四川字节精准教育联盟2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺数学试题

试卷启封前按机密事项保管 SCGK 字节精准教育联盟·高考冲刺 2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺试题 数 学 ZJ-GZ-GA-2026S-G26-GKMN1 AI赋能·精准测评 考生注意： 1. 试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟。 3. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 一、选择题。本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是正确的。 1．集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 4．某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 5．的展开式中，的系数为（    ） A．80 B．60 C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题。本大题共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的A、B、C、D四个选项中，有多项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分。 9．为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（   ） A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分 C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10．将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A．函数的图象的一条对称轴为直线 B．函数的图象的一个对称中心为 C．函数的周期为 D．不等式的解集为 11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1∉平面ABCD），若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（　　）11题图 A．存在某个位置，使得BM⊥A1D B．△A1EC面积的最大值为 C．sinαsinβ D．三棱锥A1﹣EDC体积最大时，三棱锥A1﹣EDC的外接球的表面积16π 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．若，且，则ab的最小值是______． 13．已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则点到，两点的距离之和的最小值为______． 14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（本题13分） 教材中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1． (1)求，，的值； (2)已知数列满足，求的前项和； (3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 16．（本题15分） 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束． (1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)求的分布列及期望． 17．（本题15分） 已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时，；（ii）． 18．（本题17分） 已知双曲线E的方程为，是一个定点． (1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； (2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 19．（本题17分） 如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC．19题图 （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    字节精准教育联盟·高考冲刺 2026抢先版此卷不装订 姓名 __________________ 准考证号 ______________________ 考场及座位号 ________________ ———————此——————试——————卷——————不——————装——————订——————————————— 郑重 提醒 考生须在考试开始前检查试题卷和答题卡，若存在缺页、漏印、字迹模糊等情况，应于开考前向监考员报告；开考后报告的，延误的考试时间不予补足。对试题内容有疑问，不得向监考员询问。 考试结束前，严禁拍照、传播、上传试题卷及答题卡至任何网络平台，违者依规严肃处理。 请严格遵守考试纪律，违纪舞弊行为将按相关规定严肃处理。 字节精准教育联盟·高考冲刺 2026抢先版姓名 __________________ 准考证号 ______________________ 考场及座位号 ________________ ———————此——————试——————卷——————不——————装——————订—————————— 高三数学 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 高三数学 高三数学 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 高三数学 学科网（北京）股份有限公司 字节精准教育联盟·高考冲刺 2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺试题 数学参考答案与试题解析 ZJ-GZ-GA-2026S-G26-GKMN1 AI赋能·精准测评 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B B D A B B BCD BD BCD 1．C 【难度】0.8 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由题意得， ，则. 2．A 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】先进行复数的除法运算，再根据共轭复数的概念得到，进而由复数的乘法运算，即可得出结果. 【详解】因为 所以 所以. 3．B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据等差数列前n项和公式和通项公式基本量的运算求得，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 在等差数列中，，， 所以有，故， 所以，，则，故. 故选：B 4．B 【难度】0.7 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由题意可得，所以，所以. 由，得， 两边取自然对数得，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以最迟应在发现疫情后第7天启动． 5．D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】由题得，再利用二项式的通项即可得到答案. 【详解】，则其展开式通项为， 令，则的展开式中含的项为 ， 所以的系数为， 故选：D． 6．A 【难度】0.75 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 7．B 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】根据椭圆的定义和焦点三角形的余弦定理建立方程组，然后再根据，两边平方即可求解. 【详解】因为①， ， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即. 故选：B 8．B 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】将题设不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用其单调性可得，从而只需使，利用导数求出最值即得参数a的最小值. 【详解】因对任意恒成立，即在上恒成立 变形得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则有 ，由，可知函数在上单调递增， 故得，即在上恒成立， 设，则，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故在时取得极大值，也是最大值为， 故得，即实数a的最小值为. 9．BCD 【难度】0.7 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据分位数、均值、极差、方差的定义计算即可. 【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10, 选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误 选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确； 选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确； 选项D，样本方差，D正确. 10．BD 【难度】0.7 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求含cosx的函数的单调性 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数， 选项 A：的对称轴为，​不是它的对称轴，A 错误； 选项 B：的对称中心为，当时，对称中心为，B 正确； 选项 C：的周期为，不是​，C 错误； 选项 D：解不等式，得：， 所以不等式的解集为，D 正确. 11．BCD 【难度】0.38 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求线面角、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据线线垂直、三角形的面积公式、面面角和线面角、几何体外接球等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A选项，设是的中点，连接， 由于是的中点，所以， 由于，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以是直线与直线所成角（或其补角）. 在三角形中，，所以，所以A选项错误. 对于B选项，由于，所以， 设分别是的中点，连接，则是三角形的中位线， 所以，则， 而，所以是平面与平面所成二面角，即. 当时，平面平面， 此时，由于平面平面， 所以平面，由于平面， 所以，由于平面，， 所以平面，由于平面，所以， 所以面积的最大值为，B选项正确. 对于C选项，过作，垂足为，连接， 由上述分析可知：，而平面， ，所以平面，由于平面， 所以，由于平面，， 所以平面，所以， 由于，而， 所以，所以C选项正确. 对于D选项，三棱锥体积最大时，平面平面， 由于平面平面，平面，， 所以平面，由于是的外心，是的外心， 所以是三棱锥的外接球的球心， 所以外接球的半径，表面积为，所以D选项正确.. 12．4 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 13．/ 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据距离的几何意义，利用圆的几何性质，数形结合求解． 【详解】依题意可知的圆心坐标为，半径， 的圆心坐标为，半径， 如图所示，对于轴上的任意一点，由图象可知，求的最小值， 可转化为求的最小值． 由平面几何的知识易知关于轴对称的点的坐标为，， 当，，共线时，取得最小值， 即取得最小值，最小值为， 所以的最小值为． 故答案为：． 14．/ 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 15． 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题、数列的概念及辨析、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以， 因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以， 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，， ，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即； （2） ， ， 两式相减得 ， ； （3）由（2）可知 ， 得恒成立， 令， 则， 可得；当时，，当时，， 所以的最大值为， 故. 16． 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据甲先得分的情况进行分类讨论，由此求得甲获胜的概率. （2）根据的取值进行分类讨论，由相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望. 【详解】（1）情况1：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜， 概率为； 情况2：在接下来的比赛中，甲赢局，乙赢局， 概率为. 所以甲获得这次比赛胜利的概率为. （2）的可能取值为， 时，在接下来的比赛中，乙连赢局， 所以，则， 所以的分布列为： 数学期望. 17． 【难度】0.3 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）根据复合函数求导得，进而二阶求导，根据函数的单调性可判断单调递减，进而可得单调递减，即可求解, （3）构造函数，即可求导得函数的单调性求证（i），根据（i）的结论可证明，即可结合求证（ii）. 【详解】（1），则，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），则 ， 记， 故 设，则 当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减， 所以，故在单调递增． （3）证明：（i）令，则， 所以在上单调递增，所以，即当时， 所以当时，； （ii）由（i）可知当时，，故， 由于,则，故， 由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减， 故，所以． 18． 【难度】0.32 【知识点】双曲线中的定值问题、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】第（1）问将点M代入双曲线的渐近线中求出关系，再结合离心率公式求出离心率；第（2）问先设P，Q两点坐标和将M代入双曲线方程中，在（i）问中运用重心公式和斜率求出关系，从而求出双曲线方程；在（ii）问主要设直线PQ的方程，并与双曲线的方程联立，进行化简看是否能求出一个定圆. 【详解】（1）双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上， 则，所以； （2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上， 所以， （i）因为P，Q在双曲线E上，所以， 作差可得，即， 因为M是的重心，所以，即，， 又因为直线PQ的斜率为2，所以，即， 代入解得， 所以双曲线E的方程为； （ii）因为，直线PQ不可能垂直于y轴，所以设直线PQ的方程为， 代入，化简得， 所以， 因为，所以，即， 即， 化简得， 所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切. 19． 【难度】0.28 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法、余弦定理解三角形、球的表面积的有关计算 【分析】（1）由三角形面积公式及DC平分，可得，在中应用余弦定理，可求得，在中应用余弦定理即可求得； （2）设，用表示三棱锥的体积，并求出三棱锥的体积最大时的，从而求得此时三棱锥的外接球半径，进而求得外接球的表面积；建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，用表示直线与平面所成角的正弦值，利用基本不等式，结合同角三角函数关系式即可求得该正弦值的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 若DC平分，则，所以. 设，则， 因为，，所以. 由，得， 解得，即. 所以， 又，所以； （2）（i）设，作，垂足为O，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面BDC. 又， 所以， 当且仅当时取最大值，此时，，即BD，CD，PD两两垂直， 设三棱锥的外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为； （ii）如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 则， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以， 令，则， 所以，， 设直线PC与平面PBD所成角为，则 ， 令，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为． 高三数学答案 第2页，共16页 高三数学答案 第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $