（期末专项复习）专题08 因数和倍数解决问题拔高版一-2025-2026学年五年级数学下册期末高频易错题思维综合练（苏教版）

（期末专项复习）专题08 因数和倍数解决问题拔高版一 一、解答题 1．有一包糖果，如果平均分给8个人，还剩3颗；如果平均分给10个人，也剩3颗。这包糖果至少有多少颗？ 2．在一条长2400米的公路一旁安装路灯（两头都装），原来每6米装一个路灯，灯位已预留好，现在改为每8米装一个路灯，共有多少个路灯的预留位置可以不需要重新预留？ 3．工作人员要把96条肉干和72袋狗粮全部分给动物救助站的小狗，每只小狗分到的肉干条数相同，分到的狗粮袋数也相同，肉干和狗粮都正好分完，动物救助站最多有多少只小狗？每只小狗分到几条肉干和几袋狗粮？ 4．下面是银杏公园的一条路，现在要在路的两侧安装路灯，使每盏灯之间的距离都相等，并且M、O、N三处都要安装，至少要安装多少盏灯？ 5．晓思和妈妈一起包了40个豆沙粽和48个红枣粽，然后将这些粽子分别平均分装。刚好分完，已知豆沙粽子每袋的个数与红枣粽每袋的个数一样多。这两种粽子一共至少分装成了多少袋？ 6．乐乐到土特产专卖店里买了70多个烤鸭蛋，每6个烤鸭蛋一个蛋托，或者每8个烤鸭蛋一个蛋托，都正好装满，乐乐买了多少个烤鸭蛋？ 7．为了让五（1）班的孩子们能在这个特别的日子里拿到充足的课外读物，李老师特意采购了一批全新的绘本、名著和科普书籍。这些书被精心打包时，李老师发现：如果每9本打成一包，最后余下7本；如果每10本打成一包，最后余下8本。李老师至少采购了多少本课外书？ 8．小明和小红是图书馆的常客，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。小明每3天去一次，小红每5天去一次，12月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆是几月几日？ 9．把一张长16厘米、宽12厘米的长方形纸裁成同样大的正方形（正好裁完，无剩余）。裁出的正方形边长最大是多少厘米？可裁出多少个这样的正方形？ 10．某校同学参加“筑梦青春”体操表演，参加体操表演的同学既能平均分成9组进行队伍变换，也能平均分成12组进行队伍变换。至少有多少人参加“筑梦青春”体操表演？ 11．秦始皇陵兵马俑是第一批全国重点文物保护单位、第一批中国世界遗产，位于今陕西省西安市临潼区秦始皇陵以东1.5千米处的兵马俑坑内。二号俑坑第三单元有264个步兵俑，4个4个地数能正好数完这些步兵俑吗？如果5个5个地数呢？为什么？ 12．毕业联欢会上，文艺委员把38块糖和28个果冻分别平均分给一个组的同学，分完发现糖多了2块，果冻多了4个，这个组最多有多少名同学？ 13．张老师买了38个笔记本和40支铅笔，平均奖励给班级“三好学生”，结果笔记本多了3本，铅笔少了2支，那么班级里最多有多少个“三好学生”？ 14．两根钢管，一根长21分米，另一根长12分米，现在要把它们锯成同样长的小段，每段钢管要尽可能长，且没有剩余，每段钢管长多少分米？一共能锯成几段？ 15．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 16．冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 17．五（1）班的学生参加团体操表演，每3人一排多2人，每2人一排少1人，每5人一排多4人，五（1）班至少有多少人参加了这次表演？ 18．一张长方形纸，长是32cm，宽12cm，要把它剪成面积最大的正方形纸片，且没有剩余，剪成的正方形纸片的边长是多少厘米？一共可以剪成多少块？ 19．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 20．少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 21．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 22．学校舞蹈队去参加表演，去时每12人坐一辆车刚好，返回时每8人坐一辆车也刚好。舞蹈队的人数在30至50人之间，这个舞蹈队有多少人？请说明理由。 23．五（1）班同学在操场上做操，若每行站8人或10人，都正好站成整行数。已知该班学生的人数在45人以内，五（1）班共有多少名学生？ 24．有甲、乙、丙三种不同型号的包装盒。现有93个彩蛋，选用哪种包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完？请说明理由。 25．学校在校园里开辟了一块长12米，宽8米的长方形土地，准备把这块土地划分成大小相等的小正方形土地（边长取整米数），且土地不能有剩余，每块小正方形土地的面积最大是多少平方米？ 26．每年端午，商城人家有缝制香包祈福的习俗。周奶奶翻出珍藏的长24厘米、宽18厘米的商城刺绣红绸，要为孙子缝制驱蚊艾草香包。她计划裁剪出大小相同的正方形布片，且不允许浪费任何一块珍贵的绸料——这是商城手工艺人“惜物如金”的老规矩。周奶奶能剪出的最大正方形香包布片，边长是多少厘米？这块红绸最多能裁出多少块这样的香包布片？（小提示：香包缝制时需留0.5厘米缝份，但裁剪计算仍按完整正方形计算） 参考答案 1．43颗 【分析】根据题意，这包糖果的数量减去3颗后，既是8的倍数，也是10的倍数。这说明糖果数量减去3后是8和10的公倍数。要求这包糖果至少有多少颗，就是求8和10的最小公倍数，再加上剩下的3颗即可。 【详解】8和10的最小公倍数是40。 40＋3＝43（颗） 答：这包糖果至少有43颗。 2．101 个 【分析】不需要重新预留的位置，表示该位置距离起点的长度既是6的倍数，也是8的倍数，是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，也就是不需要变动的位置的间隔长度，路灯的个数＝全长÷间隔＋1，把数据代入公式计算即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数： 2×3×2×2 ＝6×2×2 ＝12×2 ＝24 2400÷24＋1 ＝100＋1 ＝101（个） 答：共有101个路灯的预留位置可以不需要重新预留。 3．24只；4条，3袋 【分析】根据题意，小狗的只数必须能整除肉干的数量，也能整除狗粮的数量，说明小狗的只数是96和72的公因数。要求最多有多少只小狗，即求96和72的最大公因数。求出小狗的只数后，再用肉干和狗粮的总数分别除以小狗的只数，即可求出每只小狗分到的数量。 【详解】 所以96和72的最大公因数是2×2×2×3＝24 所以动物救助站最多有24只小狗。 肉干：96÷24＝4（条） 狗粮：72÷24＝3（袋） 答：动物救助站最多有24只小狗，每只小狗分到4条肉干和3袋狗粮。 4．28盏 【分析】首先求出路灯最大间距，要让路灯之间的距离相等且路灯间距最大，路灯间距必须是42和36的最大公因数。然后分别计算两段路单侧的路灯数量，路灯数量＝路长÷路灯间距＋1。接着把两段路的路灯数量相加，求出单侧路灯总数；注意O处被两段路重复计算要减去1盏。最后用单侧路灯总数乘2，即可求出两侧路灯总数。 【详解】42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 42和36的最大公因数是2×3＝6，即路灯最大间距为6米。 MO段路灯数：42÷6＋1 ＝7＋1 ＝8（盏） ON段路灯数：36÷6＋1 ＝6＋1 ＝7（盏） 单侧路灯总数：8＋7－1 ＝15－1 ＝14（盏） 两侧路灯总数：14×2＝28（盏） 答：至少要安装28盏灯。 【点睛】本题考查了用最大公因数解决拐角植树问题，在两端都栽的情况下，路灯数量＝路长÷路灯间距＋1；注意拐角点O处的路灯会被两段路重复计算，要减去1次重复；注意题干要求的是两侧路灯数量，而非单侧。 5．11袋 【分析】根据题意，豆沙粽和红枣粽分别平均分装且刚好分完，说明每袋的个数既是40的因数，也是48的因数，即每袋的个数是40和48的公因数。要求一共至少分装成多少袋，即要求总袋数最少，那么每袋装的个数应尽可能多，所以每袋的个数应是40和48的最大公因数。求出最大公因数后，分别计算两种粽子的袋数，再求和即可。 【详解】40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 40和48的公因数有：1、2、4、8 40和48的最大公因数是8。 所以，每袋最多装8个粽子。 豆沙粽分装的袋数：40÷8＝5 红枣粽分装的袋数：48÷8＝6 一共分装的袋数：5＋6＝11（袋） 答：这两种粽子一共至少分装成了11袋。 6．72个 【分析】根据题意，烤鸭蛋的数量既能被6整除，又能被8整除，说明这个数是6和8的公倍数。首先求出6和8的最小公倍数，然后列出6和8的公倍数，最后找出符合“70多个”这一条件的数即可。 【详解】因为每6个装一个蛋托或者每8个装一个蛋托都正好装满， 所以烤鸭蛋的数量是6和8的公倍数。 6和8的最小公倍数是24。 6和8的公倍数有：24、48、72、96…… 因为乐乐买了70多个烤鸭蛋，说明数量在70到79之间。 在这些公倍数中，只有72符合条件。 答：乐乐买了72个烤鸭蛋。 7．88本 【分析】书的总数除以9余7，除以10余8。观察发现除数与余数的差相等，这说明如果书的总数再加上2本，就能同时被9和10整除。因此，书的总数加上2本是9和10的公倍数。要求至少采购了多少本，即求它俩的最小公倍数减去2。如果两个数是互质数，最小公倍数是它俩的乘积。 【详解】9和10是互质数。 （本） （本） 答：李老师至少采购了88本课外书。 8．12月23日 【分析】小明每3天去一次，小红每5天去一次，两人再次同一天去图书馆经过的天数应是3和5的公倍数。要求下次同一天，即求3和5的最小公倍数。求出经过的天数后，推算出日期。 【详解】3和5的最小公倍数是：3×5＝15（天） 12月8日再过15天：8＋15＝23（日） 下次两人同一天去图书馆是12月23日。 答：下次两人同一天去图书馆是12月23日。 9． 4厘米；12个 【分析】要把长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余，正方形的边长必须既是长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最大，就是16和12的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽各能裁出多少个正方形，相乘即可得到总个数。 【详解】（1） 16和12的最大公因数是 答：裁出的正方形边长最大是4厘米。 （2）（16÷4）×（12÷4） ＝4×3 ＝12（个） 答：可裁出12个这样的正方形。 10．36人 【分析】根据题意，参加表演的人数既能平均分成9组，也能平均分成12组，说明总人数既是9的倍数，也是12的倍数，即总人数是9和12的公倍数。求“至少”有多少人，就是求9和12的最小公倍数，可以利用分解质因数的方法求出两个数的最小公倍数。 【详解】9＝3×3 12＝2×2×3 9和12的最小公倍数是：2×2×3×3＝36（人） 答：至少有36人参加“筑梦青春”体操表演。 11．264是4的倍数，但不是5的倍数，所以4个4个地数能正好数完，5个5个地数不能。 【分析】判断能否正好数完，实质是判断总数264是否是每次数个数的倍数。4个4个地数能正好数完，说明264是4的倍数；5个5个地数能正好数完，说明264是5的倍数。根据5的倍数的特征（个位上是0或5）可以直接判断；对于4的倍数，可以通过计算验证是否有余数。 【详解】，商是整数且没有余数，所以264是4的倍数。即4个4个地数能正好数完这些步兵俑。 5的倍数的特征是个位上是0或5，264的个位上是4，不符合5的倍数的特征，所以264不是5的倍数。即5个5个地数不能正好数完这些步兵俑。 12．12名 【分析】根据题意可知，实际分掉的糖和果冻的数量都是学生人数的倍数。要求这个组最多有多少名同学，就是求实际分掉的糖和果冻数量的最大公因数。据此先求出实际分掉的数量，再利用分解质因数的方法求最大公因数（两数的公有质因数的乘积），同时需验证学生人数是否大于余数。 【详解】实际分掉糖的数量：38－2＝36（块） 实际分掉果冻的数量：28－4＝24（个） 36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是：2×2×3＝12 因为12＞4，满足除数大于余数的条件，所以这个组最多有12名同学。 答：这个组最多有12名同学。 13．7个 【分析】根据题意，笔记本多了3本，说明笔记本的实际分配数量是总数减去多余的数量；铅笔少了2支，说明铅笔若要平均分配，需要的数量是总数加上缺少的数量。学生人数既是笔记本实际分配数量的因数，也是铅笔所需数量的因数，即学生人数是这两个数的公因数。要求最多有多少个“三好学生”，即求这两个数的最大公因数。 【详解】正好分完的笔记本数量：（本） 正好分完的铅笔数量：（支） 35的因数有：1，5，7，35。 42的因数有：1，2，3，6，7，14，21，42。 35和42的公因数有：1，7。 其中最大公因数是7。 答：班级里最多有7个“三好学生”。 14．3分米；11段 【分析】要把两根钢管锯成同样长的小段，且没有剩余，说明每段的长度必须是两根钢管长度的公因数。要求每段钢管尽可能长，即求21和12的最大公因数。求出每段长度后，分别用两根钢管的长度除以每段长度，求出各自的段数，再相加即可得到总段数。 【详解】21＝3×7 12＝2×2×3 21和12的最大公因数是3，所以每段钢管长3分米。 21÷3＋12÷3 ＝7＋4 ＝11（段） 答：每段钢管长3分米，一共能锯成11段。 15．12个 【分析】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 16．4种；2、4、8、16块 【分析】拿到最后正好一块不剩，说明每次拿的块数是糖的总块数的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出糖的总块数的所有因数，排除1和它本身的情况即可。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8 32的因数有：1、2、4、8、16、32，排除1和32，还有2、4、8、16，4个因数。 答：一共有4种拿法。每次分别拿2、4、8、16块。 17．29人 【分析】根据题意，每3人一排多2人，加上1人，就是3的倍数； 每2人一排少1人，加上1人，就是2的倍数； 每5人一排多4人，加上1人，就是5的倍数； 所以五（1）班参加表演的总人数就是3，2，5的公倍数减去1，求五（1）班至少的人数，就是求3，2、5的最小公倍数，再减去1，据此解答。 【详解】2，3，5是互质数，最小公倍数是3×2×5＝30 30－1＝29（人） 答：五（1）班至少有29人参加了这次表演。 18．4厘米；24块 【分析】这道题需要找到能同时整除长方形长和宽的最大数（即长和宽的最大公因数），因为要剪成面积最大且无剩余的正方形，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数，最大的边长就是最大公因数。先找出长方形长32cm和宽12cm的所有质因数，再用相同的质因数相乘求出最大公因数，就是正方形的最大边长。用长方形的长除以正方形边长，得到长能剪的份数；用长方形的宽除以正方形边长，得到宽能剪的份数；两者相乘就是总块数。 【详解】 共同的质因数相乘： 所以，32和12的最大公因数是4，即正方形纸片的边长是4厘米。 总块数： 答：正方形纸片的边长是4厘米。一共可以剪成24块。 19．57个 【分析】由题可知，4个4个拿多1个，即苹果数除以4余1；5个5个拿多2个，即除以5余2；6个6个拿多3个，即除以6余3。观察可知，若苹果数增加3个，则分别能被4、5、6整除，即苹果数是4、5、6的公倍数减3。据此解答。 【详解】  4的倍数有：4，16，20，24，28，32，36，40，44，48，60，64 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 4，5，6的最小公倍数是60。 （个） 答：这一箱苹果至少有57个。 20．7：00 【分析】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【详解】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 21．一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 22． 见详解 【分析】依据公倍数的概念（两个自然数的公倍数能同时被这两个数整除）：舞蹈队人数需同时被12和8整除，因此是12和8的公倍数，先通过分解质因数求出12（2×2×3）和8（2×2×2）的最小公倍数为24，再找出30至50之间的公倍数，即24的倍数48，验证可知48÷12＝4（辆）、48÷8＝6（辆）均能刚好坐满，所以这个舞蹈队有48人。 【详解】舞蹈队人数是12和8在30至50之间的公倍数，通过分解质因数求出12（2×2×3）和8（2×2×2）的最小公倍数为24，其倍数中符合条件的是48，故舞蹈队有48人。 23．五（1）班共有40名学生。 【分析】先分别找出8和10的倍数，再确定它们在45以内的最小公倍数，即为五（1）班的学生人数。 【详解】8的倍数（不超过45）有：8、16、24、32、40； 10的倍数（不超过45）有：10、20、30、40； 因为8和10的最小公倍数是40， 答：五（1）班共有40名学生。 24．选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；理由见详解 【分析】用彩蛋的总数分别除以每种包装盒可以装的个数，找出没有余数的，即为选用的包装盒。 【详解】93÷3＝31（盒） 93÷6＝15（盒）……3（个） 93÷8＝11（盒）……5（个） 答：选用每盒可以装3个的包装盒，可以把这些彩蛋恰好全部装完；因为用另外两种包装盒都有剩余的彩蛋。 25．16平方米 【分析】要求把长方形土地划分成大小相等的小正方形，且土地不能有剩余，求每块小正方形土地的边长最大是多少米，就是求12和8的最大公因数，最大公因数是两个数的公有质因数的乘积，即4米，然后根据正方形的面积公式，用4×4即可求出最大的小正方形面积。 【详解】12＝2×2×3 8＝2×2×2 12和8的最大公因数：2×2＝4 4×4＝16（平方米） 答：每块小正方形土地的面积最大是16平方米。 26．6厘米；12块 【分析】因为要用长24厘米、宽18厘米的红绸缝制艾草香包，且没有剩余，那么能剪出的最大正方形香包布片的边长就是24和18的最大公因数。可以利用分解质因数法计算，24＝2×2×2×3；18＝2×3×3。两个数的最大公因数是把公有的质因数相乘，24和18公有的质因数是2和3，则它们的最大公因数为2×3＝6，即能剪出的最大正方形香包布片的边长是6厘米。然后用24和18分别除以6计算后，再把两个结果相乘即可解答。 【详解】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6（厘米） 24÷6＝4（个） 18÷6＝3（个） 4×3＝12（块） 答：周奶奶能剪出的最大正方形香包布片边长是6厘米，这块红绸最多能裁出12块这样的香包布片。 学科网（北京）股份有限公司 $