模块8 平面解析几何-2026届高考二轮复习核心模块讲义

数学·核心模块讲义 平面解析几何 模块八 考情分析 平面解析几何是高考数学的核心模块与高频热点，考查方式灵活多变，以坐标法为核心工具，常与函数、不等式、向量、三角函数等多知识点深度综合命题. 命题的重点在于运用直线、圆、圆锥曲线的定义与性质解决轨迹问题、定点定值问题、最值与范围问题、直线与曲线的位置关系等，试题难度贯穿简单题、中档题与压轴题，在复习过程中，需扎实掌握直线方程、圆锥曲线标准形式等基础知识点与运算技能，更要强化坐标转化、数形结合、分类讨论的数学思想，提升在综合场景中灵活运用解析几何工具解决复杂问题的能力. 思维导航 重难知识 1.两条直线平行与垂直的判定 设两条直线的斜率分别为，；. 2.判断直线与圆的位置关系的方法 （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交，相离，相切. （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）：设圆心到直线的距离为d，则相交，相离，相切. 3.椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 顶点坐标 范围 长轴长 短轴长 焦距 离心率 ， 越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆 4.双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 顶点坐标 范围 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 实、虚轴长 实轴长为，虚轴长为 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 渐近线方程 5.抛物线的几何性质 标准方程 范围 准线 焦点 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 顶点 离心率 焦半径长 焦点弦长 解题技巧 1.与直线方程相关问题的常见类型及解题策略 （l）求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. （2）求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解. 2.与圆有关的轨迹方程问题的求解方法 （1）直接法：当题目条件中含有与动点有关的等式时，可设出动点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程. （2）定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程. （3）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与动点的关系，代入动点满足的关系式求轨迹方程. 3.过一点的圆的切线问题的求解方法 （1）若点在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为-1，由点斜式方程可求出切线方程；斜率不存在时，则根据图形可直接写出切线方程. （2）若点在圆外，可采用几何法和代数法两种方法来求. 几何法：当斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程. 代数法：当斜率存在时，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，根据判别式求出斜率，即可得出切线方程. 4.圆与圆有关问题的解题方法 （1）判断两圆位置关系的方法：常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法. （2）两圆公共弦长的求法：两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解. （3）两圆的公切线问题的求法：在求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法. 5.直线与椭圆相交的弦长问题的求法 （1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程（一般方程中带有字母参数）代入椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意. （2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为，，则相交弦长[其中A为的系数]. 6.求解与双曲线性质有关的范围（或最值）问题的方法 （1）几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解. （2）代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解. （3）不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解. 7.直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 （1）求线段长度和线段之积（和）的最值.可依据直线与抛物线相交，利用弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离. （2）求直线方程.先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可. （3）求定值.可借助于已知条件，将直线与抛物线方程联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到. 8.圆锥曲线中的最值问题的求解方法 （1）几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解，常见的几何图形所涉及的结论有：①两圆相切时半径的关系；②三角形三边的关系式；③动点与定点构成线段的和或差的最小值，经常在两点共线时取到，注意同侧与异侧；④几何法转化所求目标，常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等. （2）函数最值法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数（通常为二次函数），再求这个函数的最值，求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法、三角换元法. 9.圆锥曲线中定点问题求解步骤 一选（设参）：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量（有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一）. 二求（用参）：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程. 三定点（消参）：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标. 10.几何证明问题的解题策略 （1）圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）. （2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 真题链接 考点01 直线与圆的位置关系 1．[2025年 全国一卷]已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是( ) A. B. C. D. 考点02 求椭圆的标准方程 2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知曲线，从C上任意一点P向x轴作垂线，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 考点03 双曲线的离心率 3．[2025年 全国一卷]已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 4．[2025年 全国二卷]（多选）双曲线（，）的左、右焦点分别是、，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则( ) A. B. C.C的离心率为 D.当时，四边形的面积为 5．[2024年 新课标Ⅰ卷]设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为__________. 考点04 抛物线定义的应用 6．[2025年 全国二卷]设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考点05 与抛物线焦点弦有关的几何性质 7．[2025年 全国一卷]（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( ) A. B. C. D. 考点06 新型曲线 8．[2024年 新课标Ⅰ卷]（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ) A. B.点在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点在C上时， 考点07 圆锥曲线的面积问题 9．[2025年 全国二卷]已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，求. 考点08 圆锥曲线的最值问题 10．[2025年 全国一卷]已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，. （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足. （i）设，求点R的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求的最大值. 参考答案与解析 1．答案：B 解析：易得圆心到直线的距离. 当时，圆上到直线的距离为1的点有且仅有一个，当时，圆上到直线的距离为1的点有且仅有三个，故当时，圆上到直线的距离为1的点有且仅有两个.故选B. 2．答案：A 解析：设，则，因为点P在曲线C上，所以，即，所以线段的中点M的轨迹方程为，故选A. 3．答案：D 解析：依题意得，又，所以，即，故.故选D. 4．答案：ACD 解析：A（√）根据双曲线和圆的对称性，知四边形为平行四边形，因为，所以. B（×）法一：如图，在中， ，在中，， 在中，，即，则，所以，，所以. 法二：设（，），则，又，，联立可得，，所以，所以轴， 在中，因为，所以. C（√）根据，得. D（√）当时，，，所以四边形的面积为. 5．答案： 解析：法一：由及双曲线的对称性得，因为，所以，，所以，，则C的离心率. 法二：因为，所以，所以，又，所以，得，所以，得，所以C的离心率. 6．答案：C 解析：根据直线得，所以C的准线方程为，C的方程为，所以，所以，所以. 7．答案：ACD 解析：A（√）直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知. B（×）当轴时，，，，，，此时. C（√）易知直线AB的斜率不为0，设直线，，，由，得，则，，，. D（√）当，即轴时，由B知，，.当时，直线，，，，所以.综上，.故选ACD. 8．答案：ABD 解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以，又，所以，所以A正确. 因为点到点的距离与到定直线的距离之积为，所以点在曲线C上，所以B正确. 设（，）是曲线C在第一象限的点，则有，所以，令，则，因为，且，所以函数在附近单调递减，即必定存在一小区间使得单调递减，所以在区间上均有，所以纵坐标的最大值一定大于1，所以C错误. 因为点在C上，所以且，得，所以，所以D正确.综上，选ABD. 9．答案：（1） （2） 解析：（1）由，得. 由题意得，则，又，所以. 所以C的方程为. （2）由题意得l的斜率存在，设，代入消去y并化简得， 由，得， 设，，则. ，解得. 所以. 10．答案：（1） （2）（i） （ii） 解析：（1）由题意知，所以， 设，，则，所以. 又， 所以，所以C的方程为. （2）（i）设，由（1）知，又， 所以.① 由，得，② 由①②得，， 故. （ii）由（i）得，得， 即. 由题设，， 则， 设，则， 故当时，取得最大值，且， 故的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $