专题01 条件概率的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题01 条件概率的四大常考题型 题型一：条件概率的求算 题型二：条件概率性质应用 题型三：全概率公式求概率 题型四：贝叶斯公式求概率 题型一：条件概率的求算 1．贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 4．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，设事件“点数为1或2”，事件“点数为2或3或4”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D． 5．树人中学举办校运动会，甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者被随机地分配到篮球､羽毛球､乒乓球三个不同的体有场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者.已知有三位志愿者被分配到篮球馆服务，则甲没有被分配到篮球馆的概率为 . 6．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰. (1)求该部门招工的淘汰率; (2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 7．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 8．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 9．某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 10．A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是 . 题型二：条件概率性质应用 11．下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 12．下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 13．下列说法不正确的是（    ） A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则 C．如果事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 14．已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 15．已知，，则 . 16．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%､20%､30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05､0.04､0.03和0.02.从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是多少？ 18．已知，，则（    ） A． B． C． D． 19．已知，且若，，则 ． 20．下列有关事件的说法正确的是（    ） A．事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大 B．若，则事件，为对立事件 C．若，为互斥事件，则 D．若事件，，满足条件，和为互斥事件，则 题型三：全概率公式求概率 21．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 22．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 23．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 24．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 25．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 26．两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 27．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（    ） A． B． C． D． 28．袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 29．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 30．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 题型四：贝叶斯公式求概率 31．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 32．某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 33．某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 34．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为3%；第二批占60%，次品率为2%，则（   ） A．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为0.06% B．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为2.4% C．两批产品混合后任取1件，该产品是次品的概率为2.4% D．两批产品混合后任取1件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为0.3% 35．假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 36．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 37．某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 38．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 39．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 40．某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率的四大常考题型 题型一：条件概率的求算 题型二：条件概率性质应用 题型三：全概率公式求概率 题型四：贝叶斯公式求概率 题型一：条件概率的求算 1．贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃．在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，由条件求得，然后由条件概率的公式求得答案． 【详解】设“喜欢吃肠旺面”为事件，“喜欢吃丝娃娃”为事件，则， 则“喜欢吃肠旺面或丝娃娃”为事件，“既喜欢吃肠旺面又喜欢吃丝娃娃”为事件， 由题意知，， 从而， 因此由条件概率的公式得． 故选：B． 2．一盒子中装有只产品，其中有只一等品、只二等品．从中任取产品两次，每次取只，不放回．事件表示“第一次取到的是一等品”，事件表示“第二次取到的是一等品”，试用两种方法求． 【答案】 【分析】解法一：记从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； 解法二：记从只一等品、只二等品中取只所有取法，事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”，结合条件概率公式可求得的值. 【详解】解法一：样本空间改变法： 从只一等品、只二等品中任取只的所有取法，所以； 解法二：从只一等品、只二等品中取只所有取法， 所以中所含的基本事件数为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取只，第一次取只一等品，第二次取到只一等品”， 所以中所含的基本事件为， 事件表示“从只一等品、只二等品中取2只，第一次取只一等品，第二次任取”， 所以中所含的基本事件为，故. 3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据条件概率计算公式求解即可. 【详解】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为， 又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为， 所以. 故答案为： 4．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，设事件“点数为1或2”，事件“点数为2或3或4”，则（    ） A．与是互斥事件 B．与是相互独立事件 C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A，B，由条件概率公式计算可判断C，再由对立事件与独立事件的关系计算可判断D． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，事件“点数为1或2”，事件“点数为2或3或4”，则“点数为2”，事件，可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，由于，满足，故与是相互独立事件，故B正确； 对于C，由B可知，故C错误； 对于D，由于与是相互独立事件，所以与，与是相互独立事件， 所以，，则，故D正确． 故选：BD． 5．树人中学举办校运动会，甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者被随机地分配到篮球､羽毛球､乒乓球三个不同的体有场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者.已知有三位志愿者被分配到篮球馆服务，则甲没有被分配到篮球馆的概率为 . 【答案】/0.4 【分析】根据题意，由排列组合数公式计算，再利用古典概型公式计算即可. 【详解】设“有三位志愿者被分配到篮球馆服务”为事件，“甲没有被分配到篮球馆”为事件， 则. 故答案为：. 6．某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9，0.65，各项考核是相互独立的，每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰. (1)求该部门招工的淘汰率; (2)求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率. 【答案】(1)0.7192 (2)0.48. 【分析】（1）对于独立事件，它们同时发生的概率等于各事件发生概率的乘积；运用乘法公式和对立事件概率公式计算即可； （2）可通过条件概率和对立事件的概率和为1来计算. 【详解】（1）设B表示最终通过考核，分别表示通过第一、二、三、四项考核. 因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为，因此该部门招工的淘汰率为. （2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为. 7．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式、相互独立事件概率乘法公式与对立事件的概率关系可得. 【详解】因为事件与独立，且， 所以，故， 所以. 故选：C. 8．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 . 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式和条件概率求解即可. 【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A， 则， 所以， 所以， 故答案为： 9．某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【答案】 / 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，结合排列组合即可求解第二空. 【详解】从个人中任选人，全部情况有种， 恰好有两名男生的情况有， 故恰有名男生参加劳动学习的概率为， 有女生参加劳动学习的情况有种， 恰有一名女生参加劳动学习的情况有， 故在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为 故答案为：， 10．A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是 . 【答案】 【分析】求出前两局甲胜以及甲第一局和第三局胜，第二局输的概率，根据条件概率的概率公式即可求得答案. 【详解】在A先胜一局的条件下，A再胜第二局，即前两局A胜的概率为， A第一局和第三局胜，第二局输的概率为， 所以在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是. 故答案为： 题型二：条件概率性质应用 11．下列说法正确的是（ ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误可得答案. 【详解】对于A，由，当，则，故A错误； 对于B，当事件A包含事件时，， 则此时，故B正确； 对于C，，如：当A或B为不可能事件时，，故C错误； 对于D，由，故D错误. 故选：B. 12．下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率公式计算即可判断A，B，C，再结合概率性质判断D. 【详解】对于A：中，，，而与不一定相等，故不正确； 对于B：，应为互斥事件，故不正确； 对于C：正确； 对于D：，故不正确． 故选：ABD. 13．下列说法不正确的是（    ） A．对事件A和B，若，则事件A与B相互独立 B．若事件A，B相互独立，则 C．如果事件A与事件B相互独立，则 D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立 【答案】D 【分析】根据概率的乘法公式和相互独立的概念，可判断A；由相互独立的性质判断B；由条件概率的概念可判断C；根据对立事件的概念判断D. 【详解】若，则， 故A，B相互独立，所以选项A正确； 若事件A，B相互独立，则也相互独立，故选项B正确； 若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故选项C正确； B与相互对立，不是相互独立，故D不正确． 故选：D 14．已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 15．已知，，则 . 【答案】 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 16．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以，. 因为与为互斥事件，所以， 所以 ， 所以， 故，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，， 所以，故D错误. 故选:AB. 17．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%､20%､30%和35%，又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05､0.04､0.03和0.02.从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率是多少？ 【答案】 【分析】设“任取一件产品，抽到不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. 【详解】解：设“任取一件产品，抽到不合格品”，“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，其中， 根据题意，可得， 且， 所以从该厂的这一产品中任取一件，抽到不合格品的概率为：. 18．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 19．已知，且若，，则 ． 【答案】/ 【分析】由，可得相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解． 【详解】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 20．下列有关事件的说法正确的是（    ） A．事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大 B．若，则事件，为对立事件 C．若，为互斥事件，则 D．若事件，，满足条件，和为互斥事件，则 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件和条件概率的定义与计算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若事件和都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A错误； 对于B中，若在不同试验下，虽然有，但事件和不对立；若在同一试验下，说明事件和对立，则B错误； 对于C中，若，互斥，且，对立，则， 若，不对立，则，所以C正确； 对于D中，若事件，，满足条件，和为互斥事件， 则，所以D错误， 故选：C. 题型三：全概率公式求概率 21．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 22．全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（    ） A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 【答案】D 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 23．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%、30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，求每台车床操作员应承担的份额. 【答案】(1) (2)第1，2台车床操作员应分别承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 【分析】的份额.（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得； （2）求“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案. 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥，根据题意得， ，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， ； ， ， 故第1，2台车床操作员应承担的份额，第3台车床操作员应承担的份额. 24．跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 25．某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 26．两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，根据和得，即可求解. 【详解】第一次掷骰子的概率：掷出的点数为6，概率为，弟弟获得礼物；掷出的点数不为6，概率为，记下点数，进入后续阶段. 后续阶段的概率：设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为. 若哥哥掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6，概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为，有，① 若弟弟掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6：概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到哥哥掷骰子，此时概率为，有，② 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟获得礼物的概率为，则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为. 故选：D. 27．甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据古典概型的概率公式、条件概率概率公式和全概率公式逐项判断即可. 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，故A正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； ，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD 28．袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 29．有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及全概率公式可得答案. 【详解】依题意，设事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”. 由全概率公式： . 故选：A 30．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式计算可得． 【详解】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 题型四：贝叶斯公式求概率 31．某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则， 故选：C. 32．某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则 ， . 【答案】 / 【分析】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，有，，，，由全概率公式和贝叶斯定理求解. 【详解】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作， 根据题意，有，，，， 由全概率公式 . 所以. 故答案为：；. 33．某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 【答案】AC 【分析】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件，该生活用品为合格品为事件，得到，且，结合全概率公式阿赫条件概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件， 该生活用品为合格品为事件， 可得， 则， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，，所以C正确； 对于D中，，所以D错误. 故选：AC. 34．两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为3%；第二批占60%，次品率为2%，则（   ） A．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为0.06% B．从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为2.4% C．两批产品混合后任取1件，该产品是次品的概率为2.4% D．两批产品混合后任取1件，若取到的是次品，则它取自第一批产品的概率为0.3% 【答案】AC 【分析】对于A，B， 运用独立事件的概率乘法公式计算即可判断；对于C，设出相关事件，运用全概率公式计算即得；对于D，利用贝叶斯公式计算即得. 【详解】依题意，从两批产品中各取1件，都取到次品的概率为，故A正确，B错误； 设事件“次品来自第一批产品”， “次品来自第二批产品”，而“从混合后的产品中取出一件是次品”， 则 因，故C正确； 因，故D错误. 故选：AC. 35．假设小红口袋中有3个白球和3个红球，小兰口袋中有2个白球和2个红球，现小红从自己口袋中任取2个球放入小兰口袋中，小兰再从自己口袋中任取2个球，已知小兰取出的是2个红球，则小红从口袋中取出的也是2个红球的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据全概率公式求解小兰取出的是2个红球的概率；进而求解小红从口袋中取出的也是2个红球的概率，即可利用贝叶斯公式求解即可. 【详解】设小红取出个球，其中红球的个数为个的事件为，从小兰取出个球，其中红球的个数为2个的事件为， 由题意可得：，； ，； ，； 则， 所以小兰取出的是2个红球，则小红取出的也是2个红球的概率为. 故答案为： 36．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【答案】 0.1/ 0.3/ 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 37．某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯概率公式进行求解即可． 【详解】对于A，由题意可知，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确； 故选：BCD． 38．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干条件，利用全概率公式即可得到答案； （2）根据题意利用贝叶斯公式即可求解． 【详解】（1）设事件表示“取到的产品为正品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知，，， ，，． 由全概率公式得：． （2）由贝叶斯公式得． 39．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（    ） A．0.0125 B．0.362 C．0.468 D．0.0345 【答案】B 【分析】先根据全概率公式求出取到的产品是次品的概率，再代入贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A表示取到的产品来自甲车间，事件B表示取到的产品来自乙车间，事件C表示取到的产品来自丙车间，事件D表示取到的产品是次品， 则, ； 则取到的产品是次品的概率为： ； 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： 故选：B. 40．某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $