矩形的判定与性质综合、矩形与折叠问题综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

矩形的判定与性质综合、矩形与折叠问题综合专项训练 矩形的判定与性质综合、矩形与折叠问题综合专项训练 考点目录 矩形的判定与性质综合 矩形与折叠问题综合 考点一 矩形的判定与性质综合 例1．（2026·广东深圳·一模）综合探究 (1)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． (2)问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． (3)问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 例2．（2026·山东日照·一模）平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【探究发现】 (1)如图1，在矩形中，，点E是矩形内一个动点，且，将绕点C逆时针旋转，并放大为原来的2倍后，点E的对应点为点F．连接，交的延长线于点G； ①求证：； ②判断四边形的形状，请直接写出答案： (2)如图2，连接，当点G为中点时，求的值； (3)点E在运动的过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 例3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图①，在正方形中，E，F分别是，上的两点，连接，，于点P，则的值为______； (2)如图②，在矩形中，，，点E，F分别是，上的两点，连接，，且于点P，则的值为______； (3)【类比探究】 如图③，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点P，交的延长线于点F，求证：； (4)【拓展延伸】 如图③，在四边形中，，，，，E为直线上一点，连接，过点C作的垂线交直线于点P，交直线于点F，连接，则的取值范围是______． 变式1．（2026·湖南·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，求的长及的值． 变式2．（25-26九年级下·江西赣州·期中）如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G． 特例感知 (1)图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有________； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④． 探究发现 (2)在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程； 类比运用 (3)若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由． 变式3．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 考点二 矩形与折叠问题综合 例1．（2026·吉林·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，点G在边上，，连接，．将沿翻折得到，将沿翻折得到．连接，． (1)求证； (2)①四边形的形状为_____________． ②当点F在边上时，四边形的形状为_____________． (3)当四边形与矩形重叠部分图形是轴对称图形时，直接写出的长． 例2．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在矩形中，是上一点，将矩形沿翻折，使点落到． (1)如图1，是中点，延长交于，求证：． (2)如图2，当时，连接，若为等腰三角形，请直接写出的长． 变式1．（2026·广东佛山·二模）【问题情境】 如图1，小王将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在折痕上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【实践操作】 (1)尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出折痕； 【问题解决】 (2)如图3，若，，点，，在同一条直线上，求的长； 【深入探究】 (3)在【问题情境】的折叠操作中，设，．从下列两个问题中任选一个进行解决： ①连接，当，满足什么数量关系时，与始终平行？请说明理由； ②若点是边的中点，求的最大值． 变式2．（2026·广东东莞·二模）如图，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，将矩形沿着折叠，使点A、B分别落在E、F处，且点F在线段上（不与两端点重合），与交于点G，过点M作于点H，连接分别与、交于点K、P． (1)请写出三个与相似的三角形，并从中任选一个证明它与相似； (2)求的值． 变式3．（2026·河南驻马店·一模）初中几何的三大变换：平移，旋转，轴对称．翻折作为轴对称的一种情况，在初中几何题中占据一定的权重． 问题情境：“综合与实践”课上，小明提出如下问题：如图1，矩形纸片中，，，点在边上，将矩形纸片沿折叠，点落在原纸片所在平面上点的位置．如图2，当点为边的中点时，判断与的位置关系，并说明理由． 数学思考： (1)请你解答小明提出的问题． 深入探究： 当点不是边的中点时，请同学们提出新的问题． (2)“善思小组”提出问题：如图3，若点在对角线上，求的长．请你解答此问题． (3)“慧学小组”提出问题：若，求的长．请直接写出答案． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形的判定与性质综合、矩形与折叠问题综合专项训练 矩形的判定与性质综合、矩形与折叠问题综合专项训练 考点目录 矩形的判定与性质综合 矩形与折叠问题综合 考点一 矩形的判定与性质综合 例1．（2026·广东深圳·一模）综合探究 (1)问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． (2)问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． (3)问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； （2）取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； （3）过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∵，由（2）， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 例2．（2026·山东日照·一模）平移、旋转、轴对称、相似变换等几何变换，为静态图形赋予动态生成的意义，让孤立图形在运动变化中建立关联，在变与不变中揭示图形的本质属性与内在规律．这既是从特殊到一般认识几何世界的基本思想，也是理解空间形式、发展几何直观与推理能力的重要路径． 【探究发现】 (1)如图1，在矩形中，，点E是矩形内一个动点，且，将绕点C逆时针旋转，并放大为原来的2倍后，点E的对应点为点F．连接，交的延长线于点G； ①求证：； ②判断四边形的形状，请直接写出答案： (2)如图2，连接，当点G为中点时，求的值； (3)点E在运动的过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②四边形是矩形，理由见解析 (2) (3)2 【分析】（1）先证明，然后根据旋转的性质得到，即可证明；②根据有三个角是直角的四边形是矩形证明即可； （2）过点作于点H，先证明为等腰直角三角形，在等腰直角中，设，则，，再证明为等腰直角三角形，则，那么，然后对运用勾股定理求解，即可求解； （3）点的轨迹为以的中点为圆心，为半径的圆，延长交于点，连接，证明，则，故当取得最小值时，取得最大值，而，故； 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：如图，过点作于点H， 由（1）得， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在矩形中，， ∴， 在等腰直角中，设， 则， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，∵， ∴点的轨迹为以的中点为圆心，为半径的圆， 延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 例3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 (1)如图①，在正方形中，E，F分别是，上的两点，连接，，于点P，则的值为______； (2)如图②，在矩形中，，，点E，F分别是，上的两点，连接，，且于点P，则的值为______； (3)【类比探究】 如图③，在四边形中，，E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点P，交的延长线于点F，求证：； (4)【拓展延伸】 如图③，在四边形中，，，，，E为直线上一点，连接，过点C作的垂线交直线于点P，交直线于点F，连接，则的取值范围是______． 【答案】(1)1 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）本题是典型的十字模型，利用正方形的性质，得到相等边，相等角，利用同角的余角相等，得到另一对相等角，从而证明，进而找到与的关系； （2）与（1）的思路相同，可得，利用相似三角形的性质找到对应的关系即可； （3）将所求证关系转化为，即找到对应线段所在三角形，证明两个三个三角形相似，过点F作，构造出，利用有三个直角的四边形是矩形，再通过矩形的性质，得到，利用同角的余角相等，和两个直角相等，证明两三角形相似即可； （4）由题意，判断点P的运动轨迹是定弦直角形成的圆，根据点圆最值的解题思路求解即可． 【详解】（1）解：在正方形中，，， 由题意，可知， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：与（1）同理可得，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴； （3）证明：如图，过点F作于点M， 由作法，可知， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由题意，可知， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （4）解：由题意，可知点D，C为定点，， ∴点P的运动轨迹为以为直径的圆， 如图，设的中点为O，作射线，依次与交于点G，H， 则的最小值即为的长，最大值即为的长， 如图，过点D作于点N，过点O作于点Q，则， 与（2）同理可得四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 变式1．（2026·湖南·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)的长为的值为 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明平行四边形是矩形，可知； （2）作于点，则，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，，根据三线合一得到，根据等角对等边得到，可知，根据三角函数求出的值，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， 平行四边形是矩形， ． （2）解：作于点，则， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的长为的值为． 变式2．（25-26九年级下·江西赣州·期中）如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G． 特例感知 (1)图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有________； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④． 探究发现 (2)在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程； 类比运用 (3)若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明 ，可得四边形是矩形，即可判断①；证明 ，得到 ，即可判断②；由 ，推出，再根据，即可判断③；根据，即可判断④； （2）作出图形，证明，再证明，即可得出结论； （3）先证明．在上取点H，使，得，证明．再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵在矩形中，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴ ， ∴矩形与四边形位似；故②正确； ∵ ， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴ ， ∴，故③错误； 同理，，故④正确； 综上，正确的序号有①②④； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 如图，将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 如图，在上取点H，使，得， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． 变式3．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）由旋转得，，，所以可证，即可求证； （2）过点作，垂足为，先证明四边形是矩形，再证明，即可求解； （3）①延长交于点，连接，，设交于点，先证明，，由外角的性质得出，再由三角形内角和定理得出，即可求证； ②先证明垂直平分，再证明，求出的值，接着证明，求出的值，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴由勾股定理得． 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1，过点作，垂足为，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转得：，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：①如图2，延长交于点，连接，，设交于点，交于点， 由旋转得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②答案：． 解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴为的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 考点二 矩形与折叠问题综合 例1．（2026·吉林·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，点G在边上，，连接，．将沿翻折得到，将沿翻折得到．连接，． (1)求证； (2)①四边形的形状为_____________． ②当点F在边上时，四边形的形状为_____________． (3)当四边形与矩形重叠部分图形是轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①平行四边形；②矩形； (3)或或 【分析】（1）利用证明即可； （2）①折叠的性质，推出，证明，得到，即可得到四边形为平行四边形；②易得，即可得出结果； （3）根据四边形与矩形重叠部分图形是轴对称图形时，得到重叠部分的图形为矩形或菱形，分3种情况，画出图形进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴，，即， 由（1）知， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ②当点F在边上时， ∵， ∴， 由①知：四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （3）解：①当点恰好落在边上时，此时四边形为矩形，四边形与矩形重叠部分图形即为四边形是轴对称图形， ∵折叠， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； ②当交于点，交于点时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当四边形为菱形时，四边形与矩形重叠部分为轴对称图形， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得或（舍去）； ∴； ③当点与点重合，点与点重合时，如图， 由②可知，，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，符合题意； 此时； 综上：或或． 例2．（2026·山东德州·一模）综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解：，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在矩形中，是上一点，将矩形沿翻折，使点落到． (1)如图1，是中点，延长交于，求证：． (2)如图2，当时，连接，若为等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）连接，根据矩形的性质和折叠的性质可得再说明，然后根据“斜边直角边”证明，可得，最后结合得出答案； （2）先说明四边形是正方形，可得，再根据折叠的性质可得，接下来分三种情况讨论：当时，作，交于点P，并延长交于点Q，可得四边形是矩形，进而说明是等边三角形，可得，再解直角三角形求出，然后得，最后根据勾股定理得，求出解即可；当时，分析作出判断；当时，作，交于点S，并延长交于点T，作，根据矩形的性质得，进而得，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得，则此题可解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质得 ∴ ∵点E是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （2）解：或．理由： ∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 根据折叠的性质可得． 若是等腰三角形，有三种情况： 当时，过点作，交于点P，并延长交于点Q， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 解得， ∴． 在中，， 即， 解得； 当时，以点C为圆心，8为半径画弧，再以点A为圆心，8为半径画弧，交点为点D，所以不存在此种情况； 当时，过点作，交于点S，并延长交于点T，作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，则． 在中，， 即， 解得， ∴． 在中，， 即， 解得． 综上，的长为或． 变式1．（2026·广东佛山·二模）【问题情境】 如图1，小王将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在折痕上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【实践操作】 (1)尺规作图：当点与点重合时，在图2中作出折痕； 【问题解决】 (2)如图3，若，，点，，在同一条直线上，求的长； 【深入探究】 (3)在【问题情境】的折叠操作中，设，．从下列两个问题中任选一个进行解决： ①连接，当，满足什么数量关系时，与始终平行？请说明理由； ②若点是边的中点，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①当，且B与不重合时，与始终平行；②的最大值为． 【分析】（1）尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）过点C作于点G，证明，求得，据此求解即可； （3）①证明为等边三角形，在中，解直角三角形即可求解； ②过点E作，垂足为点H，，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段为所作； （2）解：过点C作于点G，如图， 在矩形中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在矩形中，， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：选①，记与的交点为点，如图， 若与平行，则， 由知，， ∵，， ∴， ∴，又， ∴为等边三角形，故， ∴在中，，即， ∴要使与平行，只需， 故当，且B与不重合时，与始终平行； 选②，过点E作，垂足为点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 变式2．（2026·广东东莞·二模）如图，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，将矩形沿着折叠，使点A、B分别落在E、F处，且点F在线段上（不与两端点重合），与交于点G，过点M作于点H，连接分别与、交于点K、P． (1)请写出三个与相似的三角形，并从中任选一个证明它与相似； (2)求的值． 【答案】(1)，， ，，；选择证明，证明见解析（答案不唯一） (2) 【分析】（1）利用矩形和折叠的性质，得出两组相等的角，即可证明全等； （2）证明四边形为矩形，由（1）得，利用对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，，（写出3个即可）； 选择证明． 证明：在矩形中，． ， ． ，． 由折叠可知，， ． ． ． ． 选择证明： ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ． 选择证明： ， ． 由折叠可知，， ． ， ， ， ， ． 选择证明： ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ． 选择证明： ， ， 由折叠可知，，， ， ， ． （2）解：， 四边形为矩形． ，． 由（1）得， ． ． 变式3．（2026·河南驻马店·一模）初中几何的三大变换：平移，旋转，轴对称．翻折作为轴对称的一种情况，在初中几何题中占据一定的权重． 问题情境：“综合与实践”课上，小明提出如下问题：如图1，矩形纸片中，，，点在边上，将矩形纸片沿折叠，点落在原纸片所在平面上点的位置．如图2，当点为边的中点时，判断与的位置关系，并说明理由． 数学思考： (1)请你解答小明提出的问题． 深入探究： 当点不是边的中点时，请同学们提出新的问题． (2)“善思小组”提出问题：如图3，若点在对角线上，求的长．请你解答此问题． (3)“慧学小组”提出问题：若，求的长．请直接写出答案． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）由折叠得到的，两者全等；结合点为边的中点，得到等腰三角形，再利用三角形的外角定理，得到，由平行线判定定理，得出结论； （2）根据由折叠得到的，是轴对称图形，对称轴垂直平分，证明，是解本题的关键，最后根据对应边成比例，求出的长； （3）根据点F在矩形纸片的位置不同，分两种情况讨论：①内部时，根据折叠的性质，先证明，再证明，得到，结合，求出，最后求出；②外部时，根据折叠的性质先证明，再证明，得到，结合，求出，最后得到的长． 【详解】（1），理由如下： 由折叠得到的， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ， 是由折叠而来，是对称轴，点A的对应点是点F， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据点F在矩形纸片位置不同，分两种情况讨论 ①在矩形纸片内部时， 过点F作线段，交于点G，交于点H，如下图 四边形是矩形， ， 由折叠得到的， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设， ，得， 即, ； ②在矩形纸片外部时， 过点F作直线，交于点G，交于点H， 四边形是矩形， ，， 由折叠得到的， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设， ，得， 即, ； 综上所述，的长为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $