2025年山东省聊城市莘县东鲁中学中考模拟数学试卷

**基本信息** 以蛇年春晚纹样、春节档影片等时代情境为载体，融合摇椅设计、春节文化竞赛等真实问题，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|数与式、图形性质、概率|结合中心对称图形考几何直观| |填空题|6/18|代数计算、几何综合|以矩形三等分点考空间观念| |解答题|8/72|模型应用、统计分析、函数几何综合|摇椅设计题体现模型意识，春节文化竞赛统计考数据意识，抛物线综合题发展推理能力|

2026年山东省聊城市莘县东鲁中学中考模拟数学试卷 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1.（3分）给出四个数，，，，其中最小的是 A. B. C. D. 2.（3分）年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是 A. B. C. D. 3.（3分）下列运算正确的是 A. B. C. D. 4.（3分）如图所示图形，下列选项中不是图中几何体的三视图的是 A. B. C. D. 5.（3分）春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为 A. B. C. D. 6.（3分）下列定理中有逆定理的是 A. 直角都相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 对顶角相等 D. 内错角相等，两直线平行 7.（3分）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，，则 A. B. C. D. 8.（3分）如图，交于点，切于点，点在上，若，则为 A. B. C. D. 9.（3分）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是 A. 是的平分线 B. C. 点在线段的垂直平分线上 D. ：： 10.（3分）已知线段，，则点到点的距离为 A. B. C. 或 D. 无法确定 二 、填空题（本大题共6小题，共18分） 11.（3分）据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过万元，这个数用科学记数法表示为______万元． 12.（3分）要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ______. 13.（3分）若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围为 ______ . 14.（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________. 15.（3分）如图，在中，，，，平分交于点，在边上存在一点不与点重合，作关于直线的对称图形为，若点落在的边上，则的长为 ______ . 16.（3分）如图，矩形中，，，点、是的三等分点，连接，，相交于点，则线段的长为______． 三 、解答题（本大题共8小题，共72分） 17.（6分）计算：  先化简，再求值：，其中 18.（8分）解答 如何设计摇椅椅背有坐垫长度？ 素材一 某公司设计制作一款摇椅，图为效果图，图为其侧面设计图．其中为椅背，为坐垫，，为焊接点，且与平行，支架所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心设计方案中，要求，两点离地面高度均为厘米，，两点之间距离为厘米． 素材二 经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为厘米，设计时有以下要求：椅背长度小于坐垫长度；为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点时如图，点比点在竖直方向上至少高出厘米． 任务一 计算底座半径 根据素材求底座半径 任务二 探究摇摆规律 计算图中点距离地面的高度． 任务三 设计椅背、坐垫长度 求椅背的长度范围． 在表格中填入一种符合要求的方案．椅背长度坐垫长度____________________ 椅背长度 坐垫长度 __________ __________ 19.（8分）如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连结和．     求证：四边形是平行四边形； 若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 是什么三角形时，四边形是正方形，请说明理由． 20.（10分）年月日，中国“春节”申遗成功中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分为四组：，，，，得分在分及以上为优秀，下面给出了部分信息：  七年级名学生的竞赛成绩是：  ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，  八年级名学生竞赛成绩在组的数据是：，，，，，，  七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题：  上述图表中的______ ，______ ，______ ；  根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；写出一条理由即可  若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 21.（8分）已知双曲线，直线：过定点且与双曲线交于，两点，设，，直线：．   若，求的面积；   若，求的值；   设，在双曲线上，在直线上且轴，求最小值，并求取得最小值时的坐标．参考公式：在平面直角坐标系中，若，则，两点间的距离为   22.（12分）如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，过点作，分别交，的延长线于点，，若点恰是的中点，连接  求证：是的切线；  若，，求图中阴影部分的面积． 23.（8分）在矩形 中， ， 是 上一点， ，将 沿 折叠，点 的对应点为 ． (1)如图，若点落在矩形的边上，①求证：； ②求线段的长． (2)如图，若点落在对角线上，求边的长． 24.（12分）已知抛物线  若抛物线过点，求抛物线的解析式；  若该抛物线上任意不同两点、都满足：当时，；当时，，试判断点在不在此抛物线上；  抛物线上有两点、，当时，恒成立，试求的取值范围． 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】B; 2.【答案】A; 3.【答案】B; 4.【答案】B; 5.【答案】C; 6.【答案】D; 7.【答案】D; 8.【答案】A; 9.【答案】D; 10.【答案】D; 11.【答案】5.4×106; 13.【答案】  14.【答案】且 15.【答案】或或  16.【答案】．  17.【答案】解：（1）原式=3-1+-1-2×  =3-1+-1-  =1；    （2）原式=÷  =•  =，  当x=-1时，  原式=  =; 18.【答案】 ; 19.【答案】证明：    ，  是的中点，  ，  在和中，    ≌，  且，  四边形是平行四边形；  若，则四边形是菱形，  证明如下：四边形是平行四边形，  且   又，  且 ，  四边形是平行四边形，  ，    四边形是菱形；  当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形．  理由是：当时，  由得：四边形是菱形，  由知：四边形是平行四边形，  从而当时有，  菱形是正方形． 20.【答案】; 【解析】解：七年级成绩的众数，八年级成绩的中位数，  ，即；  故答案为：、、；  八年级成绩更好，  由表中数据知，七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的方差小，  所以八年级成绩更稳定，成绩更好；  人，  答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人．  21.【答案】解：（1）当k=-1时，：y=-x+2，   联立得，，化简得-2x+1=0，   解得：=-1，=+1，   设直线与y轴交于点C，则C（0，2）．   S△OAB=S△AOC-S△BOC=•2•（-）=2；   （2）根据题意得： 整理得：k+（1-k）x-1=0（k＜0），   ∵△=[（1-k）]2-4×k×（-1）=2（1+）＞0，   ∴、 是方程的两根，   ∴ ①，   ∴AB==，   =，   =，   将①代入得，AB==（k＜0），   ∴=，   整理得：2+5k+2=0，   解得：k=-2或k=-；   （3）F（，），如图：   设P（x，），则M（-+，），   则PM=x+-==，   ∵PF==，   ∴PM=PF．   ∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，   当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=-x+2，   由（1）知P（-1，+1），   ∴当P（-1，+1）时，PM+PN最小值是2．; 22.【答案】（1）证明：连接OC，    ∵OA=OC，  ∴∠OCA=∠A，  ∵AB是⊙O的直径，  ∴∠ACB=90°，  ∴∠DCF=180°-∠ACB=90°  ∵点E是DF的中点，  ∴CE=DE=DF，  ∴∠DCE=∠D，  ∵DE⊥AB，  ∴∠AED=90°，  ∴∠A+∠D=90°，  ∴∠OCA+∠DCE=90°，  ∴∠OCE=180°-（∠OCA+∠DCE）=90°，  ∵OC是⊙O的半径，  ∴CE是⊙O的切线；  （2）解：连接BD，    由（1）知：∠DCF=90°，  ∵BC=1，CD=，  ∴tan∠CDB===，  ∴∠CDB=30°，  ∴∠CBD=90°-∠CDB=60°，  ∵DE⊥AB，E是DF的中点，  ∴BD=BF，  ∴∠BDF=∠F=∠CBD=30°，  ∴∠ADE=∠CDB+∠BDF=60°，  ∵CE=DE，  ∴△CDE是等边三角形，  ∴CE=CD=，  ∵∠AED=90°，  ∴∠A=90°-∠ADE=30°，  ∴∠BOC=2∠A=60°，  ∵OC=OB，  ∴△OCB是等边三角形，  ∴OC=OB=BC=1，  ∴S扇形COB==，  ∵S△OCE=CE•OC=××1=，  ∴阴影部分的面积=S△OCE-S扇形COB=-，  ∴阴影部分的面积为-．; 23. 【答案】 ; 24.【答案】解：（1）将（2，1）代入y=a（x-1）（x-）得1=a（2-），  解得a=2，  ∴y=2（x-1）（x-）．  （2）∵y=a（x-1）（x-），  ∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（，0），  ∴抛物线对称轴为直线x=，  ∵＜＜0时，（-）（-）＞0，0＜＜时，（-）（-）＜0，  ∴抛物线对称轴为值x=0，即1+=0，  解得a=-3，  ∴y=-3（x-1）（x+1），  将x=2代入y=-3（x-1）（x+1）得y=-9，  ∴点（2，-9）在抛物线上．  （3）∵抛物线对称轴为直线x=，  ∴点E（0，n）关于对称轴对称的点E'（1+，n），  ∵当b≤-2时，m≤n恒成立，  ∴抛物线开口向下，即a＜0，且-2≤1+，  解得a≤-1．; 第  页，共  页 学科网（北京）股份有限公司 $