将已知条件代入余弦定理可得的值，进而求出的值，即可得到三角形周长. 【小问1详解】 展开已知等式，得：  ， 移项化简得. 设外接圆的半径为R，由正弦定理可将上式中的角化边，得：. 根据余弦定理可得，代入得. 又，故. 【小问2详解】 将，，代入余弦定理得： ，即，解得. 则， 由得， 故的周长为. 16. 如图，在中，点在线段上，满足，在线段上，且，线段与线段交于点，，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面向量的线性运算和数量积的运算律求解. （2）利用平面向量数量积的运算律及夹角公式求解. 【小问1详解】 在中，由，得， 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 由（1）知，， 则， ， 由（1）知， 所以. 17. 如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； （3）求的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证； （2）由（1）中信息，利用线面平行的性质推理判断； （3）利用等体积法，结合柱体体积公式求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，为中点，连接，由D是的中点， 得，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面； 由，得四边形为平行四边形，， 而，则四边形为平行四边形， 而平面，平面，因此平面， 又平面， 则平面平面，而平面， 所以平面. 【小问2详解】 ； 由（1）知平面，而平面平面，平面， 所以. 【小问3详解】 依题意，平面， 则 ， 所以的体积为. 18. 在锐角中，，，分别是角，，的对边， （1）求角的大小； （2）如图，为内一点，，，，连接并延长交于点 ①求； ②求． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理边角互化及三角恒等变换即可求解； （2）①根据题给条件导出各角与的关系及找出与边长与的关系，再根据正弦定理即可求解； ②根据正弦定理表示出，再根据三角形面积公式及三角形同高其面积比即为底的比表示出，化简即可求出. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理可得， 由正弦定理可得, 即，所以, 由知，，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以为正三角形， 设正三角形的边长为，，则， 因为，，所以，， 则，. 在中，， 则中，由正弦定理可知，即 即，，解得，即. ②在中，由正弦定理可知，则，那么. . 则. 19. 布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： （1）若，且，求； （2）若，的面积为 ①求； ②的外接圆上任一点为，试探究是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）通过，且可证得为正三角形，求得，从而求出； （2）①由及余弦定理即可解决； ②先通过正弦定理、余弦定理证明为正三角形，设的外接圆半径为，再使用向量法，, 同理可知的长，最后表示出，再求出定值. 【小问1详解】 又 ,为正三角形, 所以，. 【小问2详解】 ① ， 所以， 在，，中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得， 即， 故； ②在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由，可得 ， 即, 当且仅当即，又因为三角形内角和为 ， 所以 ，即为正三角形,； 设的外接圆圆心为，半径为，则， 由于为正三角形，故也是的重心，那么， ， 同理可知,那么 , 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中教育集团2025—2026学年度高一年级下学期 期中考试数学学科 （时间：120分钟，分值：150分，命题人 崔星邦，审题人 马燕） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i为虚数单位，复数z满足，则为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则与一定相交 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则与是异面直线 4. 若向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 13 D. 52 5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 6. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数,满足，则 C. 在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是 D. 若，则的最大值为 10. 已知的内角所对边分别为，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，满足条件的三角形有且只有一个，则实数的取值范围为 C. 点是所在平面内一点，若 ，则点的轨迹必过的内心 D. 在中，若，则为锐角三角形 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 正三棱柱的外接球表面积为 B. 周长的最小值为 C. 棱上总存在点，使得直线平面 D. 为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数的值为______. 13. 某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 14. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，为线段上一点（包含端点），则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，，求的周长． 16. 如图，在中，点在线段上，满足，在线段上，且，线段与线段交于点，，，． （1）求； （2）求． 17. 如图，直三棱柱的体积为4，D是的中点． （1）求证：平面； （2）已知为中点，已知平面与平面的交线为，试判断与的位置关系，并证明； （3）求的体积． 18. 在锐角中，，，分别是角，，的对边， （1）求角的大小； （2）如图，为内一点，，，，连接并延长交于点 ①求； ②求． 19. 布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： （1）若，且，求； （2）若，的面积为 ①求； ②的外接圆上任一点为，试探究是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $