精品解析：山东济南市济阳区2025-2026学年七年级下学期期中数学试题

七年级数学试题 本试卷共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025年我国自主研发的“超薄钢”厚度仅为米，彰显中国制造实力，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，其中要求，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答． 【详解】解：，，则小数点移动了5位，即， ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：∵根据完全平方公式，，∴，A计算错误； B选项：∵根据同底数幂的除法法则，，∴，B计算错误； C选项：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，，∴，C计算错误； D选项：∵根据幂的乘方法则，，∴等式成立，D计算正确． 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 未来三天会下雨 C. 直角三角形中两锐角互余 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 【答案】C 【解析】 【详解】解：必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 选项A：打开电视不一定正在播放广告，属于随机事件，所以A不符合要求； 选项B：未来三天不一定会下雨，属于随机事件，所以B不符合要求； 选项C：任意三角形内角和为，直角三角形有一个角为，因此两锐角和为=，一定互余，是必然事件，所以C符合要求； 选项D：经过有交通信号灯的路口，不一定遇到绿灯，属于随机事件，所以D不符合要求． 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 5. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题平行线的性质，垂直的定义根据垂直定义得，即可由，再根据平行线的性质得，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：C． 6. 如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、原式，故该选项不符合题意； C、原式，故该选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； 故选：D 8. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据题中判定，利用平行线的性质逐项验证即可得到答案，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，， ， ， A、由于与不一定平行，则不一定正确，不符合题意； B、正确，符号题意； C、由于与不一定平行，则不一定正确，不符合题意； D、由于与不一定平行，则不一定正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（ ） A. 32 B. 36 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，， ， ∵， ∴， 故选A． 10. 如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断；②根据等角的余角相等得出，利用证明即可判断；③利用角平分线的定义得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可判断；④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出判断；⑤根据现有条件无法证明，即可判断． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤根据现有条件无法证明，故⑤错误； 综上，正确的有①②③④，共4个． 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果一个角的补角是，那么这个角是______°． 【答案】130 【解析】 【分析】根据补角的定义，计算得到这个角的度数即可. 【详解】解：根据补角的定义，互为补角的两个角的和为， 已知该角的补角是， 则这个角为 . 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 14. 在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】利用平行和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，所以的周长即为，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴ ， 即的周长为22， 15. 如果与的乘积为1，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，即，再把所求式子前面乘以，据此利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵与的乘积为1， ∴，即， ∴ ． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 17. 先化简再求值． ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则． 原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 将，代入得：原式． 18. 如图，已知，，的平分线交于点，交的延长线于点． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：（已知）， （①____________）． 平分（已知）， （角平分线定义） （②____________） 又（已知）， ∴③____________（④____________）． ⑤____________（两直线平行，同位角相等） （等量代换）． 【答案】①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③；④同旁内角互补，两直线平行；⑤ 【解析】 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 平分（已知）， （角平分线定义） （等量代换） 又（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等） （等量代换） 19. 在一个口袋中只装有6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是______； （2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？ 【答案】（1） （2）取走了10个红球 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可． （2）设取走了x个红球，即放入x个白球，然后根据概率公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：. 【小问2详解】 解：设取走了x个红球，即放入x个白球， 则， 解得：， 答：取走了10个红球． 20. 在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． （1）求，的值； （2）计算的正确结果． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）化简，对比结果，分别求出，的值； （2）将（1），的值代入代数式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵小泉看错了的值，计算结果为， ∴，， ∵小张看错了的值，计算结果为， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要　　元钱． 【答案】（1）铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米；（3）7575． 【解析】 【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可； （2）把a＝2，b＝3代入计算即可； （3）计算出需要的地砖的块数，再求出总金额． 【详解】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2 ＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝22a2+16ab+2b2（平方米）， 答：铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米； （2）当a＝2，b＝3时， 原式＝22×22+16×2×3+2×32 ＝202（平方米）， 答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米； （3）202÷0.22×1.5＝7575（元）， 故答案为：7575． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，准确识图，掌握计算法则是正确计算的前提． 23. 已知，平分，． （1）如图1，判断和的位置关系，并说明理由； （2）点在射线上，点在射线上，，连接． 如图2，若点在点的右侧，，求的度数； 如图3，若点在点的左侧，，求的度数． 【答案】（1） ，理由见解析； （2） ； ． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义，结合已知可得，即可得和的位置关系； （2）过点作，由平行线的判定和性质，可得，，由垂直的定义，可得，可得，即可得的度数；过点作，由平行线的判定和性质，可得，，结合已知即可得的度数． 【小问1详解】 解：，理由如下： 平分， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点作， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 24. 数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）【探索】如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式____________，利用上述公式解决问题： （2）【应用】①若，，则，______； ②若，，求的值； （3）【迁移】如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2）①28；②81 （3）384 【解析】 【分析】（1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）①根据整体代入计算即可； ②根据计算即可． （3）由，，，得出正方形的边长为， 根据题意得出，设，， 则，，然后根据完全平方公式求出即可． 【小问1详解】 解：如图1从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， ∴有； 【小问2详解】 解：①∵， ； ②∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴正方形的边长为， 又∵长方形的面积为160， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∴． 即两个正方形的面积和为384． 25. 如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． （1）当点在线段上时， （用含的代数式表示）； （2）当的面积为时，求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1） （2）为秒或秒 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【小问1详解】 解：当点在线段上时，， ． 【小问2详解】 解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； 【小问3详解】 解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 本试卷共6页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025年我国自主研发的“超薄钢”厚度仅为米，彰显中国制造实力，该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 未来三天会下雨 C. 直角三角形中两锐角互余 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，，分别是的中点，若阴影部分的面积为4，则的面积是（ ） A. 32 B. 36 C. 28 D. 30 10. 如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果一个角的补角是，那么这个角是______°． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是___________． 13. 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为_______． 14. 在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 15. 如果与的乘积为1，那么的值为______． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 先化简再求值． ，其中，． 18. 如图，已知，，的平分线交于点，交的延长线于点． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：（已知）， （①____________）． 平分（已知）， （角平分线定义） （②____________） 又（已知）， ∴③____________（④____________）． ⑤____________（两直线平行，同位角相等） （等量代换）． 19. 在一个口袋中只装有6个白球和14个红球，它们除颜色外完全相同． （1）事件“从口袋中随机摸出一个球是红球”发生的概率是______； （2）现从口袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，求取走了多少个红球？ 20. 在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． （1）求，的值； （2）计算的正确结果． 21. 如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 22. 某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米． （1）求铺设地砖的面积是多少平方米； （2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？ （3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要　　元钱． 23. 已知，平分，． （1）如图1，判断和的位置关系，并说明理由； （2）点在射线上，点在射线上，，连接． 如图2，若点在点的右侧，，求的度数； 如图3，若点在点的左侧，，求的度数． 24. 数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． （1）【探索】如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式____________，利用上述公式解决问题： （2）【应用】①若，，则，______； ②若，，求的值； （3）【迁移】如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和． 25. 如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． （1）当点在线段上时， （用含的代数式表示）； （2）当的面积为时，求的值； （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $