空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线面角求其他量 例1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形． (1)若平面，求的长； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合正弦定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角正弦值得到点坐标，进而求出面面角的余弦值. 【详解】（1）设与相交于点，连接，圆锥的底面圆圆心为， 因为平面，平面平面，平面， 所以，故， 是边长为2的等边三角形，故，， 又是等边三角形，为的外接圆圆心， 则由正弦定理得，故， 故， 所以； （2）过点作⊥，交圆于点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 则， 其中平面的一个法向量为， 故与平面所成角大小为， 则 ， 解得或（舍去）， 所以，，又， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令得，故， 设平面与平面夹角大小为， 则. 例2．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【详解】（1）证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 例3．（25-26高二下·重庆·月考）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，，，且平面平面. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】8（1）由题意，先证明，，，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法即可求解； （2）设，由（1）所建立的空间直角坐标系，求得和平面的法向量，根据线面角的正弦值为，可求得，进而可求得的长. 【详解】（1）由题意，过点作，垂足为，连接， 在中，，，， 可得，，所以， 又，所以在中，可得，， 又底面为直角梯形，，所以， 所以且， 所以四边形为矩形，所以， 又平面平面，且平面与平面相交于， 所以平面， 又平面，所以. 综上可得，，，， 所以，以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设二面角的大小为（）， 则， 所以二面角的余弦值为； （2）设（）， 由（1）可得，，，，， 则，所以， 又由（1）可得平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或（舍）. 所以. 变式1．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理，通过证明垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量与平面法向量，利用线面角的正弦值公式列方程，求解得到的长度，再由棱锥体积公式得解. 【详解】（1）如图，连接交于点，可得点是的中点， 因为四边形是边长为1的正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 由，平面， 得平面； （2）设（）， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可取， 设直线与平面所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即， 故. 变式2．（2026·广东江门·一模）如图，在三棱柱中，，，，平面平面. (1)求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用平面平面结合面面垂直性质定理得出平面，即可得出线线垂直； （2）解法一：应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算边长计算求解；解法二：建系得出平面和平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）因为在中，， 由余弦定理得： ， 所以， 所以，故， 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）解法一：过作，垂足为， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 直线是直线在平面上的投影， 所以是直线与平面所成的角，即. 由（1）知，又， 连接，则是等边三角形， 取的中点，连接， 则， 由（1）知， 所以平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由（1）知平面，所以， 又， 所以， 所以二面角的平面角的余弦值为. 解法二：过作，垂足为， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 则直线是直线在平面上的投影， 所以是直线与平面所成的角，且， 则， 由（1）可知，即是的中点. 取的中点，连接，则. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以. 设平面的法向量为， 则， 取，则， 所以是平面的一个法向量， 取平面的法向量为， 则， 所以二面角的平面角的余弦值为. 变式3．（2026·广东·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在线段上． (1)若，求证：平面； (2)若平面平面，，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析. (2)2 【分析】（1）连接与相交于点，证明，再根据线面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，利用表示直线与平面所成角的正弦值，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）如图所示，连接与相交于点，连接， 因为底面为等腰梯形，所以. 所以，所以，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面， 过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 则以为坐标原点，以向量方向为轴， 以平面内与垂直的方向为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 记直线与平面所成角为， 设，则. 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，，，所以. 所以， 即，解得，所以， 所以. 考点二 已知面面角求其他量 例1．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. (1)若，，，四点共面，求的值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量共线和四点共面建立关于参数的方程并求解判断线段比例； （2）求解两个面的向量法进而求空间角的余弦值，进而建立关于的方程求解即可. 【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直. 在平面内作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，则，，，，， ，，. 又，分别为，的中点，，. 设平面的法向量为， 则,可取. 又，，共面，，即，解得. . （2），. 设平面的法向量为， 则,可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得， . 例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证: 平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）设，过点作平面，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得. 【详解】（1）取的中点，连接， 在中，且， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）设，过点作直线垂直于平面， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，易得， 设，由， 则，即， 所以， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得，则. 例3．（2026·安徽池州·二模）如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知，，将沿直线AC翻折至（如图2），使得． (1)证明：平面平面ACD； (2)点F在线段DE上，且二面角的大小为60°． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求CD与平面ACF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）取的中点，先证明，结合，根据线面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明结论； 解法一：（ⅰ）先证明是二面角的平面角，根据面积公式可得，由此可求结论； （ⅱ）过作交于，求三棱锥的体积，利用等体积法求点到平面的距离，再由线面角的几何定义求结论； 解法二：（ⅰ）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式列方程求， （ⅱ）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）证明：取的中点，由题意知，，所以，，三点共线， 由得；由得， 又，故，所以， 又，且，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）解法一：（几何法） （ⅰ）由（1）知平面，平面， 所以，又，平面平面， 所以是二面角的平面角，所以， 由得， 所以， 即，即， 由得，所以； （ⅱ）过作交于，则平面， 由（ⅰ）知， 所以， 由（ⅰ）知，所以， 记到平面的距离为，所以， 所以，即， 记与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为． 解法二：（建系法） （ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则，，， 由得， 设平面的法向量为，由得， 故，取，可得，所以， 设平面的法向量为， 记二面角的大小为，则， 化简得，解得或（舍）， （ⅱ）由（ⅰ）知，取平面的法向量为， 又，记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 变式1．（25-26高二下·江西景德镇·月考）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，. (1)证明：平面. (2)若二面角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用直三棱柱的性质及线面垂直的判定，可得平面，由线面垂直的性质可得，建立空间直角坐标系，求出，进而可得，再由线面垂直的判定，即可求解； （2），求出平面和平面的法向量，结合条件，利用面面角的向量法，求出，再求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，则， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 如图建立空间直角坐标系，，分别是棱的中点， 则，所以，， 因为，所以， 又平面，所以平面. （2）设，则，由（1）知， 又，， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以， 则，又二面角的正弦值为， 所以，整理得到，解得， 所以，，又 设异面直线与所成的角为，则. 变式2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，且，，为棱上的点. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案； （2）建系，利用面面角的向量计算公式计算可得答案. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又四边形为正方形，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在四边形中，易知，因为，所以， 又，故， 所以，故， 因为，平面， 所以平面， 又平面, 所以平面平面. （2）由（1）知三条直线两两垂直. 以为坐标原点、所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设（）， 则：，，，，， 设平面的一个法向量为， ，即，令，得，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，， 所以， ， 解得或（舍）. 所以. 变式3．（2026·江西赣州·二模）如图，在直三棱柱中，，，M为的中点，已知， (1)求证：无论取何值，与不可能垂直； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出的坐标，然后利用向量法证明即可； （2）求出平面与平面的法向量，再运用平面夹角的向量公式列方程求解即可. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，以过B点与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系如图： 则， 所以，， 因为 因为，，所以， 即无论取何值，与不可能垂直； （2）设平面的法向量为， 而，， 则由，可得， 取，则. 设平面的法向量为， 而，， 则有，即， 取，则. 设平面与平面夹角的大小为， 则， 平方化简得，又因为，故，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 考点目录 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 己知线面角求其他量 POE A,B 例1.(2026·甘肃张掖模拟预测)如图，圆锥的轴截面 是边长为2的等边三角形， 为底面圆周上的点， C是PE上的一点，且△ABE是等边三角形. E (1)若 PO// 面1BC,求C的长： 平面 2V3 (2)若AC与平面ABE所成角的正弦值为5，求平面ABC与平面ABE夹角的余弦值. 例2.(2026天津一模)如图，在四棱锥P-ABCD中 D中，PA上平面 ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AD=AP=3 DE=2EP,AB=,BC=3 D (I)求证：PB∥平面ACE: 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 5 (2)已知点F在棱PD上，且直线AF与平面ACE所成角的正弦值为4，求线段AF的值： (3)求三棱锥P-ACE的体积. 2 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 P-ABCD ABCD ∠ADC=∠BCD=90° 例3.(25-26高二下·重庆·月考)如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， BC=1,CD=5,PD=2,∠PDA=60,∠PMD=30,且平面PAD1平面4BCD D D B (I)求二面角A-PB-D的余弦值； 2V35 (2)在线段PA上存在一点M,使直线BM与平面PBD所成的角的正弦值为35，求PM的长. 变式1.(25-26高三下·上海宝山期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为1的正方形，PA1平面 ACD,E是PA的中点 (I)求证：BDL平面PAC: 10 (2)若直线BE与平面PAC所成角的正弦值为5，求三棱锥B-PCD的体积. 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、己知面面角求其他量专项训练 变式2.（2026广东江门一模)如图，在三棱柱 MBC-4BG中，AC=2V5,BC=4,∠ACB=30,平面 ABBA⊥ 平面ABC B B AC⊥BB (1)求证： 2活4=2，直线B8与平面48C所成的角为0，求二面角 A-BB-C 的平面角的余弦值. 变式3.(2026广东·模拟预测)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD, ∠DAB=60°，AB=4,CD=2,点M在线段PB上. ◇ D (I)若PM:MB=1:2,求证：PD/平面ACM: V26 (2)若平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=2V2,且直线PC与平面ACM所成角的正弦值为13，求线段MC的长 度 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 考点二 已知面面角求其他量 例1.(25-26高三下·安徽芜湖月考)如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,∠BCD=∠CBA=90°， AB=2BC=2CD=4,E,F分别是SB,SC的中点，点G在棱SD上 B G A D SG (①)若E'F'G4四点共面，求GD的值： 2V130 (2)若平面AEF与平面SCD夹角的余弦值为130，求SA. 例2.(25-26高三下·重庆沙坪坝月考)如图，己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平 面ABCD,M是AD的中点，N是PC的中点. M - D B (1)求证：MN∥平面PAB; 5 ②)若CM⊥AD'且平面PBC与平面PCD的夹角余弦值为8，求侧棱PM的长度. 今 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、己知面面角求其他量专项训练 例3。(2026安徽池州·二模)如图1所示，在平面四边形4BCD中，已知1B=4C=8C=2,D=CD=5 ,将 △ABC 沿直线AC翻折至△E1C(如图2)，使得DE=万 F D 图1 图2 (I)证明：平面EAC⊥平面ACD: (2)点F在线段DE上，且二面角F-AC-D的大小为60°. (i)若DF=AD ,求入的值： (iⅱ)求CD与平面ACF所成角的正弦值. 变式1.(25-26高二下·江西景德镇月考)如图，在直三棱柱 ABC-4B,G中，MN分别是 AB,AA的中点， AB=BB=2,AB⊥BC B BM (1)证明： 平面BCW 6 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 5 (2)若二面角B-CV-M的正弦值为5，求异面直线BC与BN所成角的余弦值. > 空间向量与立体几何：已知线面角求其他量、已知面面角求其他量专项训练 变式2.(2026·浙江·模拟预测)如图，在多面体ABCDEF中，四边形EFDC为正方形，AD⊥平面EFDC, AB/ICD,且AB=AD=2,CD=4,P为棱BC上的点. F D A B (I)证明：平面FDB⊥平面BCE; √42 (2)若平面FAP与平面FBD的夹角的余弦值为14，求线段BP的长. 变式3.(2026江西赣州二模)如图，在直三枝柱1BC-4BG中，AB=8C=2,14=4,M为B弧的中点，已 ABc=00<0s 知 B B (①)求证：无论9取何值， 不可能垂直； √33 (2)若平面ACM与平面AC,M夹角的余弦值为33，求sin0.