精品解析：安徽省合肥市包河区2025-2026学年第二学期教学质量检测(二) 九年级数学 试题卷

安徽省合肥市包河区2025-2026学年第二学期教学质量检测（二）九年级数学试题卷 注意事项： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列选项中，比-低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可. 【详解】A：-3＜-2，选项正确； B：-1＞-2，选项错误； C：0＞-2，选项错误； D：1＞-2，选项错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握相关方法是解题关键, 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为．则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：A． 3. 榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即  故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 5. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的大致范围，判断更接近哪个整数，再判断与最接近的整数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴更接近， 则更接近， ∴最接近的整数是． 6. 如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 7. 如图，菱形的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】因为、分别是、中点，所以可利用三角形中位线定理，得出与的位置和数量关系．因为平行于，所以可通过角角边证明与全等，进而得到，由此可推出的长度．因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以可结合勾股定理，利用和的长度求出的长度． 【详解】如图，连接，交于点O， ∵、分别是、中点， ∴，且． 又∵菱形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． 8. 如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，，根据阴影部分面积等于半径为2的半圆的面积减去弓形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，点是下方的中点，， ∴， 阴影部分面积为 9. 已知3个二次函数：，其中a，b，c是正实数，且满足．若函数的图象与轴有且只有1个交点，函数的图象与轴无交点，则函数的图象与轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】通过二次函数图象与x轴交点个数与根的判别式之间的关系解决． 【详解】由题意知，函数的图象与x轴有且只有1个交点， ， ， a是正实数， ， 函数的图象与x轴无交点， ， ， b是正实数， ， ， ， ， 即， 函数的图象与x轴无交点． 【点睛】解决本题的关键是式子变形，以及根的判别式与二次函数图象与x轴交点个数关系． 10. 已知，在△中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点，过点作交于点，是线段上的点，，是线段上的点，．若△的面积为定值，则下列三角形的面积也为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由平行线的性质推出，，判定△△，推出，得到，由平行线的性质推出，判定△△，得到，得到，推出，得到△的面积△的面积，而△的面积△面积的一半，得到△的面积为定值． 【详解】解：连接， ，， ，， △△， ， ，， ，， ， ，， ，， ， △△， ， ， ， ， ， △的面积△的面积， ， △的面积△面积的一半， △的面积△面积的一半， △的面积为定值， △的面积为定值． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 有大小、材质完全相同的四张卡片，正面分别书写化学元素符号（氧）、（氮）、（铜）、（锌），暗箱摇匀后不放回随机抽两张，则抽取的两张卡片恰好都是金属元素的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：设（氧）、（氮）、（铜）、（锌）分别为1、2、3、4， 其中抽取的两张卡片恰好都是金属元素的结果只有2种． 根据概率公式可得：． 13. 如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则k的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，进而确定点的坐标，作轴于点，易得为等腰直角三角形，进而推出点坐标，即可得出k的值. 【详解】解：∵直线向上平移2单位长度交轴于点，且直线为一、三象限的角平分线， ∴平移后的直线的解析式为，当时，，，， ∴， 作轴于点， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 14. 对于一列互不相同的整数，我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出这两个数的和或者差，把求得的结果连同余下的整数，组成新的一列数．重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做这列数的“终止数”．以数列1，2，3为例：初始数列有3个数，需要操作2次得到终止数；第1次操作：取走1和2，计算和为，余下的数为3，组成新数列3，3；第2次操作：取走两个3，计算差为，最终得到终止数0；也可选择其他操作方式：第1次取走1和3，计算和为，余下的数为2，组成新数列2，4；第2次操作取走2和4，计算和为，最终得到终止数6．由此可见，同一列数通过不同的操作，可以得到不同的终止数．完成下面探究： （1）现有一列整数：1，2，3，4．其最大的负“终止数”是______； （2）2，9，5，7，a，b，c，14为互不相同的正整数列，如果这一列数的“终止数”最大为61，则的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 480 【解析】 【分析】（1）根据题中所给操作方法进行求解即可； （2）由题意易得终止数的最大值为所有数取正号时的总和，然后可得，则a，b，c是互不相同的正整数，且与互不相同，进而问题可求解． 【详解】解析：（1）由一列整数：按照题中所给操作进行计算， 当取1和2时，取它们的差为，与余下的数组成新数列为，取3和4，取它们的和，与余下的数组成新数列为，计算它们的和为，所以终止数是6， 当进行类似操作后会发现任意“终止数”的奇偶性与初始数列之和的奇偶性相同，对于数列1、2、3、4，其和为10，所以“终止数”必为偶数， ∵最大的负偶数为，且， ∴最大的负终止数为； （2）∵终止数的最大值为所有数取正号时的总和已知最大终止数为61， 已知数之和， ， ， a，b，c是互不相同的正整数，且与互不相同， ∵和为定值时，三个数越接近，乘积越大， ∴优先寻找最接近的三个数， ∵最接近的组合7，8，9中，7，9已在已知数中，舍去， ∵次优组合6，8，10，均不在已知数中，且互不相同， ∴乘积最大值， 的最大值为480． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 16. 某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 【答案】款钥匙扣单价为15元，款钥匙扣单价为12元 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设B款钥匙扣单价是x元，则A款钥匙扣的单价是元，根据用105元购买A款钥匙扣的数量，比用120元购买B款钥匙扣的数量少3个，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设款钥匙扣的单价为元，则款钥匙扣的单价为元． 根据题意列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解． 款钥匙扣单价：（元）． 答：款钥匙扣单价为15元，款钥匙扣单价为12元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是、． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为对称中心，画出的中心对称图形； （3）借助网格，用无刻度直尺过点作，垂足为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）取格点，作直线交于点，直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图，△即为所求； 【小问2详解】 解：如图，△即为所求； 【小问3详解】 解：如图，直线即为所求． 18. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板AB可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，，求点到直线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】点A到直线的距离约为 【解析】 【分析】过作，交的延长线于点，解直角三角形求得，，推出四边形CFGH是矩形，据此求解即可． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于点， 过点作，垂足为，过点作，垂足为． ， ． ，，， ． ， ． ∵，， ∴， ∴， ． ， ． ∵，，， ∴四边形CFGH是矩形， ∴， ． 答：点A到直线的距离约为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着安徽非遗文化的线上推广发展，全省各地的特色非遗手工艺品（如徽墨、歙砚、黄梅戏文创、徽派建筑摆件等）有了更广阔的展示空间，不同的文化推广平台在创意呈现、文化契合度等方面各具优势．某非遗手工艺品传承人打算从甲、乙两家文化推广平台中选择一家合作，为此他收集了10家非遗手工艺品创作者对两家平台的相关评价，并整理、描述、分析如下： 作品创意和文化传承契合度得分统计表： 统计量平台 作品创意得分 文化传承契合度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 乙 （1）计算：______，扇形统计图中______，并补全频数分布直方图； （2）计算表格中乙的方差，即的值； （3）在非遗文化线上推广中，该传承人将作品创意的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾文化传承契合度的基本表现．请结合表中的统计量，为该非遗手工艺品传承人推荐合适的合作平台，并说明理由． 【答案】（1），，见解析； （2）； （3）推荐乙平台，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图，可得甲文化推广平台作品创意得分为分的频数，可得中位数，用乘乙文化推广平台作品创意得分为分的百分比，可得，补全频数分布直方图即可； （2）将折线统计图中乙文化推广平台文化传承契合度得分代入方差公式计算即可； （3）按照选择标准，根据作品创意得分的中位数和平均数做决策即可． 【小问1详解】 解：甲文化推广平台作品创意得分为分的频数为， ∴甲文化推广平台作品创意得分按照从小到大的顺序排列，第个数为，第个数为， ∴， ， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：推荐乙平台， 理由：该传承人将作品创意的整体水平作为首要选择标准，乙平台作品创意得分的平均数和中位数均高于甲平台． 20. 如图，、分别为的直径和弦，过点作，垂足为点，交于点，点为线段上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据垂线的定义得到，可知，进而证明四边形为平行四边形，可知； （2）设，则，根据平行四边形的性质得到，根据垂径定理求出，根据三角形中位线定理得到，即，进而求出，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 为的直径， ， 即． 于点 ． ， 即． 四边形为平行四边形． ； 【小问2详解】 解：设． ， ， ∵四边形是平行四边形， ． ， ， 在中，是中点，是中点， 是的中位线． ， ． ， ． 在中，由勾股定理得，即． 解得（舍去，因为线段长不能为负）． ． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：定理的探究 在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的图形称为“格点图形”．我们可以通过格点的数量，计算格点图形的面积． 【阅读理解】奥地利数学家乔治·皮克在1899年提出了定理，用于快速计算简单的格点多边形的面积，是网格类几何题的常用工具． 对于简单的格点多边形，定理的公式为：，其中表示格点多边形的面积；表示多边形内部包含的格点数量；表示多边形边界上的格点数量（包含所有顶点和边上的格点）． （1）如图1，在边长为1的网格中，为格点三角形，数出内部的格点数① ，边界上的格点数② ；代入定理公式可计算的面积③ ，使用割补法再计算一次的面积，很容易验证结果是正确的． （2）【证明探究1】如图2，矩形为“格点矩形”，可证明定理对格点矩形成立． 证明：设矩形的边，上分别有m，n个不含端点的格点，并记矩形内部和边界上的格点数分别为．则． 用面积公式计算：． 用定理计算：． 两种计算方法所得的结果都是：④ ． ∴定理对格点矩形成立． （3）【证明探究2】利用图3，证明对于，定理是成立的． 任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点．图3是最简单的情形． 设图3中矩形内部和边界上的格点数分别为，边上不含端点的格点数为． 设I，B分别表示内部与边界上的格点数，则⑤ ；⑥ ；（用含或的代数式表示）． 通过计算可得：． ∴定理对图3所示的成立． 【拓展应用】利用图4，证明对于，定理也是成立的，证明过程略． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①                  ；②                  ；③                  ； ④                  ；⑤                  ；⑥                  ． 【答案】9；3；；；；． 【解析】 【分析】直接根据题干图可知①、②，代入定理公式可求③，分别计算两种方法的值可求④，根据题干图结合矩形的性质可知⑤、⑥． 【详解】解：（1）如图1，在边长为1的网格中，为格点三角形，数出内部的格点数，边界上的格点数；代入定理公式可计算的面积； （2）， ， 两种计算方法所得的结果都是：； （3）设图3中矩形内部和边界上的格点数分别为，边上不含端点的格点数为． 设I，B分别表示内部与边界上的格点数，则，． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于点、． （1）若点，的横坐标分别为，且函数的最小值为，求，的值； （2）若，即点、在轴上时，点，点的横坐标分别为，． ， （用含的代数式表示）； 若该函数的图象经过点，且，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） ，； ． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象和性质，可得顶点坐标，写出解析式，即可求解； （2）根据二次函数图象的对称性，可得，代入点，可得；把代入解析式，可得与的关系，由的取值范围，可得的取值范围，把代入解析式，可得与的关系，用表示，结合二次函数的最值，即可得的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得二次函数的图象对称轴为， ∵，最小值为2， ∴顶点坐标为， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于， ∴， ∴， ∴ 代入得， ∴． ∵该函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， ∵该函数的图象经过点， ∴， ∴，， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知，点为内一点，连接． （1）如图1，过点作，垂足为点E，交于点． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，若，过点作，垂足为点，交于点，点为的中点，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意易得，则有，所以，然后可得，进而问题可求证； ②连接，由①可知，，则有，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）设，则，由题意易得，则有，然后可得，根据勾股定理可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：①， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ； ②如图2，连接． 由①知：， ∴，， ， ∴， 设， ， ， ， ， ∴ ， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是中点， ∴设，则， 设，则， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（负根舍去） ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市包河区2025-2026学年第二学期教学质量检测（二）九年级数学试题卷 注意事项： 1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间． 2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题． 3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷． 4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列选项中，比-低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍左右，约为．则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线，点E、F分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 8. 如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 已知3个二次函数：，其中a，b，c是正实数，且满足．若函数的图象与轴有且只有1个交点，函数的图象与轴无交点，则函数的图象与轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 10. 已知，在△中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点，过点作交于点，是线段上的点，，是线段上的点，．若△的面积为定值，则下列三角形的面积也为定值的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：____． 12. 有大小、材质完全相同的四张卡片，正面分别书写化学元素符号（氧）、（氮）、（铜）、（锌），暗箱摇匀后不放回随机抽两张，则抽取的两张卡片恰好都是金属元素的概率是____． 13. 如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则k的值是______． 14. 对于一列互不相同的整数，我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出这两个数的和或者差，把求得的结果连同余下的整数，组成新的一列数．重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做这列数的“终止数”．以数列1，2，3为例：初始数列有3个数，需要操作2次得到终止数；第1次操作：取走1和2，计算和为，余下的数为3，组成新数列3，3；第2次操作：取走两个3，计算差为，最终得到终止数0；也可选择其他操作方式：第1次取走1和3，计算和为，余下的数为2，组成新数列2，4；第2次操作取走2和4，计算和为，最终得到终止数6．由此可见，同一列数通过不同的操作，可以得到不同的终止数．完成下面探究： （1）现有一列整数：1，2，3，4．其最大的负“终止数”是______； （2）2，9，5，7，a，b，c，14为互不相同的正整数列，如果这一列数的“终止数”最大为61，则的最大值是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 某文创店推出A，B两款主题纪念钥匙扣．已知款钥匙扣的单价是款钥匙扣单价的1.25倍，且用105元购买款钥匙扣的数量，比用120元购买款钥匙扣的数量少3个．求这两款钥匙扣的单价． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是、． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为对称中心，画出的中心对称图形； （3）借助网格，用无刻度直尺过点作，垂足为． 18. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长．托板固定在支撑板顶端点处，且，托板AB可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，，求点到直线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着安徽非遗文化的线上推广发展，全省各地的特色非遗手工艺品（如徽墨、歙砚、黄梅戏文创、徽派建筑摆件等）有了更广阔的展示空间，不同的文化推广平台在创意呈现、文化契合度等方面各具优势．某非遗手工艺品传承人打算从甲、乙两家文化推广平台中选择一家合作，为此他收集了10家非遗手工艺品创作者对两家平台的相关评价，并整理、描述、分析如下： 作品创意和文化传承契合度得分统计表： 统计量平台 作品创意得分 文化传承契合度得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 乙 （1）计算：______，扇形统计图中______，并补全频数分布直方图； （2）计算表格中乙的方差，即的值； （3）在非遗文化线上推广中，该传承人将作品创意的整体水平作为首要选择标准，同时兼顾文化传承契合度的基本表现．请结合表中的统计量，为该非遗手工艺品传承人推荐合适的合作平台，并说明理由． 20. 如图，、分别为的直径和弦，过点作，垂足为点，交于点，点为线段上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：定理的探究 在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的图形称为“格点图形”．我们可以通过格点的数量，计算格点图形的面积． 【阅读理解】奥地利数学家乔治·皮克在1899年提出了定理，用于快速计算简单的格点多边形的面积，是网格类几何题的常用工具． 对于简单的格点多边形，定理的公式为：，其中表示格点多边形的面积；表示多边形内部包含的格点数量；表示多边形边界上的格点数量（包含所有顶点和边上的格点）． （1）如图1，在边长为1的网格中，为格点三角形，数出内部的格点数① ，边界上的格点数② ；代入定理公式可计算的面积③ ，使用割补法再计算一次的面积，很容易验证结果是正确的． （2）【证明探究1】如图2，矩形为“格点矩形”，可证明定理对格点矩形成立． 证明：设矩形的边，上分别有m，n个不含端点的格点，并记矩形内部和边界上的格点数分别为．则． 用面积公式计算：． 用定理计算：． 两种计算方法所得的结果都是：④ ． ∴定理对格点矩形成立． （3）【证明探究2】利用图3，证明对于，定理是成立的． 任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点．图3是最简单的情形． 设图3中矩形内部和边界上的格点数分别为，边上不含端点的格点数为． 设I，B分别表示内部与边界上的格点数，则⑤ ；⑥ ；（用含或的代数式表示）． 通过计算可得：． ∴定理对图3所示的成立． 【拓展应用】利用图4，证明对于，定理也是成立的，证明过程略． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①                  ；②                  ；③                  ； ④                  ；⑤                  ；⑥                  ． 七、（本题满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于点、． （1）若点，的横坐标分别为，且函数的最小值为，求，的值； （2）若，即点、在轴上时，点，点的横坐标分别为，． ， （用含的代数式表示）； 若该函数的图象经过点，且，，求的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 已知，点为内一点，连接． （1）如图1，过点作，垂足为点E，交于点． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，若，过点作，垂足为点，交于点，点为的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $