期末专题：因数和倍数（综合训练） -2025-2026学年五年级下册数学人教版

期末专题：因数和倍数 一、选择题 1．一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既是奇数又是合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是（    ）。 A．1249 B．2491 C．4129 D．1429 2．若a＋5的和是偶数，则a一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 3．下面各组数中，有因数和倍数关系的是（    ）。 A．9和2 B．2.5和0.5 C．25和100 D． 4．一个数既是12的倍数，又是48的因数，这个数不可能是（    ）。 A．12 B．24 C．36 D．48 5．a是一个偶数，b是一个奇数。下面算式中，结果一定是奇数的是（    ）。 A．3ab＋2 B． C．2（a＋b） D．5a＋4b 二、填空题 6．在75，30，87，23，108，59中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 7．12的因数有( )，共( )个，它的倍数的个数是( )。 8．四位数8□6□能同时被2、5、3整除，它的个位上只能填( )，百位上最小填( )。 9．根据哥德巴赫猜想：任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数的和。例如：18＝5＋13，20＝( )＋( )，28＝( )＋( )。 10．有一个三位数74□，如果它是5的倍数，□里最大可以填( )；如果它是3的倍数，□里最小可以填( )。 11．阳阳和爸爸玩猜数游戏，爸爸说：“这是一个四位数，最高位既是奇数又是合数，百位上是最小的质数，最低位是最小的合数，剩下一个数既不是质数也不是合数，也不是0。”这个数是( )。 12．晚上小明家开着灯吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是( )的，如果按了50下，这时灯是( )的。（填“开”或“关）。 13．一个数的最大因数是24，这个数是( )，这个数的最小倍数是( )。 14．用0，5，2，8四个数字组成一个既是2的倍数，又是3的倍数的最小四位数是( )。 15．把一些糖果平均分装在14个格子里，正好装完。已知这些糖果有40～50颗，那么每个格子里装了( )颗糖果。 16．既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大三位数是( )，最小三位数是( )。36的因数有( )，其中合数有( )。 17．武汉森林公园探险活动中，明明需要找万能钥匙，打开下面四把锁才能继续前往探险之路。万能钥匙上的数是( )。 三、计算题 18．对号入座。 19、24、37、50、57、65、88、93、97、102 19．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10                7和16                45和60                24和30 四、解答题 20．1路公共汽车每8分钟发一次车，3路公共汽车每10分钟发一次车。这两路公共汽车早上6：00同时发车后，什么时候第二次同时发车？ 21．非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 22．秦始皇陵兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，其中二号坑第一单元的四周长廊有60个立式弩兵俑，中心有160个蹲跪式兵俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？ 23．乐乐在一家花店买了8枝玫瑰，9枝康乃馨，付给店长阿姨100元，找回了15元。乐乐发现玫瑰的价格是3元1枝，每枝康乃馨的价格是整元数，就说：“阿姨，您把账算错了。”乐乐是如何判断出店长阿姨算错的？请说明理由。 24．A、B两盏灯各自装有一个开关，开始A灯不亮，B灯亮着，如下图所示，小明和小兰分别按A、B的开关，小明按A的开关119次，小兰按B的开关132次，这时A、B两盏灯的状态是怎样的？ 25．玲玲到文具店买一款彩色笔，单价（整数元）已看不清楚，她买了3盒，付给售货员150元，找回16元。玲玲认为找回的钱不对。请你对玲玲的理由作出解释。 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数；合数是大于1且除了1和它本身还有其他因数的自然数，其中1既不是质数也不是合数；奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数（0也是偶数）。据此解答。 【详解】最小的质数是2，所以千位是2； 最小的合数是4，所以百位是4； 一位数中既是奇数又是合数的是9，所以十位是9； 既不是质数也不是合数的是1，所以个位是1； 这个四位数是2491。 2．B 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。 奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。 【详解】a＋5的和是偶数。 因为5是奇数，且奇数＋奇数＝偶数。 所以 a一定是奇数。 3．C 【分析】因数和倍数关系的判断需要满足两个条件：第一两个数都是整数，第二较大的数是较小的数的整数倍。逐一判断选项是否符合条件，特别注意排除小数的情况。 【详解】A．9÷2＝4.5，无整除关系，不成立。 B．2.5÷0.5＝5，但两数均为小数，因数和倍数只在整数范围内讨论，不成立。 C．100÷25＝4，100是25的倍数，25是100的因数，成立。 D．，商不是整数，且含有分数，不成立。 4．C 【分析】因数：若整数a除以整数b（b≠0）的商是整数且没有余数，则b是a的因数。这个数必须是48的因数，因此它的大小不能超过48，且必须能整除48。倍数：一个数能被另一个数整除，这个数就是另一个数的倍数。这个数必须是12的倍数，即能被12整除。 【详解】48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 12的倍数（不大于48）有：12，24，36，48。 A．12：既是12的倍数，也是48的因数，符合条件； B．24：既是12的倍数，也是48的因数，符合条件； C．36：是12的倍数，但不是48的因数（48÷36＝1.333…，不能整除），不符合条件； D．48：既是12的倍数，也是48的因数，符合条件。 5．B 【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。据此对每个选项进行分析，判断其结果是否一定为奇数。 【详解】A．因为a是偶数，根据“偶数×任何数＝偶数”，可得ab是偶数。再根据“奇数×偶数＝偶数”，3是奇数，所以3ab是偶数。最后根据“偶数＋偶数＝偶数”，3ab是偶数，2是偶数，因此3ab＋2的结果是偶数。 B．因为a是偶数，b是奇数，根据“奇数×奇数＝奇数”，可得＝b×b是奇数。再根据“偶数＋奇数＝奇数”，a是偶数，是奇数，因此的结果是奇数。 C．无论a＋b的结果是奇数还是偶数，根据“任何数×2＝偶数”，可得2（a＋b）的结果是偶数。 D．因为a是偶数，根据“偶数×任何数＝偶数”，可得5a是偶数。4是偶数，b是奇数，根据“偶数×奇数＝偶数”，可得4b是偶数。再根据“偶数＋偶数＝偶数”，5a是偶数，4b是偶数，因此5a＋4b的结果是偶数。 6． 75，87，23，59 30，108 23，59 75，30，87，108 【分析】不能被2整除的数是奇数；能被2整除的数是偶数；质数是指除了1和它本身之外没有其他因数的自然数；合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的自然数。 【详解】在75，30，87，23，108，59中，奇数有75，87，23，59，偶数有30，108，质数有23，59，合数有75，30，87，108。 7． 1， 2， 3， 4， 6， 12 6 无限的 【分析】一个数的因数是指能整除这个数的几个数；一个数的倍数是指这个数与非零自然数的乘积，一个数的倍数的个数是无限的，据此解答即可。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4，因此它的因数有：1、2、3、4、6、12，共6个；它的倍数的个数是无限的。 8． 0 1 【分析】同时是2、3、5的倍数的数的特征：个位上必须是0，且各个数位上数字的和是3的倍数。 【详解】8□6□能同时被2、5、3整除。 个位上只能是0。 各个数位上的数字的和是3的倍数，且，则14加上1、4、7都是3的倍数。 因为，所以，百位上最小填1。 综上，四位数8□6□能同时被2、5、3整除，它的个位上只能填0，百位上最小填1。 9． 3 17 5 23 【分析】大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数叫做质数。一个数除以1和它本身外还有别的因数的数叫做合数。题目要求把大于2的偶数写成两个质数的和，我们只需要找到两个质数相加等于已知的偶数即可。计算时先确定其中一个加数为质数，得出另一个加数，再确定两个加数都是质数的情况。 【详解】20＝2＋18，18是合数，不符合。 20＝3＋17，两个数都是质数，符合。 20＝5＋15，15是合数，不符合。 20＝7＋13，两个数都是质数，符合。 20＝11＋9，9是合数，不符合。 20写成两个质数的和是20＝3＋17或20＝7＋13。（答案不唯一） 28＝2＋26，26是合数，不符合。 28＝3＋25，25是合数，不符合。 28＝5＋23，两个数都是质数，符合。 28＝7＋21，21是合数，不符合。 28＝11＋17，两个数都是质数，符合。 28＝13＋15，15是合数，不符合。 28＝19＋9，9是合数，不符合。 28写成两个质数的和是28＝5＋23或28＝11＋17。（答案不唯一） 10． 5 1 【分析】5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个自然数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】74□是5的倍数： □中可以填0，也可以填5。 因为，所以□里最大可以填5 如果它是5的倍数，□里最大可以填5。 74□是3的倍数： ，要想74□是3的倍数，即11＋□是3的倍数，□可以填的数字有1、4、7。 因为，所以□里最小可以填1。 如果它是3的倍数，□里最小可以填1。 11．9214 【分析】一个四位数，最高位是千位。个位上是1、3、5、7、9的数叫做奇数；自然数1除外，一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫作合数。最小的质数是2，即百位上是2；最小的合数是4，即个位上是4；既不是质数，也不是合数，也不是0，则这个数就是1，即十位上是1；一位数的奇数有1、3、5、7、9，其中1既不是质数，也不是合数，3是质数，5是质数，7是质数，9是合数，一位数中既是奇数，又是合数的数是9，即千位上是9。 【详解】千位上的数是9 百位上的数是2 十位上的数是1 个位上的数是4 所以，这个数是9214。 12． 关 开 【分析】由题意可知，现在灯是开的，按1（奇数）下时灯是关的，按2（偶数）下时灯是开的，按3（奇数）下时灯是关的……由此可知，按奇数次开关，灯是关的，按偶数次开关，灯是开的。 【详解】分析可知，5是奇数，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是关的，50是偶数，如果按了50下，这时灯是开的。 13． 24 24 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身；一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。 【详解】分析可知，一个数的最大因数是24，这个数是24，这个数的最小倍数是24。 14．2058 【分析】要组成既是2的倍数又是3的倍数的最小四位数，需满足： 2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8（即个位为偶数）； 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数；最小四位数：千位选最小的非0数字，最小是2，个位上是必须是偶数，满足2的倍数特征，并且确保数字最小，所以个位是8，其余数位从小到大排列。 【详解】根据分析：用0，5，2，8四个数字组成一个既是2的倍数，又是3的倍数的最小四位数是2058。 15．3 【分析】把这些糖果平均装在14个格子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在40～50之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每个格子里装了多少颗糖果。 【详解】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在40～50之间的是42。 42÷14＝3（颗） 因此每个格子里装了3颗糖果。 16． 990 120 1，2，3，4，6，9，12，18，36 4，6，9，12，18，36 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数；同时是2和5的倍数特征：个位只能是0的数；3的倍数特征：各数位上的数字之和是3的倍数。 因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。据此解答。 【详解】（1）三位数中最大的是999，个位是0的最大三位数是990。因为9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以符合条件的最大三位数是990。 （2）三位数中最小的是100，个位是0的最小三位数是100。因为1＋0＋0＝1，1不是3的倍数。因为3－1＝2，因此，十位上的数是2，所以符合条件的最小三位数是120。 （3）因为36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，所以36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 （4）其中合数有：4，6，9，12，18，36。 17．45 【分析】根据要求，这个数是两位数、奇数、并且是5的倍数。5的倍数个位只能是0或5，因为是奇数，所以个位一定是5，候选数为：15、25、35、45、55、65……；分别计算候选数所有因数的和： 15的因数和：，不符合； 25的因数和：1＋5＋25＝31，不符合； 35的因数和：1＋5＋7＋35＝48，不符合； 45的因数和：1＋3＋5＋9＋15＋45＝78，刚好符合要求。 【详解】据分析可知，万能钥匙上的数是45。 18． 见详解 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数； 只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身两个因数外还有其他因数的数是合数； 一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数； 个位数字是0或5的数是5的倍数。据此逐一分析。 【详解】19：19÷2＝9……1，19不是2的倍数，是奇数；19＝1×19，只有1和它本身两个因数，是质数；1＋9＝10，10不是3的倍数，所以19不是3的倍数； 24：24÷2＝12，24是2的倍数，是偶数；24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；2＋4＝6，6是3的倍数，所以24是3的倍数； 37：37÷2＝18……1，37不是2的倍数，是奇数；37＝1×37，只有1和它本身两个因数，是质数；3＋7＝10，10不是3的倍数，所以37不是3的倍数； 50：50÷2＝25，50是2的倍数，是偶数；50＝1×50＝2×25＝5×10，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；5＋0＝5，5不是3的倍数，所以50不是3的倍数； 57：57÷2＝28……1，57不是2的倍数，是奇数；57＝1×57＝3×19，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；5＋7＝12，12是3的倍数，所以57是3的倍数； 65：65÷2＝32……1，65不是2的倍数，是奇数；65＝1×65＝5×13，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；6＋5＝11，11不是3的倍数，所以65不是3的倍数； 88：88÷2＝44，88是2的倍数，是偶数；88＝1×88＝2×44＝4×22＝8×11，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；8＋8＝16，16不是3的倍数，所以88不是3的倍数； 93：93÷2＝46……1，93不是2的倍数，是奇数；93＝1×93＝3×31，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；9＋3＝12，12是3的倍数，所以93是3的倍数； 97：97÷2＝48……1，97不是2的倍数，是奇数；97＝1×97，只有1和它本身两个因数，是质数；9＋7＝16，16不是3的倍数，所以97不是3的倍数； 102：102÷2＝51，102是2的倍数，是偶数；102＝1×102＝2×51＝3×34＝6×17，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；1＋0＋2＝3，3是3的倍数，所以102是3的倍数； 综上，奇数有19、37、57、65、93、97，偶数有24、50、88、102； 质数有19、37、97，合数有24、50、57、65、88、93、102； 3的倍数有24、57、93、102； 个位数字是0或5的数有50、65，所以5的倍数有50、65。 19．最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 20．6：40 【分析】两车要同时发车，发车的间隔时间，必须既是8的倍数，又是10的倍数，即它们的公倍数，第二次同时发车，对应的间隔时间就是8和10的最小公倍数。再根据第二次同时发车的时间＝第一次同时发车的时间＋第一次与第二次同时发车的间隔时间，可求出第二次同时发车的时间。 【详解】8的倍数有：8，16，24，32，40，48…… 10的倍数有：10，20，30，40，50…… 8和10的公倍数有：40，80…… 8和10的最小公倍数是40； 6：00＋40分钟＝6：40 答：这两路公共汽车早上6：00同时发车后，6：40第二次同时发车。 21．4种； 6、8、12、16幅 【分析】作品总数固定为 48 幅，且每行贴的数量相同，说明每行贴的数量必须是48的因数。题目还限制了每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅。先有序地找出48的所有因数，然后根据给定的范围（每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅）进行筛选，符合条件的因数个数即为贴法的种数，具体的因数即为每行贴的作品数量。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据条件“不少于6幅，不多于16幅” 在48的因数中，大于或等于6且小于或等于16的数有：6、8、12、16。 符合条件的因数共有4个，所以对应有4种贴法。 答：有4种贴法，分别每行贴6、8、12、16幅作品。 22．3个3个地数不能正好数完，5个5个地数能正好数完。 【分析】先求出兵马俑的总个数，再根据3的倍数和5的倍数的特征进行判断。3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5。 【详解】60＋160＝220（个） 2＋2＋0＝4 因为4不是3的倍数，所以220不是3的倍数。 因为220的个位上是0，所以220是5的倍数。 答：这些兵马俑3个3个地数不能正好数完，5个5个地数能正好数完。 23．理由是：玫瑰总价8×3＝24元，付款100元找回15元，康乃馨总价100−15−24＝61元；61是质数，不能被9整除，而康乃馨买了9枝且单价为整元数，总价应是9的倍数，故账算错了。 【分析】康乃馨的价格是整元数，则总价必须是数量9的倍数。首先通过付款金额和找回金额计算出实际花费，再减去玫瑰的总价得到康乃馨的总价，最后验证该总价是否为9的倍数即可得出结论。 【详解】100－15＝85（元） 8×3＝24（元） 85－24＝61（元） 因为，，61不是9的倍数。 已知每枝康乃馨的价格是整元数，则康乃馨的总价应是9的倍数。 所以店长阿姨把账算错了。 24．A灯由不亮变为亮，B灯仍然亮着 【分析】先明确每盏灯的初始状态，再根据“按奇数次开关状态改变、按偶数次开关状态不变”的规律，分别判断A灯、B灯按动次数的奇偶性，进而推导两盏灯的最终状态。 【详解】A灯：初始状态是不亮。 开关按动的规律是：按奇数次时状态改变，按偶数次时状态不变。 119是奇数，所以A灯的状态会改变。 B灯：初始状态是亮着。 同理，132是偶数，所以B灯的状态保持不变。 答：按完开关后：A灯由不亮变为亮，B灯仍然亮着。 25．理由见详解 【分析】根据“总价＝单价×数量”，已知数量是3盒，单价是整数元，所以总价应该是3的倍数。通过付出的钱数减去找回的钱数求出实际总价，再判断该总价是否是3的倍数即可。 【详解】150－16＝134（元） 因为彩色笔的单价是整数元，买了3盒，所以总花费应该是3的倍数。 1＋3＋4＝8 8不是3的倍数，所以134不是3的倍数。 答：因为134不是3的倍数，所以售货员找回的钱不正确。 答案第2页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $