已知线面角求其他量、已知面面角求其他量、空间角度的最值与范围问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

已知线面角求其他量、已知面面角求其他量、空间角度的最值与范围问题专项训练 已知线面角求其他量、已知面面角求其他量、空间角度的最值与范围问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 空间角度的最值与范围问题 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）先证明面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）建立空间直角坐标系，设出的长度，写出点的坐标，然后计算和平面的法向量，然后利用直线与平面所成角的正弦值为，列出方程求解. 【详解】（1）是正方形，， 又平面，平面，平面. 又平面平面，平面，. （2）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 是直线上的一点，设，则，，，. ，，. 记平面的法向量为. ，令，则. ，. 记直线与平面所成的角为，由题意可得： . 整理得，解得或. 即或. 例2．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据数量积为零可得，从而证得平面.方法二：取的中点，连接，，根据面面平行的判定定理证明平面// 平面，从而得到// 平面；方法三：取的中点，连接，，先证明，再根据线面平行的判定定理证得// 平面. （2）根据线面角的向量求法，列得关于的方程，求解可得的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 易证四边形为矩形，所以. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. ，，，， . 设平面的法向量为， 则取，得. 若，则. 因为，所以. 因为平面，所以// 平面. 方法二： 如图，取的中点，连接，. 在中，分别为的中点，所以. 因为平面，平面，所以// 平面. ，，所以四边形是平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. 因为，平面，平面，所以平面// 平面. 因为平面，所以// 平面. 方法三： 如图，取的中点，连接，. 在中，，分别为，的中点，所以，. 因为，所以，所以四边形为平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. （2）记直线与平面所成的角为， ， 化简得，解得或，所以的值为或. 例3．（2026·福建福州·三模）在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)见小问1详解 (2) 【详解】（1）在底面梯形 中，，，，. 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则 ，，如图所示： 在 中，，，由勾股定理得： 在 中，，， 由勾股定理得： 在 中，，，， 因为，所以 ，即 . 因为 平面 ，平面 ，所以 ， 又 ，，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 ，证毕. （2）以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则 ，，， 点 在棱 上，设 （）， 则：， 因为 ， 向量： 设平面 的法向量 ， 则，令，则 所以：又因为 所以直线 与平面 所成角的正弦值为， 解得 ，所以 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量可求得结论； （2）求出两平面的法向量，再由向量法可求出平面与平面夹角的余弦值； （3）不妨设，根据直线与平面所成角的正弦值为，可得，利用点到平面距离的向量求法可得其距离为. 【详解】（1）记的中点为，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 而， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 而， 所以，令，则 ， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 变式2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 变式3．（2026·北京海淀·二模）如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质，结合平行公理及中位线的性质推理得证. （2）由面面垂直的性质证得直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，由平面平面，得平面， 又平面，平面平面，则， 而点为的中点，因此为中点，，又， 所以. （2）由四边形为矩形，得， 由平面，平面平面，平面平面， 得平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由点在线段上，设， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 由直线与平面所成角的正弦值为 得，而，解得， 所以线段的长为. 考点二 已知面面角求其他量 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，． (1)求证：平面平面． (2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为上靠近点的四等分点 【分析】（1）由面面垂直得到线线垂直，再由线线垂直得到线面垂直，进而得到面面垂直． （2）建立空间直角坐标系，令，，利用空间向量的夹角公式建立关于的方程，通过判断此方程是否有解进行判断． 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又平面，且， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，，分别为，，的中点， 所以，且， ，且， 所以四边形为平行四边形． 又，，所以，且， 所以四边形为正方形，所以． 因为，且，平面， 所以平面． 又平面， 所以平面平面． （2）由（1）知，四边形为正方形， 又平面，所以，，两两垂直， 故以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 假设上存在点满足条件， 令，， 则，． 设平面的法向量为， 则 令，则，， 故平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以 解得或（舍）， 即当点为上靠近点的四等分点时，平面与平面夹角的余弦值为． 例2．（2026·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若二面角的大小为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知点E到平面ABCD的距离为，利用割补法求体积； （2）建立空间直角坐标系，设，，求平面BDE、平面BCD的法向量，利用空间向量结合二面角列方程求解. 【详解】（1）因为，且平面，可知点E到平面ABCD的距离为， 所以． （2）在平面ABP内过点B作直线AP的平行线l， 以B为原点，分别以BC，BA，l所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设，，则， 可得， 设平面BDE的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 由题意可知：平面BCD的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则，可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以． 例3．（2026·湖南郴州·模拟预测）在棱长为3的正方体中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足. (1)取的中点为M， 的中点为N，求证： 底面OABC； (2)求证： ； (3)若，请问：在线段上是否存在点G，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）利用三角形中位线的性质，结合线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标根据线线垂直计算即可证明； （3）利用面面垂直结合平面法向量的关系计算即可. 【详解】（1）因为M是的中点，N是的中点， 所以在三角形中，是中位线，所以. 又因为A，F都在底面上， 所以平面，且不在底面内， 所以平面； （2）以O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，. 设，.因为，， 所以，. 于是，， 由题意，得 即.化简得. 因此. （3）由，且，得. 由第（2）问可知，所以，. 设点G在线段上，则，. 要求二面角为，即平面GEF与平面垂直. 易知，. 设平面GEF的一个法向量为. 因为，，所以； 取，得，. 则平面GEF的一个法向量为. 再求平面的一个法向量. 因为，所以. 设平面的一个法向量为. 因为，，所以； 取，得，， 则平面的一个法向量为 若平面，则两个平面的法向量互相垂直，故. 所以.即，解得. 因为，所以满足条件的点G存在. 此时，，因此. 综上，在线段上存在点G，且. 变式1．（25-26高三下·河南许昌·期中）如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面平行，首先证明线线平行，即证明； （2）首先以的中点为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法，代入二面角的向量法公式，求边长的关系，再代入异面直线所成的角. 【详解】（1）在直棱柱中，令，则是的中点， 由，，得是的中点，而点为的中点，则， 即，而平面，平面， 平面. （2）分别取，的中点，， 则。 又平面， 平面，由，得，则直线，，两两垂直， 以点为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令，， 则，，，，，，，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则 令，得， ， 令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得， 解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而 ，因此， 异面直线与所成的角为. 变式2．（2026·内蒙古赤峰·三模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，得到，进而可证平面； （2）利用等体积法求点到面的距离即可； （3）先得到平面，再以为原点建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法表示出两平面夹角的余弦值，再建立方程求出即可． 【详解】（1）证明：根据折叠可知，， 由于平面平面，平面平面平面， 故平面， 由于平面，故， 因为，故平面； （2）根据三角形的性质得，， 在中，， 由（1）知为三棱锥的高， 由于平面平面，故， ， 由（1）知，平面，平面，则， 故， 设点到平面的距离为， 则， 即， 解得； （3）存在，理由如下： 取中点，由于，则 由于平面平面，平面平面平面 故平面，故以为坐标原点，以分别为轴正方向， 以过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 设 则 设平面法向量 则，即，取 同理可求平面的法向量 则 整理得，，即 解得． 故存在点，当时，平面与平面所成角的余弦值为． 变式3．（2026·山西·二模）在如图（1）所示的直角梯形中，，，，点是的中点，将图形（1）沿折起至图（2），使得到处，且.是上一动点，且， (1)求证：平面平面； (2)是否存在，使得平面与平面的夹角为？若存在，则求的值及点到的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）根据题意，由，得到，证得平面，得到，再由，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，由，得到，分别求得平面和平面的法向量和，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，得到，结合距离公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图（1）所示的直角梯形中， 由，，，点是的中点， 可得四边形是边长为2的正方形，且， 所以， 因为，可得，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）可知平面，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 因为，可得，其中， 所以，，，， 设，分别是平面和平面的法向量， 则和 取，可得，取，可得. 设平面与平面的夹角为， 则 可得，即，解得或 因为，所以， 即存在，使得平面与平面的夹角为， 此时点，所以，， 则点到的距离. 所以点到的距离是. . 考点三 空间角度的最值与范围问题 例1．（2026·山东菏泽·二模）已知正方体的棱长为，与相交于点，为四边形内一动点（包含边界）. (1)若是的中点，证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值的最大值； (3)若到平面的距离为，到平面的距离为，满足，且的轨迹交平面于、两点，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）设，则，且，，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值的最大值； （3）解法一：证明出平面平面，平面平面，可知为点到直线的距离，为点到直线的距离，求出直线、的距离，利用点到直线的距离公式结合可求出点的轨迹方程，令，求出的值，即可求出的长； 解法二：设，，，利用空间向量中点到平面的距离公式结合可得出关于、的等式，令，解出的值，即可求出的长. 【详解】（1）（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系 则、、、、、、， 因为为中点，所以， 所以，，， 所以 ，，所以，， 又因为，，平面，所以平面. （2）因为，为四边形内一动点， 设，则，且，，所以， 又因为，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 此时，即时，等号成立， 所以当为时，与平面所成角的正弦值的最大值为. （3）法一：因为，，，、平面， 所以平面， 又平面，平面，所以平面平面，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以为点到直线的距离，为点到直线的距离， 在平面内，以为原点，直线所在直线为轴建立如下图所示平面直角坐标系， 设，因为，，则， 同理可知点，则直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以点的轨迹为焦点在轴或者轴的双曲线， 由题意可知，点为焦点在轴的双曲线交于、两点， 所以，令，所以，所以； 法二：由（2）设，，， 由（1）知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，，， 所以，取，可得， 因为，所以，， 所以，所以， 由题意令，，解得或（舍）， 所以. 例2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，已知四棱锥平面ABCD．点为PA的中点，，，垂足分别为． (1)证明：； (2)若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，根据题意，分别证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据，可得设和，求得平面与的法向量为和，利用向量的夹角公式，求得，进而得到答案. 【详解】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 因为，可得， 又因为点为的中点，可得，且， 因为，，且，所以， 所以为等腰直角三角形，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：设与交于点，平面，且平面平面， 因为平面，所以， 又因为点为的中点，所以点为的中点， 因为平面，且平面，所以， 又因为，所以, 以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得， 设，可得 因为，所以， 解得，同理可得， 不妨设，其中， 因为过点，可得， 因为， 可得，解得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，可得， 所以，同理可得， 所以， 由图形可得，满足角为钝角， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值的最大值为. 例3．（2026·河南许昌·三模）四棱锥的底面为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)设四棱锥的外接球的球心为M，且点M与点P在平面的同一侧，球M的半径为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）已知平面与平面的交线为l，点Q在l上，设直线和平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用几何法，结合已知条件，利用面面垂直判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用几何法求出点坐标，由几何法得出是平面与平面的夹角，进而利用余弦定理求出余弦值；（ii）设点坐标，求出相关点和向量坐标，进而利用向量夹角余弦公式求出的表达式，进而求出的取值范围． 【详解】（1）取中点O，连接，，   底面为矩形，且，， ， ， 又， ， ， ，，平面， 平面，又平面， ， ， ， 又，平面， 平面， 平面， 平面平面． （2）（i）连接交于点N，连接．分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建系，    过点N作平面的垂线l，则， 设，，其中； ，，解得， ，解得， ，， 连接，， ，， 是平面与平面的夹角， 又，，， 由余弦定理得． 平面与平面夹角的余弦值为． （ii），平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ， 可设， 又， ， ，，设平面的法向量为， 则，，可取， ， ， ，即的取值范围为． 变式1．（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）（i）利用线面平行的判定推理得证；（ii）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在平面四边形中，，，则， 在中，， 翻折后，，则，即， 又，平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）（i）由分别为线段的中点，得，而平面平面， 所以平面. （ii）在三棱锥中，，则， 即，由（1）知，而平面， 于是平面ABD，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 而， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 变式2．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 变式3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $已知线面角求其他量、已知面面角求其他量、空间角度的最值与范围问题专项训练 已知线面角求其他量、已知面面角求其他量、空间角度的最值与范围问题专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 空间角度的最值与范围问题 考点一 已知线面角求其他量 例1．（25-26高三上·福建厦门·月考）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上一点，边长为的正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. (1)证明：； (2)若平面，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长. 例2．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 例3．（2026·福建福州·三模）在四棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若为棱上一点（不含端点），直线与平面所成角的正弦值为，求. 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 变式2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 变式3．（2026·北京海淀·二模）如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 考点二 已知面面角求其他量 例1．（2026·陕西西安·模拟预测）在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，，的中点，为棱上一点，且，． (1)求证：平面平面． (2)线段（含端点）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·山东威海·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，、点在棱上． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若二面角的大小为，求的值． 例3．（2026·湖南郴州·模拟预测）在棱长为3的正方体中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足. (1)取的中点为M， 的中点为N，求证： 底面OABC； (2)求证： ； (3)若，请问：在线段上是否存在点G，使得二面角为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三下·河南许昌·期中）如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 变式2．（2026·内蒙古赤峰·三模）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（2026·山西·二模）在如图（1）所示的直角梯形中，，，，点是的中点，将图形（1）沿折起至图（2），使得到处，且.是上一动点，且， (1)求证：平面平面； (2)是否存在，使得平面与平面的夹角为？若存在，则求的值及点到的距离；若不存在，请说明理由. 考点三 空间角度的最值与范围问题 例1．（2026·山东菏泽·二模）已知正方体的棱长为，与相交于点，为四边形内一动点（包含边界）. (1)若是的中点，证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值的最大值； (3)若到平面的距离为，到平面的距离为，满足，且的轨迹交平面于、两点，求的长. 例2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，已知四棱锥平面ABCD．点为PA的中点，，，垂足分别为． (1)证明：； (2)若平面EBD，设二面角的平面角为，且为钝角，求的最大值； 例3．（2026·河南许昌·三模）四棱锥的底面为矩形，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)设四棱锥的外接球的球心为M，且点M与点P在平面的同一侧，球M的半径为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）已知平面与平面的交线为l，点Q在l上，设直线和平面所成的角为，求的取值范围． 变式1．（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 变式2．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 变式3．（2026·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $